Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022224 писал(а):

К нему надо добавить слова про то, что "существует такой $g_{ik}$, что данное равенство выполняется"

нет. полная интегрируемость в данном случае, это "данное равенство выполняется для любого элемента $(\{g_{ij}\},x)\in U\times V$ где $U$ -- некоторое открытое множество в пространстве симметричных положительно определенных матриц и $V$-- открытое множество на многообразии "

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022277 писал(а):

нет. полная интегрируемость в данном случае, это "данное равенство выполняется для любого элемента $(\{g_{ij}\},x)\in U\times V$ где $U$ -- некоторое открытое множество в пространстве симметричных положительно определенных матриц и $V$-- открытое множество на многообразии "

Ну, значит "полная интегрируемость" здесь ни при чём, ибо задача определения того, является ли пространство метризуемым, заключается в том, что я сказал, а не в том, что Вы сказали.

Кстати, совсем не удивительно, что определённая Вами "полная интегрируемость" достигается только при нулевой кривизне.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022283 писал(а):

Кстати, совсем не удивительно, что определённая Вами "полная интегрируемость" достигается только при нулевой кривизне.

нет не удивительно, и она не мной определенная, это хорошо всем известные вещи

epros в сообщении #1022283 писал(а):

ибо задача определения того, является ли пространство метризуемым, заключается в том, что я сказал, а не в том, что Вы сказали

я ставил задачу так:

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?

а как Вы ее ставили?

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022296 писал(а):

я ставил задачу так:Oleg Zubelevich в сообщении #1020701

писал(а):
И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?

Ну так её уже успешно решили, над чем тут ещё думать? Если речь о том, что вот хотелось бы, чтобы условия касались только и исключительно гамм, без всяких примесей жэмюню, то и.м.х.о. не выйдет. Даже с использованием всем хорошо известного построения транклюкирующего гравицапизма.

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):

и она не мной определенная, это хорошо всем известные вещи

Ну, значит я не "все". Я здесь вижу тривиальную систему линейных уравнений, разрешаемых независимым образом в каждой точке континуума. То бишь, интегрировать вообще ничего не нужно.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):

а Вы не могли бы повторить, что сказали в виде теоремы, а то я не очень понял

Э-ээ, повторить что? Условие задачи? Про то, что "пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда существует метрический тензор, такой что..."? По-моему, оно тривиально.

Или повторить то, что я сказал про собственные значения? Разумеется, сказанное не является исчерпывающим решением задачи. Однако оно является некоторым утверждением, которое при желании (коего у меня нет) можно попробовать доказать строгим образом.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022288 писал(а):

пока я видел , что Вы сформулировали необходимые условия существования метрики, это тривиальное наблюдение, достаточных условий я пока не видел у Вас

Я бы сказал, что это было необходимое условие несуществования метрики. То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

-- Пн июн 01, 2015 15:13:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022296 писал(а):

я ставил задачу так

Меня такая постановка вполне устраивает

-- Пн июн 01, 2015 15:31:02 --

P.S. Не считая того, что упоминание конкретных значений символов Кристоффеля излишне. Достаточно сказать только: "Рассмотрим аффинно-связное пространство...".

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1020788 писал(а):

1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

а нельзя ли это почетче сформулировать и доказать? (имеет хотя бы одно ненулевое вещественное собственное значение? все собственные значения являются ненулевыми и вещественными?)

epros в сообщении #1022321 писал(а):

То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

может Вы потрудитесь и приведете четкую формулировку и доказательство? очень интересно

-- Пн июн 01, 2015 14:44:46 --

epros в сообщении #1022321 писал(а):

Я здесь вижу тривиальную систему линейных уравнений, разрешаемых независимым образом в каждой точке континуума. То бишь, интегрировать вообще ничего не нужно.

неправильно видите интегрировать нужно вот эту систему:

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$

точнее доказывать теорему существования

[Утундрий]

epros в сообщении #1022321 писал(а):

P.S. Не считая того, что упоминание конкретных значений символов Кристоффеля излишне. Достаточно сказать только: "Рассмотрим аффинно-связное пространство...".

Что-то вас не в ту степь несёт. Задача примитивно груба: заданы $k$ от балды взятых функций $n$ переменных. Вопрос: можно ли считать их символами Кристоффеля (не помню уж какого там рода, второго вроде) некоторой жэмюни?

