2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Geen в сообщении #1018662 писал(а):
как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?
Посредством буквы Г.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 00:22 


10/02/11
6786
=

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2954
Утундрий в сообщении #1018925 писал(а):
Geen в сообщении #1018662 писал(а):
как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?
Посредством буквы Г.
И?
А то можно ещё сразу букву R взять ;-)

Кстати, возможно просто слово "определить" было воспринято не в том значении...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Geen в сообщении #1018934 писал(а):
И?
И вотъ.

Вам наверняка встречалось такое устойчивое словосочетание: "кривизна связности". Подумайте, к чему бы оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 11:06 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1018879 писал(а):
Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

а какие есть достаточные условия локального существования метрики согласованной с данной связностью? (при $\{R^i_{jks}\}\ne 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Насколько я помню, условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для этого (у Постникова в "Лекции по геометрии"-4 есть точная формулировка).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение24.05.2015, 11:57 


10/02/11
6786
а даже так, понятно, спасибо. раз так, значит это следствие вот этой теоремы: post759012.html#p759012 я должен был сообразить

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение25.05.2015, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
epros в сообщении #1018879 писал(а):
В случае ненулевой кривизны всё не так просто: Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

А вот я слышал другое: если задать произвольную (с нужными гладкостями и ты. пы.) кривизну как тензорное поле на координатной карте, то будет существовать многообразие с ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение25.05.2015, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
lek в сообщении #1018991 писал(а):
условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для
Интересно! А можно чуть подробней? Хотя бы на идейном уровне. Без посылов в Постникова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение25.05.2015, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Только на идейном :) Форма связности в расслоении линейных реперов над произвольным (паракомпактным) многообразием имеет вид $\omega=\omega_{j}^{i}e_{i}^{j}$, где $\omega_{j}^{i}=\Gamma_{kj}^{i}dx^{k}$ и $e_{i}^{j}$ - базис алгебры Ли $gl(n)$. Оказывается, что редукция группы $GL(n)\to O(n)$ ведет к редукции векторного расслоения тогда и только тогда, когда связность согласована с метрикой (т.е. когда параллельный перенос слоев сохраняет метрику, заданную на каждом слое). Поскольку алгебра Ли $o(n)$ антисимметрична, это влечет $\omega_{j}^{i}+\omega_{i}^{j}=0$ или $\Gamma_{kj}^{i}+\Gamma_{ki}^{j}=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение25.05.2015, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
lek в сообщении #1019601 писал(а):
Поскольку алгебра Ли $o(n)$ антисимметрична
Ой, как нехорошо... Впрочем, надо будет поразмыслить. Наверняка этому есть хорошее элементарное объяснение.

P.S. Индексы я бы опустил, а то не сразу понятно обо что речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9008
Munin в сообщении #1019400 писал(а):
если задать произвольную (с нужными гладкостями и ты. пы.) кривизну как тензорное поле на координатной карте, то будет существовать многообразие с ней.
Именно метрическое? Дело в том, что тензор кривизны можно сконструировать таким образом, что перенос вектора $A^i$ по некоему малому замкнутому контуру будет эквивалентен преобразованию: $A^i \mapsto (1 + \delta a) A^i$. А это в некотором смысле означает, что как бы мы ни определяли длину оного вектора, после переноса по оному контуру она не сохранится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Честно говоря, слышал я давно и подробностей не помню. Может быть, там вообще речь шла не о полном тензоре кривизны, а о чём-то свёрнутом. Хотя вряд ли бы оно меня тогда так впечатлило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2954
epros в сообщении #1020326 писал(а):
тензор кривизны можно сконструировать таким образом, что перенос вектора $A^i$ по некоему малому замкнутому контуру будет эквивалентен преобразованию

Он же тогда симметриям (по индексам) не будет удовлетворять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 14:03 


10/02/11
6786
условия интегрируемости системы уравнений
$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0$$
эквивалентны хорошо известному равенству $$R_{iqkl}=-R_{kliq}\qquad (*).$$ Условие
lek в сообщении #1018991 писал(а):
ие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$

обеспечивает выполнение равенства (*) при любом $g_{ij}$

чтд

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group