2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 12  След.
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 22:32 


10/02/11
6786
Играть с Вами в кошки-мышки мне надоело, подведем неутешительные итоги. Я их вижу следующим образом.

1) вот это:
lek в сообщении #1018991 писал(а):
Насколько я помню, условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для этого (у Постникова в "Лекции по геометрии"-4 есть точная формулировка).
является Вашей ложной интерпретацией теоремы из Постникова.

2) Никакого конструктивного (проверяемого) критерия существования римановой метрики, согласованной со связностью, заданной символами Кристоффеля, Вы не привели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Гонора у вас слишком много, коллега :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 13:11 


10/02/11
6786
Вообще, конечно, написать эти условия -- дело элементарное.
И так , пусть у нас задана связность своими символами Кристоффеля в локальных координатах: $\{\Gamma_{ij}^k(x)\},\quad x=(x^1,\ldots,x^m).$ Спрашивается, а при каких условиях на эти функции данная связность согласована с некоторой римановой метрикой?
Мы ищем метрику $g_{ij}(x)$ которая удовлетворяет системе линейных уравнений:
$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0.\qquad(*)$$
Теперь надо наплевать на геометрию и растянуть все неизвестные в длинный -длинный вектор $$u=(g_{11},g_{12},\ldots g_{1m},g_{22},\ldots)^T,\quad u=(u^1,\ldots,u^s)^T,\quad s=(m^2+m)/2.$$ А набор символов Кристоффеля надо превратить в квадратные $s\times s$ матрицы $A_k(x),\quad k=1,\ldots,m$ так, что бы система (*) переписалась в виде
$$\frac{\partial u}{\partial x^k}=A_k(x)u.$$
Условия интегрируемости этой системы следующие:
$$\frac{\partial A_k}{\partial x^l}+A_kA_l=\frac{\partial A_l}{\partial x^k}+A_lA_k,\quad l,k=1,\ldots,m.\qquad(**)$$
Теорема. Если равенство (**) выполнено в окрестности некоторой точки $x$ то в (возможно меньшей) окрестности этой точки существует риманова метрика, согласованная с данной связностью.

Остается вопрос об интерпретации равенства (**) в инвариантных терминах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 14:38 


10/02/11
6786
Например, пусть $m=2,\quad u=(g_{11},g_{12},g_{22})^T$

$$A_k=\begin{pmatrix} 2\Gamma_{1k}^1 & 2\Gamma_{1k}^2 & 0\\ \Gamma_{2k}^1& \Gamma_{1k}^1+\Gamma_{2k}^2 & \Gamma_{1k}^2 \\ 0& 2\Gamma_{2k}^1 & 2\Gamma_{2k}^2\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 15:02 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):
Остается вопрос об интерпретации равенства (**) в инвариантных терминах.

У меня получилось (если нигде не ошибся)
$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$
где $R^l{}_{imk}:=\Gamma^l_{im,k}-\Gamma^l_{ik,m}+\Gamma^n_{im}\Gamma^l_{nk}-\Gamma^n_{ik}\Gamma^l_{nm}.$ При вычислении симметрия индексов нигде не использовалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 15:27 


10/02/11
6786
espe в сообщении #1020733 писал(а):
У меня получилось (если нигде не ошибся)
$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$

это естественное равенство, но оно тут не должно получаться, в формулу (**) компоненты метрического тензора не входят

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 15:52 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Это я вычислил $$\dfrac{\partial}{\partial x^m}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial}{\partial x^k}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}=g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$
"Убираем" метрику получаем
$$\delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)mk}=0$$ Круглые скобки обозначают симметризацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение28.05.2015, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
espe в сообщении #1020744 писал(а):
"Убираем" метрику
:?:
Я бы сделал так:
1) Рассмотрим компоненты $R^i_{jkl}$ при фиксированных значениях $k$ и $l$. Матрицу, которую они составляют, обозначим $\mathcal{R}_{kl}$.
2) Если матрица $\mathcal{R}_{kl}$ при каких-либо значениях $k$ и $l$ имеет ненулевые вещественные собственные значения, то не существует метрики, согласованной с этой кривизной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение29.05.2015, 11:54 