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):

неправильно видите интегрировать нужно вот эту систему:

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$

точнее доказывать теорему существования

Не согласен. Вопрос о существовании решения указанной Вами системы, как я понимаю, сводится к вопросу о существовании такого $g_{ik}$, что:

espe в сообщении #1020733 писал(а):

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

А это -- система линейных уравнений относительно переменных $g_{ik}$.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):

epros в сообщении #1020788 писал(а):

1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

а нельзя ли это почетче сформулировать и доказать? (имеет хотя бы одно ненулевое вещественное собственное значение? все собственные значения являются ненулевыми и вещественными?)

Что здесь нечётко сказано? Слова "имеет ненулевые вещественные собственные значения" означают, что у матрицы (при некоторых $k$ и $l$) есть "хотя бы одно" ненулевое вещественное собственное значение. Очевидно, что в этом случае при переносе соответствующего собственного вектора по соответствующему малому контуру он умножится на отличную от единицы константу. Т.е. никакой метрический тензор при переносе по этому малому контуру не сохранится: приведённая espe система линейных уравнений не будет иметь решений.

Oleg Zubelevich в сообщении #1022323 писал(а):

epros в сообщении #1022321 писал(а):

То, что в противном случае метрика существует, действительно не является очевидным. Однако ж я полагаю, что при желании это тоже можно доказать.

может Вы потрудитесь и приведете четкую формулировку и доказательство? очень интересно

Труднее всего доказать, что при отсутствии ненулевых вещественных собственных значений всегда можно сконструировать подходящий метрический тензор в заданной точке (ибо, в отличие от случая нулевой кривизны, не всякий метрический тензор подойдёт). Дальше -- проще. Сконструированный метрический тензор можно перенести во все остальные точки, в которых указанное условие на тензор кривизны выполняется.

-- Пн июн 01, 2015 16:53:12 --

Утундрий в сообщении #1022342 писал(а):

Задача примитивно груба: заданы $k$ от балды взятых функций $n$ переменных. Вопрос: можно ли считать их символами Кристоффеля (не помню уж какого там рода, второго вроде) некоторой жэмюни?

Увы, эта задача -- неоправданно сложна. До нормальной степени она упрощается только после того, как мы забудем про символы Кристоффеля и придём к условию:

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

-- Пн июн 01, 2015 17:04:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022351 писал(а):

Вы не понимаете задачу на уровне постаановки.

Постановка тривиальна, понимать там нечего: Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью. По причине оного непонимания продолжаете заниматься ерундой, расписывая ненужные уравнения на символы Кристоффеля.

P.S. Упс, исходное сообщение уже удалили?

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022347 писал(а):

Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью

Доказательство приведите.

[Утундрий]

epros в сообщении #1022347 писал(а):

эта задача -- неоправданно сложна

Эта задача решается в четыре пинка. Я приведу только алгоритм.

Итак, пусть заданы $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \Gamma _{\nu \mu }^\alpha $. Существует ли $g_{\mu \nu } = g_{\nu \mu } $ такая, что $g = \det \left( {g_{\mu \nu } } \right) \ne 0$ и $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \dfrac{1}{2}g^{\alpha \beta } \left( {g_{\beta \mu ,\nu } - g_{\mu \nu ,\beta } + g_{\nu \beta ,\mu } } \right)$?

Шаг 1

Вычислить ${R^\alpha} _{\beta \mu \nu } = \Gamma _{\beta \nu ,\mu }^\alpha + \Gamma _{\gamma \nu }^\alpha \Gamma _{\beta \nu }^\gamma - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle . $

Шаг 2

Проверить ${R^\alpha} _{\alpha \mu \nu } = 0 .$

Если не выполнено - ответ нет.

Шаг 3

Найти общее решение системы ${R^\sigma} _{\alpha \mu \nu } \cdot g_{\sigma \beta } + \left\langle {\mu \nu } \right\rangle = 0$

Шаг 4

Подчинить найденное условию $\left( {\ln \sqrt g } \right)_{,\mu } = \Gamma _{\alpha \mu }^\alpha $

Пример

$x^\mu = \left( {\theta ,\varphi } \right)$
$\Gamma _{12}^2 = \operatorname{ctg} \theta , \; \Gamma _{22}^1 = - \sin \theta \cos \theta $
${R^1}_{212} = \sin ^2 \theta , \; {R^2}_{112} = - 1$
${R^\alpha} _{\alpha \mu \nu } = 0$ выполнено
$g_{12} = 0, \; g_{22} = \sin ^2 \theta \cdot g_{11} $
$g_{\mu \nu } = \operatorname{diag} \left( {1,\sin ^2 \theta } \right) \cdot const$

[Oleg Zubelevich]

Можно предложить еще такое необходимое условие существования метрики.
Предположим, что метрика $g_{ij}(x)$ согласованная со связностью $\Gamma_{ij}^k(x)$ существует. Тогда функция $g=\det(g_{ij})$ удовлетворяет уравнению

$$\frac{\partial g}{\partial x^l}=2\Gamma_{sl}^sg$$

необходимым и достаточным условием локального существования нетривиального решения является следующее равенство

$$\frac{\partial \Gamma_{sk}^s}{\partial x^l}=\frac{\partial \Gamma_{sl}^s}{\partial x^k}.$$

Это равенство является необходимым условием существования метрики ,согласованной с данной связностью.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Можно предложить, а можно читать в теме все сообщения. Каждому, как говорится, своё...

