2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 13:03 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1022224 писал(а):
К нему надо добавить слова про то, что "существует такой $g_{ik}$, что данное равенство выполняется"

нет. полная интегрируемость в данном случае, это "данное равенство выполняется для любого элемента $(\{g_{ij}\},x)\in U\times V$ где $U$ -- некоторое открытое множество в пространстве симметричных положительно определенных матриц и $V$-- открытое множество на многообразии "

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
Oleg Zubelevich в сообщении #1022277 писал(а):
нет. полная интегрируемость в данном случае, это "данное равенство выполняется для любого элемента $(\{g_{ij}\},x)\in U\times V$ где $U$ -- некоторое открытое множество в пространстве симметричных положительно определенных матриц и $V$-- открытое множество на многообразии "
Ну, значит "полная интегрируемость" здесь ни при чём, ибо задача определения того, является ли пространство метризуемым, заключается в том, что я сказал, а не в том, что Вы сказали.

Кстати, совсем не удивительно, что определённая Вами "полная интегрируемость" достигается только при нулевой кривизне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 13:35 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1022283 писал(а):
Кстати, совсем не удивительно, что определённая Вами "полная интегрируемость" достигается только при нулевой кривизне.

нет не удивительно, и она не мной определенная, это хорошо всем известные вещи
epros в сообщении #1022283 писал(а):
ибо задача определения того, является ли пространство метризуемым, заключается в том, что я сказал, а не в том, что Вы сказали


я ставил задачу так:
Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):
И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?


а как Вы ее ставили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Oleg Zubelevich в сообщении #1022296 писал(а):
я ставил задачу так:Oleg Zubelevich в сообщении #1020701

писал(а):
И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?
Ну так её уже успешно решили, над чем тут ещё думать? Если речь о том, что вот хотелось бы, чтобы условия касались только и исключительно гамм, без всяких примесей жэмюню, то и.м.х.о. не выйдет. Даже с использованием всем хорошо известного построения транклюкирующего гравицапизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):
и она не мной определенная, это хорошо всем известные вещи
Ну, значит я не "все". Я здесь вижу тривиальную систему линейных уравнений, разрешаемых независимым образом в каждой точке континуума. То бишь, интегрировать вообще ничего не нужно.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):
а Вы не могли бы повторить, что сказали в виде теоремы, а то я не очень понял
Э-ээ, повторить что? Условие задачи? Про то, что "пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда существует метрический тензор, такой что..."? По-моему, оно тривиально.

Или повторить то, что я сказал про собственные значения? Разумеется, сказанное не является исчерпывающим решением задачи. Однако оно является некоторым утверждением, которое при желании (коего у меня нет) можно попробовать доказать строгим образом.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):
пока я видел , что Вы сформулировали необходимые условия существования метрики, это тривиальное наблюдение, достаточных условий я пока не видел у Вас
Я бы сказал, что это было необходимое условие несуществования метрики. То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

-- Пн июн 01, 2015 15:13:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022296 писал(а):
я ставил задачу так
Меня такая постановка вполне устраивает

-- Пн июн 01, 2015 15:31:02 --

P.S. Не считая того, что упоминание конкретных значений символов Кристоффеля излишне. Достаточно сказать только: "Рассмотрим аффинно-связное пространство...".

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 14:34 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1020788 писал(а):
1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

а нельзя ли это почетче сформулировать и доказать? (имеет хотя бы одно ненулевое вещественное собственное значение? все собственные значения являются ненулевыми и вещественными?)

epros в сообщении #1022321 писал(а):
То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

может Вы потрудитесь и приведете четкую формулировку и доказательство? очень интересно

-- Пн июн 01, 2015 14:44:46 --

epros в сообщении #1022321 писал(а):
Я здесь вижу тривиальную систему линейных уравнений, разрешаемых независимым образом в каждой точке континуума. То бишь, интегрировать вообще ничего не нужно.

неправильно видите интегрировать нужно вот эту систему:
Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):
$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$

точнее доказывать теорему существования

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
epros в сообщении #1022321 писал(а):
P.S. Не считая того, что упоминание конкретных значений символов Кристоффеля излишне. Достаточно сказать только: "Рассмотрим аффинно-связное пространство...".
Что-то вас не в ту степь несёт. Задача примитивно груба: заданы $k$ от балды взятых функций $n$ переменных. Вопрос: можно ли считать их символами Кристоффеля (не помню уж какого там рода, второго вроде) некоторой жэмюни?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):
неправильно видите интегрировать нужно вот эту систему:
Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):
$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$

точнее доказывать теорему существования
Не согласен. Вопрос о существовании решения указанной Вами системы, как я понимаю, сводится к вопросу о существовании такого $g_{ik}$, что:
espe в сообщении #1020733 писал(а):
$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

