Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[Утундрий]

Geen в сообщении #1018662 писал(а):

как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?

Посредством буквы Г.

[Oleg Zubelevich]

=

[Geen]

Утундрий в сообщении #1018925 писал(а):

Geen в сообщении #1018662 писал(а):

как иначе, принципиально, (без метрики) можно определить кривизну?

Посредством буквы Г.

И?
А то можно ещё сразу букву R взять

Кстати, возможно просто слово "определить" было воспринято не в том значении...

[Утундрий]

Geen в сообщении #1018934 писал(а):

И?

И вотъ.

Вам наверняка встречалось такое устойчивое словосочетание: "кривизна связности". Подумайте, к чему бы оно?

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1018879 писал(а):

Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

а какие есть достаточные условия локального существования метрики согласованной с данной связностью? (при $\{R^i_{jks}\}\ne 0)$

[lek]

Насколько я помню, условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для этого (у Постникова в "Лекции по геометрии"-4 есть точная формулировка).

[Oleg Zubelevich]

а даже так, понятно, спасибо. раз так, значит это следствие вот этой теоремы: post759012.html#p759012 я должен был сообразить

[Munin]

epros в сообщении #1018879 писал(а):

В случае ненулевой кривизны всё не так просто: Иногда доопределить согласованную со связностью метрику оказывается можно, а иногда -- нельзя.

А вот я слышал другое: если задать произвольную (с нужными гладкостями и ты. пы.) кривизну как тензорное поле на координатной карте, то будет существовать многообразие с ней.

[Утундрий]

lek в сообщении #1018991 писал(а):

условие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$ является необходимым и достаточным для

Интересно! А можно чуть подробней? Хотя бы на идейном уровне. Без посылов в Постникова.

[lek]

Только на идейном :) Форма связности в расслоении линейных реперов над произвольным (паракомпактным) многообразием имеет вид $\omega=\omega_{j}^{i}e_{i}^{j}$, где $\omega_{j}^{i}=\Gamma_{kj}^{i}dx^{k}$ и $e_{i}^{j}$ - базис алгебры Ли $gl(n)$. Оказывается, что редукция группы $GL(n)\to O(n)$ ведет к редукции векторного расслоения тогда и только тогда, когда связность согласована с метрикой (т.е. когда параллельный перенос слоев сохраняет метрику, заданную на каждом слое). Поскольку алгебра Ли $o(n)$ антисимметрична, это влечет $\omega_{j}^{i}+\omega_{i}^{j}=0$ или $\Gamma_{kj}^{i}+\Gamma_{ki}^{j}=0$.

[Утундрий]

lek в сообщении #1019601 писал(а):

Поскольку алгебра Ли $o(n)$ антисимметрична

Ой, как нехорошо... Впрочем, надо будет поразмыслить. Наверняка этому есть хорошее элементарное объяснение.

P.S. Индексы я бы опустил, а то не сразу понятно обо что речь.

[epros]

Munin в сообщении #1019400 писал(а):

если задать произвольную (с нужными гладкостями и ты. пы.) кривизну как тензорное поле на координатной карте, то будет существовать многообразие с ней.

Именно метрическое? Дело в том, что тензор кривизны можно сконструировать таким образом, что перенос вектора $A^i$ по некоему малому замкнутому контуру будет эквивалентен преобразованию: $A^i \mapsto (1 + \delta a) A^i$. А это в некотором смысле означает, что как бы мы ни определяли длину оного вектора, после переноса по оному контуру она не сохранится.

[Munin]

Честно говоря, слышал я давно и подробностей не помню. Может быть, там вообще речь шла не о полном тензоре кривизны, а о чём-то свёрнутом. Хотя вряд ли бы оно меня тогда так впечатлило.

[Geen]

epros в сообщении #1020326 писал(а):

тензор кривизны можно сконструировать таким образом, что перенос вектора $A^i$ по некоему малому замкнутому контуру будет эквивалентен преобразованию

Он же тогда симметриям (по индексам) не будет удовлетворять?

[Oleg Zubelevich]

условия интегрируемости системы уравнений

$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0$$

эквивалентны хорошо известному равенству

$$R_{iqkl}=-R_{kliq}\qquad (*).$$

Условие

lek в сообщении #1018991 писал(а):

ие $\Gamma_{ij}^{k}+\Gamma_{ik}^{j}=0$

обеспечивает выполнение равенства (*) при любом $g_{ij}$

чтд