[VanD]

Может я не в тему скажу, но если я всё правильно понял, есть мысль, что даже локальная разрешимость не гарантирует, что Вы сможете гладко сшить метрику на всём многообразии. Как со сферой: нет там метрики, которая в какой-либо системе координат имеет постоянные компоненты, значит есть шанс обмануться с локальным подбором "метрики". Тогда, допустим, локально Вы нашли метрику под связность, а как показать, что и глобально это можно сделать?

[epros]

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):

$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \Gamma _{\nu \mu }^\alpha $

Это лишнее. Пространства с кручениями тоже имеют право быть рассмотренными. И они тоже могут иметь метрику, согласованную со связностью.

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):

Существует ли $g_{\mu \nu } = g_{\nu \mu } $ такая, что $g = \det \left( {g_{\mu \nu } } \right) \ne 0$ и $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = \dfrac{1}{2}g^{\alpha \beta } \left( {g_{\beta \mu ,\nu } - g_{\mu \nu ,\beta } + g_{\nu \beta ,\mu } } \right)$?

Напомню, что последнее равенство на человеческом языке означает ни что иное как "расстояния (определённые метрикой) при переносе не изменяются".

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):

Проверить ${R^\alpha} _{\alpha \mu \nu } = 0 .$

Если не выполнено - ответ нет.

Равенство нулю следа совершенно нет необходимости проверять отдельно, ибо след есть сумма собственных значений матрицы, так что отсутствие ненулевых вещественных собственных значений автоматически гарантирует и нулевой след.

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):

Найти общее решение системы ${R^\sigma} _{\alpha \mu \nu } \cdot g_{\sigma \beta } + \left\langle {\mu \nu } \right\rangle = 0$

Ба, а это разве мы пришли не к тому самому

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$$

Утундрий в сообщении #1022395 писал(а):

Подчинить найденное условию $\left( {\ln \sqrt g } \right)_{,\mu } = \Gamma _{\alpha \mu }^\alpha $

А это зачем? Любой метрический тензор, удовлетворяющий условию

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0,$$

будет согласованным со связностью.

-- Пн июн 01, 2015 19:24:14 --

VanD в сообщении #1022435 писал(а):

Тогда, допустим, локально Вы нашли метрику под связность, а как показать, что и глобально это можно сделать?

Параллельным переносом оной метрики.

-- Пн июн 01, 2015 19:32:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1022361 писал(а):

epros в сообщении #1022347 писал(а):

Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью

Доказательство приведите.

Сие уравнение означает ни что иное, как сохраняемость метрики при переносе по замкнутому пути, что то же самое -- независимость результата переноса метрики от пути. Определим метрику в пределах рассматриваемой области как результат переноса метрики, определённой в заданной точке. В таком случае Ваша система уравнений с символами Кристоффеля утверждает в точности то же самое -- что при переносе метрика переходит в саму себя (независимо от пути).

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022442 писал(а):

Сие уравнение означает ни что иное, как сохраняемость метрики при переносе по замкнутому пути

Вы мне ,пожалуйста, по слогам объясните. Вот у нас есть метрика $g_{ij}(x)$ , которая удовлетворяет уравнению

$$g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0\qquad (*)$$

в некоторой окрестности $V,\quad x\in V$. теперь я хочу носить ее по замкнутому пути $x(t),\quad x(t)$ -- функция с периодом 1, $x(0)=x_0$. Для этого я должен решать задачу Коши для следующего ОДУ

$$\frac{d}{dt} \tilde g_{ij}(t)=\big(\Gamma_{js}^l(x(t))\tilde g_{li}(t)+\Gamma_{is}(x(t))^l\tilde g_{lj}(t)\big)\dot x^s,\quad \tilde g_{ij}(0)=g_{ij}(x_0)$$

Эта задача Коши имеет единственное решение $\tilde g_{ij}(t)$. И Вы, как я понимаю, утверждаете, что $\tilde g_{ij}(t)=g(x(t))$.
Прошу Вас привести формальное доказательство последнего равенства. (Если, конечно, Вы говорили именно это).