2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение21.05.2015, 20:40 


21/05/15
1
Здравствуйте!
Не подскажете, как доказать что, если результат параллельного переноса не зависит от выбора пути на поверхности, а только от начала и конца пути, то данная поверхность локально изометрична плоскости?
Пыталась доказывать, что Гауссова кривизна равна 0 в любой точке, расписывая через произведение главных кривизн, но не понятно, как они связаны с параллельным перенесением(а точнее, с его "инвариантностью" относительно пути).
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 00:25 


10/02/11
6786
Зададимся картой на многообразии. Рассуждать будем внутри карты с координатами $x^i$.
Пусть в начале координат задано векторное поле $v(0)$. Результатом параллельного переноса его в точку $x$ является поле $v(x)$, а переносим мы его вдоль произвольной кривой $x^k(t),\quad x(0)=0,\quad x(1)=x$.
Уравнение параллельного переноса: $$\dot x^i\frac{\partial v^k}{\partial x^i}=-\dot x^i\Gamma_{ni}^k v^n$$
Поскольку кривая произвольна имеем
$$\frac{\partial v^k}{\partial x^i}=-\Gamma_{ni}^k v^n$$
это уравнение по условию однозначно разрешимо при любых начальных условиях $v^i(0)$. Остается написать условия разрешимости этого уравнения $\frac{\partial ^2v^k}{\partial x^i\partial x^l}=\frac{\partial ^2v^k}{\partial x^l\partial x^i}$ и получить, что тензор кривизны Римана равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 09:10 


10/02/11
6786
писать слово "поле" по отношению к вектору $v(0)$, который задан в единственной точке не следовало. Просто, пусть сперва в начале координат задан вектор $v(0)$, дальше по тексту :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 11:06 
Заслуженный участник


23/07/08
7653
Харьков
Ещё способ. Берем в начале координат базис $(e_i)$ и переносим в каждую точку области. Так как параллельный перенос сохраняет скалярное произведение, то метрический тензор будет постоянным:
$g_{ik}(x)=(e_i(x),e_k(x))=(e_i(0),e_k(0))=g_{ik}(0)$

Чтобы это было правильно, надо доказать, что полученный базис будет координатным, или голономным (а то так можно независимо от метрики взять в каждой точке ортонормированный базис и сказать, что у нас метрический тензор постоянный. :mrgreen: )

Итак, если векторное поле $a(x)$ получено таким переносом $a(0)$ и результат не зависит от способа переноса, то $\nabla_v a=0$ для любого вектора $v$ (что показал Oleg Zubelevich). Следовательно, в нашем случае $\nabla_{e_k} e_i=0$. Тогда векторные поля $e_i, e_k$ коммутируют:
$[e_i, e_k]=\nabla_{e_i}e_k-\nabla_{e_k}e_i=0$
Это и означает, что существуют такие функции $y^i$, что $e_i=\frac{\partial}{\partial y^i}$.

Можно и так: независимость результата переноса любого вектора от пути означает и независимость переноса произвольного ковектора (1-формы) $\omega$ от пути, что даёт
$\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\Gamma^\ell_{ik}\omega_\ell=0$
Но это означает, что
$\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\frac{\partial \omega_k}{\partial x^i}=\Gamma^\ell_{ik}\omega_\ell-\Gamma^\ell_{ki}\omega_\ell=0$,
то есть $d\omega=0$. Следовательно, по крайней мере в пределах данной карты $\omega=df$.
Применяя этот результат к базисным ковекторам, получим $e^i=dy^i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 13:32 


10/02/11
6786
Интересно отметить, что само по себе утверждение "если результат параллельного переноса не зависит от пути то тензор кривизны Римана равен нулю" справедливо для любой (хоть несимметричной) связности, и метрика тут ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65277
Oleg Zubelevich
Как всё сложно! Достаточно вспомить, что интеграл от т. Римана по определению даёт поворот вектора, параллельно перенесённого по замкнутому контуру (определением это становится, если устремить контур к нулю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 21:56 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #1018489 писал(а):
Достаточно вспомить, что интеграл от т. Римана по определению даёт поворот вектора, параллельно перенесённого по замкнутому контур

не понял, сформулируйте четко, с формулами

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65277
ЛЛ-2 § 91.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:38 


10/02/11
6786
Понятно. Усли рассуждать по ЛЛ , то доказательсто основано на том, что если интеграл от формы по любому замкнутому контору равен нулю, то форма замкнута. У меня используется теорема существования и единственности линейного ДУ. Не вижу упрощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65277
Упрощения по сути - нет. Упрощение есть по длине пути от известных фактов к требуемому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1864
Oleg Zubelevich в сообщении #1018371 писал(а):
если результат параллельного переноса не зависит от пути

Прошу прощения, но, в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 02:13 


10/02/11
6786
Geen в сообщении #1018628 писал(а):
в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути

Это Ваше определение тензора кривизны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1864
Oleg Zubelevich в сообщении #1018656 писал(а):
Geen в сообщении #1018628 писал(а):
в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути

Это Ваше определение тензора кривизны?

Гм, моё? - вроде нет. Тензора? - вроде тоже необязательно. :-)
А как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 10:49 


10/02/11
6786
представьте себе, что можно и без метрики

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
Oleg Zubelevich в сообщении #1018371 писал(а):
Интересно отметить, что само по себе утверждение "если результат параллельного переноса не зависит от пути то тензор кривизны Римана равен нулю" справедливо для любой (хоть несимметричной) связности, и метрика тут ни при чем.
Кстати, к этому интересно также добавить, что "если результат переноса [любого вектора] не зависит от пути", то согласованная со связностью метрика для такого пространства доопределяется тривиальным образом: Определяем любую метрику в одной точке, а потом переносим её во все остальные точки.

В случае ненулевой кривизны всё не так просто: Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group