Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[Oleg Zubelevich]

полная интегрируемость равносильна тому, что при любом $x_0$ и любом $\hat g_{ij}$ существует и при том единственное решение $g_{ij}(x)$ такое, что $g_{ij}(x_0)=\hat g_{ij}$

[Padawan]

espe в сообщении #1020733 писал(а):

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

Все правильно. Критерий интегрируемости состоит в том, что данное равенство должно тождественно выполняться в любой точке $x$, при любых значениях $g_{ij}$.

-- Чт июн 11, 2015 23:18:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1026162 писал(а):

полная интегрируемость равносильна тому, что при любом $x_0$ и любом $\hat g_{ij}$ существует и при том единственное решение $g_{ij}(x)$ такое, что $g_{ij}(x_0)=\hat g_{ij}$

Ну так нам это и надо. Почему нет?

[Munin]

А нулевое кручение нужно, чтобы эта $g_{ij}(x)$ была ещё и симметричной. Нес па?

[Утундрий]

Munin в сообщении #1026165 писал(а):

нулевое кручение нужно, чтобы эта $g_{ij}(x)$ была ещё и симметричной. Нес па?

Нет, конечно.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #1026145 писал(а):

Ведь начальное условие $g_{ij}(x_0)$ можно задавать произвольно. Потому что если какое-то $g_{ij}$ удовлетворяет уравнению (*), то его можно помножить на постоянную матрицу и оно по-прежнему будет удовлетворять уравнению (*)

смотря что понимать под "помножить на постоянную матрицу". Если матрицу $G=(g_{ij}(x))$ (где $g_{ij}(x)$ -- решение) помножить на постоянную матрицу, то я не понимаю, почему это должно остаться решением

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Да, я поторопился. Не получается.

[epros]

Munin в сообщении #1026165 писал(а):

А нулевое кручение нужно, чтобы эта $g_{ij}(x)$ была ещё и симметричной. Нес па?

Симметричность метрики и отсутствие кручения (симметричная связность) -- совершенно перпендикулярные вопросы.

Padawan в сообщении #1026163 писал(а):

Критерий интегрируемости состоит в том, что данное равенство должно тождественно выполняться в любой точке $x$, при любых значениях $g_{ij}$.

Не при любых, а только при некоторых значениях $g_{ij}$. Нетривиальная кривизна накладывает ограничения на допустимую метрику, ибо перенос по малому контуру должен соответствовать повороту.

К сожалению, espe пропал, не раскрыв нам тайны "избавления от метрики".

[Утундрий]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1026541 писал(а):

К сожалению, espe пропал, не раскрыв нам тайны "избавления от метрики".

Видимо, поля данной темы слишком узки для неё...

[espe]

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

А набор символов Кристоффеля надо превратить в квадратные $s\times s$ матрицы $A_k(x),\quad k=1,\ldots,m$ так, что бы система (*) переписалась в виде

$$\frac{\partial u}{\partial x^k}=A_k(x)u.$$

Условия интегрируемости этой системы следующие:

$$\frac{\partial A_k}{\partial x^l}+A_kA_l=\frac{\partial A_l}{\partial x^k}+A_lA_k,\quad l,k=1,\ldots,m.\qquad(**)$$

Ничего сверьхъ естественного. Перепишем немного по другому

$$\frac{\partial g_A}{\partial x^k}=(A_k)_A^B(x)g_B.$$

Индекс $A$ обозначает симметричную пару индексов $(ij)$, аналогично индекс $B.$
Тогда

$$(5*)\qquad\dfrac{\partial}{\partial x^m}\dfrac{\partial g_A}{\partial x^k}-\dfrac{\partial}{\partial x^k}\dfrac{\partial g_A}{\partial x^m}=g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=2g_{(nl)}\delta_{(i}^{(n}R^{l)}{}_{j)_mk}=2g_B(R_{mk})^B_A=0$$

$$(R_{mk})^B_A\equiv \delta_{(i}^{(n}R^{l)}{}_{j)_mk}$$

Если равенство (5*) должно выполняться для произвольного $g_A$, то получаем равенство (**) или в обозначениях (5*)

$$(R_{mk})^B_A\equiv \delta_{(i}^{(n}R^{l)}{}_{j)_mk}=0$$

(имхо очевидно, что если для какой-то матрицы $M^A_B$ и произвольного (любого) вектора $v_A$ выполняется $M^A_Bv_A=0,$ то $M^A_B=0.$)

Согласен, что скорее всего я не дожал и $\delta_{(i}^{(n}R^{l)}{}_{j)_mk}=0\Leftrightarrow R^l{}_{jmk}=0$ (Если то что написал epros выполняется для индексов 0 и1, то это же должно выполняться для произвольной пары индексов, и, следовательно, для всех индексов.)

