2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение21.05.2015, 20:40 
Здравствуйте!
Не подскажете, как доказать что, если результат параллельного переноса не зависит от выбора пути на поверхности, а только от начала и конца пути, то данная поверхность локально изометрична плоскости?
Пыталась доказывать, что Гауссова кривизна равна 0 в любой точке, расписывая через произведение главных кривизн, но не понятно, как они связаны с параллельным перенесением(а точнее, с его "инвариантностью" относительно пути).
Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 00:25 
Зададимся картой на многообразии. Рассуждать будем внутри карты с координатами $x^i$.
Пусть в начале координат задано векторное поле $v(0)$. Результатом параллельного переноса его в точку $x$ является поле $v(x)$, а переносим мы его вдоль произвольной кривой $x^k(t),\quad x(0)=0,\quad x(1)=x$.
Уравнение параллельного переноса: $$\dot x^i\frac{\partial v^k}{\partial x^i}=-\dot x^i\Gamma_{ni}^k v^n$$
Поскольку кривая произвольна имеем
$$\frac{\partial v^k}{\partial x^i}=-\Gamma_{ni}^k v^n$$
это уравнение по условию однозначно разрешимо при любых начальных условиях $v^i(0)$. Остается написать условия разрешимости этого уравнения $\frac{\partial ^2v^k}{\partial x^i\partial x^l}=\frac{\partial ^2v^k}{\partial x^l\partial x^i}$ и получить, что тензор кривизны Римана равен нулю.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 09:10 
писать слово "поле" по отношению к вектору $v(0)$, который задан в единственной точке не следовало. Просто, пусть сперва в начале координат задан вектор $v(0)$, дальше по тексту :D

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 11:06 
Аватара пользователя
Ещё способ. Берем в начале координат базис $(e_i)$ и переносим в каждую точку области. Так как параллельный перенос сохраняет скалярное произведение, то метрический тензор будет постоянным:
$g_{ik}(x)=(e_i(x),e_k(x))=(e_i(0),e_k(0))=g_{ik}(0)$

Чтобы это было правильно, надо доказать, что полученный базис будет координатным, или голономным (а то так можно независимо от метрики взять в каждой точке ортонормированный базис и сказать, что у нас метрический тензор постоянный. :mrgreen: )

Итак, если векторное поле $a(x)$ получено таким переносом $a(0)$ и результат не зависит от способа переноса, то $\nabla_v a=0$ для любого вектора $v$ (что показал Oleg Zubelevich). Следовательно, в нашем случае $\nabla_{e_k} e_i=0$. Тогда векторные поля $e_i, e_k$ коммутируют:
$[e_i, e_k]=\nabla_{e_i}e_k-\nabla_{e_k}e_i=0$
Это и означает, что существуют такие функции $y^i$, что $e_i=\frac{\partial}{\partial y^i}$.

Можно и так: независимость результата переноса любого вектора от пути означает и независимость переноса произвольного ковектора (1-формы) $\omega$ от пути, что даёт
$\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\Gamma^\ell_{ik}\omega_\ell=0$
Но это означает, что
$\frac{\partial \omega_i}{\partial x^k}-\frac{\partial \omega_k}{\partial x^i}=\Gamma^\ell_{ik}\omega_\ell-\Gamma^\ell_{ki}\omega_\ell=0$,
то есть $d\omega=0$. Следовательно, по крайней мере в пределах данной карты $\omega=df$.
Применяя этот результат к базисным ковекторам, получим $e^i=dy^i$.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 13:32 
Интересно отметить, что само по себе утверждение "если результат параллельного переноса не зависит от пути то тензор кривизны Римана равен нулю" справедливо для любой (хоть несимметричной) связности, и метрика тут ни при чем.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 21:22 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich
Как всё сложно! Достаточно вспомить, что интеграл от т. Римана по определению даёт поворот вектора, параллельно перенесённого по замкнутому контуру (определением это становится, если устремить контур к нулю).

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 21:56 
Munin в сообщении #1018489 писал(а):
Достаточно вспомить, что интеграл от т. Римана по определению даёт поворот вектора, параллельно перенесённого по замкнутому контур

не понял, сформулируйте четко, с формулами

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:14 
Аватара пользователя
ЛЛ-2 § 91.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:38 
Понятно. Усли рассуждать по ЛЛ , то доказательсто основано на том, что если интеграл от формы по любому замкнутому контору равен нулю, то форма замкнута. У меня используется теорема существования и единственности линейного ДУ. Не вижу упрощения.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение22.05.2015, 22:45 
Аватара пользователя
Упрощения по сути - нет. Упрощение есть по длине пути от известных фактов к требуемому.

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 01:05 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1018371 писал(а):
если результат параллельного переноса не зависит от пути

Прошу прощения, но, в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути?

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 02:13 
Geen в сообщении #1018628 писал(а):
в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути

Это Ваше определение тензора кривизны?

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 02:24 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1018656 писал(а):
Geen в сообщении #1018628 писал(а):
в некотором смысле, кривизна (в любом смысле) и есть зависимость от пути

Это Ваше определение тензора кривизны?

Гм, моё? - вроде нет. Тензора? - вроде тоже необязательно. :-)
А как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 10:49 
представьте себе, что можно и без метрики

 
 
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение23.05.2015, 21:39 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1018371 писал(а):
Интересно отметить, что само по себе утверждение "если результат параллельного переноса не зависит от пути то тензор кривизны Римана равен нулю" справедливо для любой (хоть несимметричной) связности, и метрика тут ни при чем.
Кстати, к этому интересно также добавить, что "если результат переноса [любого вектора] не зависит от пути", то согласованная со связностью метрика для такого пространства доопределяется тривиальным образом: Определяем любую метрику в одной точке, а потом переносим её во все остальные точки.

В случае ненулевой кривизны всё не так просто: Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

 
 
 [ Сообщений: 173 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group