Что такое дифференциал?

[g______d]

indonata в сообщении #1017868 писал(а):

Честно сказать, я не совсем понимаю подход к объекту $dx$ как к отображению $(x,v)\mapsto v$, но не могу возразить вам конструктивно.

Ну откройте какой-нибудь приличный учебник (например, Зорича) или даже википедию и посмотрите формальное определение дифференциала отображения. А потом я могу объяснить, как с точки зрения этого определения понять $dx=2$. Без формального определения это будет тяжело.

indonata в сообщении #1017868 писал(а):

Знаю, что в анализе принято соглашение понимать $dx$ как дифференциал тождественного отображения $x \mapsto x$.

Зачем нужны дополнительные соглашения, если это просто и есть определение символа $d$ в данном контексте?

indonata в сообщении #1017868 писал(а):

касательное пространство к функции

Я не очень понимаю, что такое касательное пространство к функции. Оно бывает к многообразию (например, к кривой или к графику функции), но касательное пространство к кривой $y=x^3$ не имеет прямого отношения к дифференциалу функции $x^3$.

indonata в сообщении #1017868 писал(а):

Таким образом равенство $dx = 2$ это просто величина абсциссы в системе координат $(dx,dy)$.

Что скажете?

Скажу, что вы переопределяете стандартные обозначения, чтобы придать смысл равенству $dx=2$.

[Munin]

g______d в сообщении #1018047 писал(а):

Я не очень понимаю, что такое касательное пространство к функции.

Я подозреваю, что подразумевается касательное к domain функции...

g______d в сообщении #1018047 писал(а):

Скажу, что вы переопределяете стандартные обозначения, чтобы придать смысл равенству $dx=2$.

Извините, для физиков это стандартно, что я вам уже говорил.

[g______d]

Munin в сообщении #1018184 писал(а):

Извините, для физиков это стандартно, что я вам уже говорил.

А можно несколько ссылок, где это используется стандартно?

Я на самом деле морально почти готов объяснить, как, по моему мнению, этому проще всего придать смысл. Но сначала ссылки.

[olenellus]

Munin в сообщении #1015952 писал(а):

Если бы у физика было лишних 5 лет для изучения математики, он бы, конечно, с удовольствием получил знания математического факультета. Не говоря уже об инженере (ему 5 лет для изучения математики и 5 лет для изучения физики).

А что, у физика или инженера после вуза жизнь кончается?

[Munin]

olenellus в сообщении #1018268 писал(а):

А что, у физика или инженера после вуза жизнь кончается?

Не кончается, но выкроить после вуза порядка 5 лет непрерывной жизни - реально ли, при том, что надо уже начать заниматься профессиональной деятельностью? Я имел в виду "лишние годы студенческой жизни", примерно так.

g______d в сообщении #1018264 писал(а):

А можно несколько ссылок, где это используется стандартно?

Боюсь, нет. Дело в том, что физики, запуганные математиками, практически повсеместно в таких ситуациях пишут не $dx,$ а $\Delta x,$ хотя по всем дальнейшим совершаемым действиям это именно $dx.$

g______d в сообщении #1018264 писал(а):

Я на самом деле морально почти готов объяснить, как, по моему мнению, этому проще всего придать смысл.

Ну как-то мы это уже и так выяснили, вроде бы. Или у вас другая версия?

[g______d]

Munin в сообщении #1018348 писал(а):

Дело в том, что физики, запуганные математиками, практически повсеместно в таких ситуациях пишут не $dx,$ а $\Delta x,$ хотя по всем дальнейшим совершаемым действиям это именно $dx.$

Не понятно. Откуда тогда вообще разговоры про стандартность $dx$ для физиков?

[Munin]

Про стандартность записи $dx=2.$ Чё-то я уже и сам не соображу. Временное помрачение ума какое-то было :-)
(Про всё остальное - пока в силе.)

[g______d]

Munin в сообщении #1018348 писал(а):

Ну как-то мы это уже и так выяснили, вроде бы. Или у вас другая версия?

Нет, не другая, просто я не уверен, насколько она отчетливо прозвучала. Фраза "возьмем $dx=2$" означает "возьмем такой касательный вектор $v$, что $dx (v)=2$". "Чему равно $df$, если $dx=2$" означает "чему равно $df(v)$, если $dx (v)=2$".

[Geen]

g______d в сообщении #1018625 писал(а):

"Чему равно $df$, если $dx=2$" означает "чему равно $df(v)$, если $dx (v)=2$".

" Можно по медленнее, я записываю". (с)
В смысле, ничего не понятно.

[olenellus]

Ну что не понятно? Что такое дифференциал отображения многообразий, понятно?

Тут g______d вольности допускает, канонически отождествляя касательное пространство над произвольной точкой многообразия $\mathbb{R}$ с самим $\mathbb{R}$. Если совсем педантично подходить к определению дифференциала отображения, то $dx(v)$ и $df(v)$ в определённой точке многообразия-прообраза - это всё же векторы над точкой-образом многообразия-образа. Но он об этом уже в разной форме написал. И как при таком отождествлении $dx$ и $df$ превращаются в дифференциальные формы, а $d$ во внешнее дифференцирование.

[g______d]

olenellus в сообщении #1018678 писал(а):

Тут g______d вольности допускает

Угу. Наверное, надо было это более четко сказать.

olenellus в сообщении #1018678 писал(а):

канонически отождествляя касательное пространство над произвольной точкой многообразия $\mathbb{R}$ с самим $\mathbb{R}$.

Да, и отождествление такое (пусть будет на всякий случай): вектору $v\in \mathbb R^n$ сопоставляется касательный вектор в точке $x\in \mathbb R^n$, задаваемый (прямой) кривой $t\mapsto x+tv$.

[Munin]

Вот из другой темы вопрос: post1019358.html#p1019358

Otta в сообщении #1017633 писал(а):

jrMTH в сообщении #1017632 писал(а):

$x(1/dx) = y(1/dy)$

Сюрреализм какой-то, а не строчка. Обойдитесь как-нибудь без дифференциалов в знаменателе.

Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

(Ну понятное дело, кроме нюанса, где что нулю не должно быть равно.)

[provincialka]

Munin в сообщении #1019359 писал(а):

Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Интегрировать неудобно

[g______d]

Munin в сообщении #1019359 писал(а):

Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Ну потому что $\frac{dx}{x}=x^{-1}dx$, а второе это что такое?

[Munin]

$x(dx)^{-1},$ очевидно :-)

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1019361 писал(а):

Интегрировать неудобно :D

Ага, слышал, одеяло сваливается :-)