А это -- система линейных уравнений относительно переменных $g_{ik}$.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):
epros в сообщении #1020788 писал(а):
1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

а нельзя ли это почетче сформулировать и доказать? (имеет хотя бы одно ненулевое вещественное собственное значение? все собственные значения являются ненулевыми и вещественными?)
Что здесь нечётко сказано? Слова "имеет ненулевые вещественные собственные значения" означают, что у матрицы (при некоторых $k$ и $l$) есть "хотя бы одно" ненулевое вещественное собственное значение. Очевидно, что в этом случае при переносе соответствующего собственного вектора по соответствующему малому контуру он умножится на отличную от единицы константу. Т.е. никакой метрический тензор при переносе по этому малому контуру не сохранится: приведённая espe система линейных уравнений не будет иметь решений.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):
epros в сообщении #1022321 писал(а):
То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

может Вы потрудитесь и приведете четкую формулировку и доказательство? очень интересно
Труднее всего доказать, что при отсутствии ненулевых вещественных собственных значений всегда можно сконструировать подходящий метрический тензор в заданной точке (ибо, в отличие от случая нулевой кривизны, не всякий метрический тензор подойдёт). Дальше -- проще. Сконструированный метрический тензор можно перенести во все остальные точки, в которых указанное условие на тензор кривизны выполняется.

-- Пн июн 01, 2015 16:53:12 --

Утундрий в сообщении #1022342 писал(а):
Задача примитивно груба: заданы $k$ от балды взятых функций $n$ переменных. Вопрос: можно ли считать их символами Кристоффеля (не помню уж какого там рода, второго вроде) некоторой жэмюни?
Увы, эта задача -- неоправданно сложна. До нормальной степени она упрощается только после того, как мы забудем про символы Кристоффеля и придём к условию: $$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

-- Пн июн 01, 2015 17:04:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022351 писал(а):
Вы не понимаете задачу на уровне постаановки.
Постановка тривиальна, понимать там нечего: Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие $$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$ эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью. По причине оного непонимания продолжаете заниматься ерундой, расписывая ненужные уравнения на символы Кристоффеля.

P.S. Упс, исходное сообщение уже удалили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 16:10 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1022347 писал(а):
Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие $$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$ эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью

Доказательство приведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
epros в сообщении #1022347 писал(а):
эта задача -- неоправданно сложна
Эта задача решается в четыре пинка. Я приведу только алгоритм.

Итак, пусть заданы $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = \Gamma _{\nu \mu }^\alpha $. Существует ли $g_{\mu \nu }  = g_{\nu \mu } $ такая, что $g = \det \left( {g_{\mu \nu } } \right) \ne 0$ и $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = \dfrac{1}{2}g^{\alpha \beta } \left( {g_{\beta \mu ,\nu }  - g_{\mu \nu ,\beta }  + g_{\nu \beta ,\mu } } \right)$?

Шаг 1

Вычислить ${R^\alpha}  _{\beta \mu \nu }  = \Gamma _{\beta \nu ,\mu }^\alpha   + \Gamma _{\gamma \nu }^\alpha  \Gamma _{\beta \nu }^\gamma   - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle . $

Шаг 2

Проверить ${R^\alpha}  _{\alpha \mu \nu }  = 0 .$

Если не выполнено - ответ нет.

Шаг 3

Найти общее решение системы ${R^\sigma}  _{\alpha \mu \nu } \cdot g_{\sigma \beta }  + \left\langle {\mu \nu } \right\rangle  = 0$

Шаг 4

Подчинить найденное условию $\left( {\ln \sqrt g } \right)_{,\mu }  = \Gamma _{\alpha \mu }^\alpha  $

Пример

$x^\mu   = \left( {\theta ,\varphi } \right)$
$\Gamma _{12}^2  = \operatorname{ctg} \theta , \; \Gamma _{22}^1  =  - \sin \theta \cos \theta $
${R^1}_{212}  = \sin ^2 \theta , \; {R^2}_{112}  =  - 1$
${R^\alpha}  _{\alpha \mu \nu }  = 0$ выполнено
$g_{12}  = 0, \; g_{22}  = \sin ^2 \theta  \cdot g_{11} $
$g_{\mu \nu }  = \operatorname{diag} \left( {1,\sin ^2 \theta } \right) \cdot const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 17:20 