Вот и вся тайна.

[epros]

Очевидно, что условие:

espe в сообщении #1026738 писал(а):

Если равенство (5*) должно выполняться для произвольного $g_A$

-- слишком сильное и выполнено оно может быть только при нулевой кривизне.

[espe]

epros в сообщении #1026753 писал(а):

-- слишком сильное

может быть. в суть я не вникал. я вычислил только равенство (**).

[epros]

espe в сообщении #1026759 писал(а):

в суть я не вникал

Касательно сути, по-моему, она в этом:

epros в сообщении #1026541 писал(а):

перенос по малому контуру должен соответствовать повороту

Симметричная метрика в заданной точке, собственно, и определяет соответствующую группу вращений. А матрица $\begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix}$ определяет перенос по соответствующему контуру (где знаками вопроса обозначены индексы тензора кривизны, которыми определяется ориентация контура).

Пораскинув мозгами, я прихожу к выводу, что условия на собственные значения матрицы $\begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix}$, о которых я говорил ранее, это не совсем то, что нужно, ибо они дают лишь необходимое условие метризуемости пространства. То бишь, выполнение оных условий не является достаточным условием метризуемости. На самом деле всё гораздо проще: Матрицы $\begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix}$ должны являться генераторами вращений по отношению к некоторой метрике, а это значит, что необходимым и достаточным условием метризуемости является равенство нулю определителей:

$$\begin{vmatrix}R^i_{j??}\end{vmatrix} = 0$$

при любых значениях индексов, подставляемых вместо знаков вопроса.

-- Сб июн 13, 2015 19:27:48 --

А может ещё нужно подумать...

[Утундрий]

espe в сообщении #1026738 писал(а):

Если равенство (5*) должно выполняться для произвольного $g_A$

Нет, только для решения.

[epros]

Да, относительно определителей это я тормознул. Условие, что матрица $\begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix}$ является генератором вращения, вроде бы записывается так:

$$R^i_{s??} R^s_{j??} = a \delta^i_j \, , \, a < 0.$$

Дальше остаётся найти базис, в котором матрица приводится к виду:

$$R^0_{1??} = 1, \, R^1_{0??} = -1, \, R^i_{j??} = 0 \, \text{при остальных значениях i и j}.$$

В этом базисе матрица поворота на угол $\alpha$ запишется как $\exp(\alpha \cdot \begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix})$, а метрика, соответственно, должна записаться единичной матрицей. Возвращаясь в исходный базис, находим значение компонент метрики, удовлетворяющей условию: $g_{is} R^s_{j??} + g_{sj} R^s_{i??} = 0$. Вот как-то примерно так. Остаются нюансы, связанные с тем, что матриц $\begin{Vmatrix}R^i_{j??}\end{Vmatrix}$ на самом деле $\frac{n (n - 1)}{2}$ штук, так что найти базис, в котором все эти матрицы приводятся к нужному виду, будет несколько сложнее, чем в случае двумерного пространства, в котором такая матрица одна.

[Oleg Zubelevich]

И так, для того что бы метрика $g_{ij}$ была согласована со связностью необходимо что бы она удовлетворяла системе линейных алгебраических уравнений:

$$R_{ijk}^lg_{ln}+R_{njk}^lg_{li}=0.\qquad (*)$$

Естественно предположить, что множество решений этой системы (в лучшем случае) одномерно в каждой точке $x$ т.е. общее решение записывается в виде $g_{ij}=\lambda(x)g'_{ij},$ где $g'_{ij}$ -- метрика, найденная из системы (*)

На самом деле ( тривальный факт отмеченный на mathoverflow) метрика, согласованная со связностью, должна удовлетворять бесконечной системе линейных алгебраических ууравнений:

$$R_{ijk}^lg_{ln}+R_{njk}^lg_{li}=0,\quad (\nabla_pR_{ijk}^l)g_{ln}+(\nabla_p R_{njk}^l)g_{li}=0,\quad (\nabla_{p_1}\nabla_pR_{ijk}^l)g_{ln}+(\nabla_{p_1}\nabla_p R_{njk}^l)g_{li}=0,\ldots$$

В этой системе еще надо менять местами порядок ковариантных производных, это ,возможно , даст новые уравнения.

Теперь легко проверить следующее утверждение.

Теорема. В сделанных предположениях, для существования метрики, согласованной с данной связностью, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
1) Существует набор функций $\gamma_k(x)$ (точнее говоря, ковекторное поле) такой, что $\nabla_k g'_{ij}=\gamma_k g'_{ij}$;
2) форма $\gamma_k dx^k$ замкнута.

В таком же духе можно обработать случай, когда пространство решений системы (*) $n-$мерно.