Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[Oleg Zubelevich]

Играть с Вами в кошки-мышки мне надоело, подведем неутешительные итоги. Я их вижу следующим образом.

1) вот это:

lek в сообщении #1018991 писал(а):

Насколько я помню, условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для этого (у Постникова в "Лекции по геометрии"-4 есть точная формулировка).

является Вашей ложной интерпретацией теоремы из Постникова.

2) Никакого конструктивного (проверяемого) критерия существования римановой метрики, согласованной со связностью, заданной символами Кристоффеля, Вы не привели.

[lek]

Гонора у вас слишком много, коллега

[Oleg Zubelevich]

Вообще, конечно, написать эти условия -- дело элементарное.
И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?
Мы ищем метрику $g_{ij}(x)$ которая удовлетворяет системе линейных уравнений:

$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$

Теперь надо наплевать на геометрию и растянуть все неизвестные в длинный -длинный вектор

$$u=(g_{11},g_{12},\ldots g_{1m},g_{22},\ldots)^T,\quad u=(u^1,\ldots,u^s)^T,\quad s=(m^2+m)/2.$$

А набор символов Кристоффеля надо превратить в квадратные $s\times s$ матрицы $A_k(x),\quad k=1,\ldots,m$ так, что бы система (*) переписалась в виде

$$\frac{\partial u}{\partial x^k}=A_k(x)u.$$

Условия интегрируемости этой системы следующие:

$$\frac{\partial A_k}{\partial x^l}+A_kA_l=\frac{\partial A_l}{\partial x^k}+A_lA_k,\quad l,k=1,\ldots,m.\qquad(**)$$

Теорема. Если равенство (**) выполнено в окрестности некоторой точки $x$ то в (возможно меньшей) окрестности этой точки существует риманова метрика, согласованная с данной связностью.

Остается вопрос об интерпретации равенства (**) в инвариантных терминах.

[Oleg Zubelevich]

Например, пусть $m=2,\quad u=(g_{11},g_{12},g_{22})^T$

$$A_k=\begin{pmatrix} 2\Gamma_{1k}^1 & 2\Gamma_{1k}^2 & 0\\ \Gamma_{2k}^1& \Gamma_{1k}^1+\Gamma_{2k}^2 & \Gamma_{1k}^2 \\ 0& 2\Gamma_{2k}^1 & 2\Gamma_{2k}^2\end{pmatrix}$$

[espe]

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

Остается вопрос об интерпретации равенства (**) в инвариантных терминах.

У меня получилось (если нигде не ошибся)

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

где $R^l{}_{imk}:=\Gamma^l_{im,k}-\Gamma^l_{ik,m}+\Gamma^n_{im}\Gamma^l_{nk}-\Gamma^n_{ik}\Gamma^l_{nm}.$ При вычислении симметрия индексов нигде не использовалась.

[Oleg Zubelevich]

espe в сообщении #1020733 писал(а):

У меня получилось (если нигде не ошибся)

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

это естественное равенство, но оно тут не должно получаться, в формулу (**) компоненты метрического тензора не входят

[espe]

Это я вычислил

$$\dfrac{\partial}{\partial x^m}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial}{\partial x^k}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}=g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

"Убираем" метрику получаем

$$\delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)mk}=0$$

Круглые скобки обозначают симметризацию.

[epros]

espe в сообщении #1020744 писал(а):

"Убираем" метрику

Я бы сделал так:
1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

[Oleg Zubelevich]

Условия (**) влекут $R^i_{jkl}=0$. Лобовое применение теоремы Пфаффа дает лишь тривиальный результат. Надо думать дальше.

[Утундрий]

Я не понял этой "уборки". По-моему, она ошибочна. Максимум чего здесь можно добиться - это добавить условие невырожденности метрики и получить ${R^\alpha} _{\alpha \mu \nu } = 0$.

[espe]

Всё, что я вычислил это буквально

Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):

Условия интегрируемости этой системы следующие:

$$\frac{\partial A_k}{\partial x^l}+A_kA_l=\frac{\partial A_l}{\partial x^k}+A_lA_k,\quad l,k=1,\ldots,m.\qquad(**)$$

На все вопросы о смысле лучше ответит Oleg Zubelevich. То, что написал epros --- это только другие слова, формулами --- результат тот же.

[epros]

espe в сообщении #1021866 писал(а):

То, что написал epros --- это только другие слова, формулами --- результат тот же.

Хм. Мне на первый взгляд показалось так же. Однако рассмотрев поближе вот этот интересный способ антисимметризации тензора со смешанными индексами:

espe в сообщении #1020744 писал(а):

$$\delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)mk}=0$$

я пришёл к выводу, что здесь что-то не так. Давайте для простоты уберём лишние индексы ($m$ и $k$) и оставим у пространства только два измерения, т.е. будем считать, что индексы пробегают значения 0 и 1. Тогда утверждение об "антисимметричности" тензора $R^l_j$ запишется как:
$\frac{1}{4} A^{nl}_{ij} = \delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)} = 0$
Распишем подробнее:
$A^{nl}_{ij} = \delta^n_i R^l_j + \delta^l_i R^n_j + \delta^n_j R^l_i + \delta^l_j R^n_i = 0$
Посчитаем некоторые компоненты тензора $A^{nl}_{ij}$:
$A^{00}_{00} = 4 R^0_0$
$A^{11}_{11} = 4 R^1_1$
$A^{01}_{00} = 2 R^1_0$
$A^{00}_{01} = 2 R^0_1$

Вроде бы как видно, что равенство данного тензора нулю означает равенство нулю и тензора $R^l_j$.

[Утундрий]

espe в сообщении #1021866 писал(а):

Всё, что я вычислил это буквально

Ну вот до "уборки метрики" мы с вами совпадаем. А вот дальше что-то несуразное вырисовывается. Если упорствуете, изложите по шагам.

[Oleg Zubelevich]

ну а что вы пристали то к человеку? есть стандартный критерий полной интегрируемости таких систем, вы этого критерия не знаете, что такое полная интегрируемость тоже не знаете, espe не виноват.
Оказалось, что полная интегрируемость является слишком сильным требованием, задача тоньше.

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022212 писал(а):

есть стандартный критерий полной интегрируемости таких систем, вы этого критерия не знаете, что такое полная интегрируемость тоже не знаете

Ну да, мы не знаем, а потому спрашиваем. Вот это условие:

espe в сообщении #1020733 писал(а):

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

- правильное. К нему надо добавить слова про то, что "существует такой $g_{ik}$, что данное равенство выполняется". Как я понимаю, это не есть "полная интегрируемость"? Что же тогда это такое? То бишь, в чём именно заключается "уборка метрики"?

Свой вариант "уборки метрики" я описал выше. Он выражается в нахождении собственных значений. Но как выразить его красивой формулой -- я не знаю.