2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 14:29 


07/08/14
3791

(Оффтоп)

а как параллельно переносить на сфере так, чтобы сфера стала плоскостью в смысле расчетов и формул - к ней можно было применять те же формулы что и для настоящей плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Oleg Zubelevich
А в обратную сторону? Из (*) следует $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 15:27 
Заслуженный участник


23/07/08
8542
Харьков
upgrade Ваш вопрос по теме, отвечу не в оффтопе.
При переносе вектора по замкнутому пути на сфере вектор-результат не совпадает с исходным (повернут относительно него на некоторый угол). Решите, хотите ли Вы иметь этот эффект.
Если да, то ответ — никак, потому что на плоскости этого нет, следовательно, «как на плоскости» не получится.
Если нет, то это будет уже не сфера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 16:20 


07/08/14
3791
svv
так вот почитав тему, я и решил, что есть методы - существует какая-то такая комбинация сфер и плоскостей, что параллельный перенос по ним равносилен параллельному переносу на плоскости, надо лишь обнаружить эту плоскость и как-то связать с этой комбинацией кривых поверхностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9002
Geen в сообщении #1020332 писал(а):
Он же тогда симметриям (по индексам) не будет удовлетворять?
Если метрики нет, то и симметрии между верхним и нижним индексами нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 16:36 
Заслуженный участник


23/07/08
8542
Харьков
Что-то не то.

Условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ неинвариантно относительно преобразования координат. В полярных координатах на плоскости оно не выполняется:
$\Gamma^{\varphi}_{\varphi\rho}=\frac 1 {\rho}$
$\Gamma^{\rho}_{\varphi\varphi}=-\rho$
Хотя в декартовой системе выполнено.

И в сферических координатах $(\theta, \varphi)$ на сфере $r=1$ условие не выполняется:
$\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\;\cos\theta$
$\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}=\ctg\theta$
Хотя метрика $ds^2=d\theta^2+\sin^2\theta\;d\varphi^2$ согласована с такой связностью.

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 17:40 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1020360 писал(а):
А в обратную сторону? Из (*) следует $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$?

во-первых, у меня там ошибка, правильное условие интегрируемости системы выглядит так: $g_{lj}R^l_{iks}+g_{il}R^l_{jks}=0.$ и, во-вторых, как выводить это условие из $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$, я не знаю. Одним словом, ждентельмены, я пас(с)

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
svv в сообщении #1020381 писал(а):
Что-то не то.

Ага. Это условие выполняется в тривиализирующих окрестностях элементов многообразия и поэтому метрическая часть связности по условию равна нулю. В общем случае условие $^*\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ приводит к тому, что аффинная связность $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+Q^{\rho}_{\mu\nu}$, где $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - риманова связность, а $Q^{\rho}_{\mu\nu}$ - тензор аффинной деформации (неметрическая часть связности), который антисимметричен по индексам $\rho$ и $\nu$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 17:48 
Заслуженный участник


23/07/08
8542
Харьков
lek, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 18:14 


10/02/11
6786
lek в сообщении #1020401 писал(а):
а. Это условие выполняется в тривиализирующих окрестностях элементов многообразия

простите, я не понял, Ваше предыдущее утверждение было верным или нет? и если нет то как правильно формулируется условие существования метрики согласованной с о связностью в терминах $\Gamma_{ij}^k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Общее условие сформулировано в предыдущем сообщении: $^*\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ тогда и только тогда, когда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+Q^{\rho}_{\mu\nu}$. Имеем два частных случая: 1) $Q^{\rho}_{\mu\nu}=0$ и тогда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - риманова связность; 2) $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=0$ и тогда $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ - аффинная "$o(n)$-значная" (спиновая) связность. О последней и "говорил" Постников (ну и я вслед за ним :D).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 21:33 


10/02/11
6786
Хорошо, я иначе поставлю вопрос. Рассмаотрим $\mathbb{R}^3$ со стандартными координатами $(x^1,x^2,x^3)$. Связность задана следующим образом $$\Gamma_{ij}^k=\frac{x^k+x^1}{1+(x^i)^2+(x^j)^2}$$ Вопрос: существует ли в окрестности нуля риманова метрика согласованная с указанной связностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Не совсем так. Нам задана (в общем случае несимметрическая) связность $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$. Введем независимо от связности метрический тензор $g_{\mu\nu}$. Так как метрика и связность введены независимо, то, вообще говоря, $^{*}\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}\ne 0$. Расписав левую часть этого равенства в развернутом виде и приравняв ее к нулю, можно показать (см. например, Родичев "Теория тяготения в ортогональном репере", стр. 19-22), что $^{*}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ разлагается в сумму двух слагаемых (см. выше). Единственность этого разложения следует из единственности решения системы $^{*}\Delta_{\rho}g_{\mu\nu}=0$ $n^3$ линейных дифференциальных уравнений с $n^3$ неизвестными.

Пока я писал ответ на ваш предыдущий пост, вы его убрали :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 21:54 


10/02/11
6786
ну а как на счет задачи с конкретной связностью, что я постом выше написал? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение27.05.2015, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
851
ЦФО, Россия
Без понятия, это считать надо. Единственное, что с ходу можно сказать - если существует, то связность должна быть римановой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group