Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[upgrade]

(Оффтоп)

а как параллельно переносить на сфере так, чтобы сфера стала плоскостью в смысле расчетов и формул - к ней можно было применять те же формулы что и для настоящей плоскости?

[Munin]

Oleg Zubelevich
А в обратную сторону? Из (*) следует $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$?

[svv]

upgrade Ваш вопрос по теме, отвечу не в оффтопе.
При переносе вектора по замкнутому пути на сфере вектор-результат не совпадает с исходным (повернут относительно него на некоторый угол). Решите, хотите ли Вы иметь этот эффект.
Если да, то ответ — никак, потому что на плоскости этого нет, следовательно, «как на плоскости» не получится.
Если нет, то это будет уже не сфера.

[upgrade]

svv
так вот почитав тему, я и решил, что есть методы - существует какая-то такая комбинация сфер и плоскостей, что параллельный перенос по ним равносилен параллельному переносу на плоскости, надо лишь обнаружить эту плоскость и как-то связать с этой комбинацией кривых поверхностей.

[epros]

Geen в сообщении #1020332 писал(а):

Он же тогда симметриям (по индексам) не будет удовлетворять?

Если метрики нет, то и симметрии между верхним и нижним индексами нет.

[svv]

Что-то не то.

Условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ неинвариантно относительно преобразования координат. В полярных координатах на плоскости оно не выполняется:
$\Gamma^{\varphi}_{\varphi\rho}=\frac 1 {\rho}$
$\Gamma^{\rho}_{\varphi\varphi}=-\rho$
Хотя в декартовой системе выполнено.

И в сферических координатах $(\theta, \varphi)$ на сфере $r=1$ условие не выполняется:
$\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\;\cos\theta$
$\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}=\ctg\theta$
Хотя метрика $ds^2=d\theta^2+\sin^2\theta\;d\varphi^2$ согласована с такой связностью.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1020360 писал(а):

А в обратную сторону? Из (*) следует $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$?

во-первых, у меня там ошибка, правильное условие интегрируемости системы выглядит так: $g_{lj}R^l_{iks}+g_{il}R^l_{jks}=0.$ и, во-вторых, как выводить это условие из $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$, я не знаю. Одним словом, ждентельмены, я пас(с)

[lek]

svv в сообщении #1020381 писал(а):

Что-то не то.

Ага. Это условие выполняется в тривиализирующих окрестностях элементов многообразия и поэтому метрическая часть связности по условию равна нулю. В общем случае условие $^*\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ приводит к тому, что аффинная связность $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+Q^{\rho}_{\mu\nu}$, где $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - риманова связность, а $Q^{\rho}_{\mu\nu}$ - тензор аффинной деформации (неметрическая часть связности), который антисимметричен по индексам $\rho$ и $\nu$.

[svv]

lek, спасибо.

[Oleg Zubelevich]

lek в сообщении #1020401 писал(а):

а. Это условие выполняется в тривиализирующих окрестностях элементов многообразия

простите, я не понял, Ваше предыдущее утверждение было верным или нет? и если нет то как правильно формулируется условие существования метрики согласованной с о связностью в терминах $\Gamma_{ij}^k$?

[lek]

Общее условие сформулировано в предыдущем сообщении: $^*\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ тогда и только тогда, когда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+Q^{\rho}_{\mu\nu}$. Имеем два частных случая: 1) $Q^{\rho}_{\mu\nu}=0$ и тогда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - риманова связность; 2) $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=0$ и тогда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - аффинная "$o(n)$-значная" (спиновая) связность. О последней и "говорил" Постников (ну и я вслед за ним ).

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, я иначе поставлю вопрос. Рассмаотрим $\mathbb{R}^3$ со стандартными координатами $(x^1,x^2,x^3)$. Связность задана следующим образом

$$\Gamma_{ij}^k=\frac{x^k+x^1}{1+(x^i)^2+(x^j)^2}$$

Вопрос: существует ли в окрестности нуля риманова метрика согласованная с указанной связностью?

[lek]

Не совсем так. Нам задана (в общем случае несимметрическая) связность $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$. Введем независимо от связности метрический тензор $g_{\mu\nu}$. Так как метрика и связность введены независимо, то, вообще говоря, $^{*}\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}\ne 0$. Расписав левую часть этого равенства в развернутом виде и приравняв ее к нулю, можно показать (см. например, Родичев "Теория тяготения в ортогональном репере", стр. 19-22), что $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ разлагается в сумму двух слагаемых (см. выше). Единственность этого разложения следует из единственности решения системы $^{*}\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ $n^3$ линейных дифференциальных уравнений с $n^3$ неизвестными.

Пока я писал ответ на ваш предыдущий пост, вы его убрали

[Oleg Zubelevich]

ну а как на счет задачи с конкретной связностью, что я постом выше написал?

[lek]

Без понятия, это считать надо. Единственное, что с ходу можно сказать - если существует, то связность должна быть римановой.