2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение17.06.2015, 15:15 


10/02/11
6786
всетаки итерационный процесс нужен, и понятно как задачу решать, а красивого результата здесь нет :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 11:04 


10/02/11
6786
Рассмотрим алгоритм на простейшем примере: $v_k(x)=A_kx,\quad A_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ -- линейные операторы, $ k=1,\ldots,n$.

Условие полной интегрируемости системы $$\frac{\partial x}{\partial t^k}=A_kx$$ следующее $[A_i,A_j]x=0,\quad \forall x$. Предположим, что это условие выполнено не тождественно, а лишь на некотором подпространстве. Тогда решение, если оно существует, должно содержаться в этом подпространстве, а значит векторные поля $v_k$ должны касаться данного подпространства . Мы получаем систему уравнений
$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}=[A_i,A_j].$$
Рассуждая аналогично, мы получаем следующую систему
$$B_{ij}x=0,\quad B_{ij}A_kx=0,\quad B_{ij}A_kA_lx=0$$
И так далее. Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов. Если она стабилизируется к $\{0\}$, то исходная система имеет только нулевое решение. Если эта последовательность стабилизируется к пространству $L,\quad \dim L\ge 1$, то для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 12:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Кстати, есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 12:35 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):
о для каждого $x\in L$ система ДУ имеет решение и при том единственное. ПОскольку система ДУ вполне интегрируема на $L$.

в смысле для каждого начального условия $x(0)\in L$ имеет решение и при том единственное. Для $x(0)\notin L$ решений нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Oleg Zubelevich в сообщении #1028436 писал(а):
Пространства решений этих систем вожены друг в друга. Поэтому последовательность этих пространств стабилизируется через конечное число шагов.

Не более чем какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 16:22 


10/02/11
6786
это очевидно, не более чем $m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Вам очевидно, а для меня это всё на незнакомом языке, и по ходу дела я несколько раз теряю нить. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение18.06.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Утундрий в сообщении #1028453 писал(а):
есть родственная задача нахождения тетрады по заданной спиновой связности. Но там заданы только роторы и как записать условия интегрируемости совсем не ясно.

Откопал: topic68569.html (удобная всё же штука - поиск кем-то определённым созданных тем)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group