10/02/11
6786
Условия (**) влекут $R^i_{jkl}=0$. Лобовое применение теоремы Пфаффа дает лишь тривиальный результат. Надо думать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение30.05.2015, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Я не понял этой "уборки". По-моему, она ошибочна. Максимум чего здесь можно добиться - это добавить условие невырожденности метрики и получить ${R^\alpha}  _{\alpha \mu \nu }  = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение31.05.2015, 15:33 
Заслуженный участник


25/01/11
394
Урюпинск
Всё, что я вычислил это буквально
Oleg Zubelevich в сообщении #1020701 писал(а):
Условия интегрируемости этой системы следующие:
$$\frac{\partial A_k}{\partial x^l}+A_kA_l=\frac{\partial A_l}{\partial x^k}+A_lA_k,\quad l,k=1,\ldots,m.\qquad(**)$$
На все вопросы о смысле лучше ответит Oleg Zubelevich. То, что написал epros --- это только другие слова, формулами --- результат тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
espe в сообщении #1021866 писал(а):
То, что написал epros --- это только другие слова, формулами --- результат тот же.
Хм. Мне на первый взгляд показалось так же. Однако рассмотрев поближе вот этот интересный способ антисимметризации тензора со смешанными индексами:
espe в сообщении #1020744 писал(а):
$$\delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)mk}=0$$
я пришёл к выводу, что здесь что-то не так. Давайте для простоты уберём лишние индексы ($m$ и $k$) и оставим у пространства только два измерения, т.е. будем считать, что индексы пробегают значения 0 и 1. Тогда утверждение об "антисимметричности" тензора $R^l_j$ запишется как:
$\frac{1}{4} A^{nl}_{ij} = \delta^{(n}_{(i}R^{l)}{}_{j)} = 0$
Распишем подробнее:
$A^{nl}_{ij} = \delta^n_i R^l_j + \delta^l_i R^n_j + \delta^n_j R^l_i + \delta^l_j R^n_i = 0$
Посчитаем некоторые компоненты тензора $A^{nl}_{ij}$:
$A^{00}_{00} = 4 R^0_0$
$A^{11}_{11} = 4 R^1_1$
$A^{01}_{00} = 2 R^1_0$
$A^{00}_{01} = 2 R^0_1$

Вроде бы как видно, что равенство данного тензора нулю означает равенство нулю и тензора $R^l_j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение31.05.2015, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
espe в сообщении #1021866 писал(а):
Всё, что я вычислил это буквально
Ну вот до "уборки метрики" мы с вами совпадаем. А вот дальше что-то несуразное вырисовывается. Если упорствуете, изложите по шагам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 10:47 


10/02/11
6786
ну а что вы пристали то к человеку? есть стандартный критерий полной интегрируемости таких систем, вы этого критерия не знаете, что такое полная интегрируемость тоже не знаете, espe не виноват.
Оказалось, что полная интегрируемость является слишком сильным требованием, задача тоньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение01.06.2015, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9007
Oleg Zubelevich в сообщении #1022212 писал(а):
есть стандартный критерий полной интегрируемости таких систем, вы этого критерия не знаете, что такое полная интегрируемость тоже не знаете
Ну да, мы не знаем, а потому спрашиваем. Вот это условие:
espe в сообщении #1020733 писал(а):
$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0,$$
- правильное. К нему надо добавить слова про то, что "существует такой $g_{ik}$, что данное равенство выполняется". Как я понимаю, это не есть "полная интегрируемость"? Что же тогда это такое? То бишь, в чём именно заключается "уборка метрики"?

Свой вариант "уборки метрики" я описал выше. Он выражается в нахождении собственных значений. Но как выразить его красивой формулой -- я не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group