2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение17.06.2015, 15:15 
всетаки итерационный процесс нужен, и понятно как задачу решать, а красивого результата здесь нет :cry:

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 11:04 
Рассмотрим алгоритм на простейшем примере: $v_k(x)=A_kx,\quad A_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ -- линейные операторы, $ k=1,\ldots,n$.

Условие полной интегрируемости системы $$\frac{\partial x}{\partial t^k}=A_kx$$ следующее $[A_i,A_j]x=0,\quad \forall x$. Предположим, что это условие выполнено не тождественно, а лишь на некотором подпространстве. Тогда решение, если оно существует, должно содержаться в этом подпространстве, а значит векторные поля $v_k$ должны касаться данного подпространства . Мы получаем систему уравнений
$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}=[A_i,A_j].$$
Рассуждая аналогично, мы получаем следующую систему
$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}A_kA_lx=0$$
И так далее. Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов. Если она стабилизируется к $\{0\}$, то исходная система имеет только нулевое решение. Если эта последовательность стабилизируется к пространству $L,\quad \dim L\ge 1$, то для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 12:08 
Аватара пользователя
Кстати, есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 12:35 
Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):
о для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

в смысле для каждого начального условия $x(0)\in L$ имеет решение и при том единственное. Для $x(0)\notin L$ решений нет

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 16:18 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):
Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов.

Не более чем какое?

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 16:22 
это очевидно, не более чем $m$

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 17:38 
Аватара пользователя
Вам очевидно, а для меня это всё на незнакомом языке, и по ходу дела я несколько раз теряю нить. Спасибо.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 21:11 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #1028453 писал(а):
есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

Откопал: topic68569.html (удобная всё же штука - поиск кем-то определённым созданных тем)

 
 
 [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group