10/02/11
6786
Можно предложить еще такое необходимое условие существования метрики.
Предположим, что метрика $g_{ij}(x)$ согласованная со связностью $\Gamma_{ij}^k(x)$ существует. Тогда функция $g=\det(g_{ij})$ удовлетворяет уравнению
$$\frac{\partial g}{\partial x^l}=2\Gamma_{sl}^sg$$
необходимым и достаточным условием локального существования нетривиального решения является следующее равенство
$$\frac{\partial \Gamma_{sk}^s}{\partial x^l}=\frac{\partial \Gamma_{sl}^s}{\partial x^k}.$$
Это равенство является необходимым условием существования метрики ,согласованной с данной связностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065

(Оффтоп)

Можно предложить, а можно читать в теме все сообщения. Каждому, как говорится, своё...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 18:00 


29/08/13
266
Может я не в тему скажу, но если я всё правильно понял, есть мысль, что даже локальная разрешимость не гарантирует, что Вы сможете гладко сшить метрику на всём многообразии. Как со сферой: нет там метрики, которая в какой-либо системе координат имеет постоянные компоненты, значит есть шанс обмануться с локальным подбором "метрики". Тогда, допустим, локально Вы нашли метрику под связность, а как показать, что и глобально это можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):
$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = \Gamma _{\nu \mu }^\alpha $
Это лишнее. Пространства с кручениями тоже имеют право быть рассмотренными. И они тоже могут иметь метрику, согласованную со связностью.

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):
Существует ли $g_{\mu \nu }  = g_{\nu \mu } $ такая, что $g = \det \left( {g_{\mu \nu } } \right) \ne 0$ и $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = \dfrac{1}{2}g^{\alpha \beta } \left( {g_{\beta \mu ,\nu }  - g_{\mu \nu ,\beta }  + g_{\nu \beta ,\mu } } \right)$?
Напомню, что последнее равенство на человеческом языке означает ни что иное как "расстояния (определённые метрикой) при переносе не изменяются".

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):
Проверить ${R^\alpha}  _{\alpha \mu \nu }  = 0 .$

Если не выполнено - ответ нет.
Равенство нулю следа совершенно нет необходимости проверять отдельно, ибо след есть сумма собственных значений матрицы, так что отсутствие ненулевых вещественных собственных значений автоматически гарантирует и нулевой след.

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):
Найти общее решение системы ${R^\sigma}  _{\alpha \mu \nu } \cdot g_{\sigma \beta }  + \left\langle {\mu \nu } \right\rangle  = 0$
Ба, а это разве мы пришли не к тому самому $$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$$ :?:

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):
Подчинить найденное условию $\left( {\ln \sqrt g } \right)_{,\mu }  = \Gamma _{\alpha \mu }^\alpha  $
А это зачем? Любой метрический тензор, удовлетворяющий условию $$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0,$$ будет согласованным со связностью.

-- Пн июн 01, 2015 19:24:14 --

VanD в сообщении #1022435 писал(а):
Тогда, допустим, локально Вы нашли метрику под связность, а как показать, что и глобально это можно сделать?
Параллельным переносом оной метрики.

-- Пн июн 01, 2015 19:32:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022361 писал(а):
epros в сообщении #1022347 писал(а):
Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие $$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$ эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью

Доказательство приведите.
Сие уравнение означает ни что иное, как сохраняемость метрики при переносе по замкнутому пути, что то же самое -- независимость результата переноса метрики от пути. Определим метрику в пределах рассматриваемой области как результат переноса метрики, определённой в заданной точке. В таком случае Ваша система уравнений с символами Кристоффеля утверждает в точности то же самое -- что при переносе метрика переходит в саму себя (независимо от пути).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 19:06 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1022442 писал(а):
Сие уравнение означает ни что иное, как сохраняемость метрики при переносе по замкнутому пути


Вы мне ,пожалуйста, по слогам объясните. Вот у нас есть метрика $g_{ij}(x)$ , которая удовлетворяет уравнению $$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0\qquad (*)$$ в некоторой окрестности $V,\quad x\in V$. теперь я хочу носить ее по замкнутому пути $x(t),\quad x(t)$ -- функция с периодом 1, $x(0)=x_0$. Для этого я должен решать задачу Коши для следующего ОДУ
$$\frac{d}{dt} \tilde g_{ij}(t)=\big(\Gamma_{js}^l(x(t))\tilde g_{li}(t)+\Gamma_{is}(x(t))^l\tilde g_{lj}(t)\big)\dot x^s,\quad \tilde g_{ij}(0)=g_{ij}(x_0)$$
Эта задача Коши имеет единственное решение $\tilde g_{ij}(t)$. И Вы, как я понимаю, утверждаете, что $\tilde g_{ij}(t)=g(x(t))$.
Прошу Вас привести формальное доказательство последнего равенства. (Если, конечно, Вы говорили именно это).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group