2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Munin в сообщении #1019359 писал(а):
Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Разница примерно такая же, как между $\dfrac{\vec{a}}{b} = \dfrac{\vec{c}}{d}$ и $\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну это только в "узкой интерпретации", а g______d уже согласился на "широкую".

С другой стороны, да, это очень ясно, как жаль, что я сам не додумался. Туплю нынче, видимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 22:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
С той же или другой другой стороны, такое «псевдообращение» $\mathbf u^{-1} \equiv \mathbf u/u^2$ иногда полезно… (Очевидно, это самый маленький вектор, дающий в скалярном произведении с исходным единицу.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
А теперь представьте, что скалярное произведение не определено...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Можно считать, что $dx$ -- это скалярная функция двух аргументов (точки на многообразии и касательного вектора). Тогда $(dx)^{-1}$ -- тоже скалярная функция тех же аргументов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 22:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
olenellus в сообщении #1019582 писал(а):
А теперь представьте, что скалярное произведение не определено...
Потому и написал «иногда». :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Сейчас доиграемся и придадим точный смысл выражению $\dfrac{df}{dx}$ как всамделешному отношению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 23:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так ведь придают же, и давно. Вроде, и в этой теме было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение25.05.2015, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну не было же, ну. Кстати, один из самых высокооцененных вопросов на math.stackexchange.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv
Тут просто это уже далеко не первая тема на эту тему :-)
(Хорошо ещё, что они не совпадают с точностью до изоморфизма... хотя близки к этому...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 03:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1019679 писал(а):
Тут просто это уже далеко не первая тема на эту тему
О да, это знаю! Даже писал в других и упоминал их наличие пару раз. :-)

Munin в сообщении #1019679 писал(а):
(Хорошо ещё, что они не совпадают с точностью до изоморфизма... хотя близки к этому...)
Я бы выделил два класса: длинные с разнейшими описаниями и короткие со ссылками на длинные. Но модераторы портят классификацию объединением тем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я был бы рад третьему классу: где обсуждение не топчется на месте, а куда-то движется. Вот мне кажется, что в этой удалось чего-то добиться. А ссылки - чего ссылки? Их и скопировать можно. (Сижу и выразительно смотрю на arseniiv.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 13:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну да, ссылки скопировать можно, если помнишь откуда, так что хорошо, что модераторы обычно помнят и просто прилепляют новую тему к тому, откуда могли планироваться эти ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 17:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
g______d в сообщении #1019591 писал(а):
Можно считать, что $dx$ -- это скалярная функция двух аргументов (точки на многообразии и касательного вектора). Тогда $(dx)^{-1}$ -- тоже скалярная функция тех же аргументов.

Именно. Поэтому $\frac{x}{dx}=\frac{y}{dy}$ это то же самое, что $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$. И $\frac{x}{dx}=\frac{1}{d(\ln x)}$. Тут важно то, что значения, которые принимает дифференциал скалярной функции, являются скалярами. Вот для дифференциалов отображения многообразий не могу представить, что может означать $\frac{1}{dy}$ потому, что вектора делить нельзя.
olenellus в сообщении #1019494 писал(а):
$\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

Хотя, может в какой-то физической задаче и такое может встретиться. И уже исходя из задачи, можно будет придать смысл такому выражению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение26.05.2015, 18:20 


07/08/14
4231
olenellus в сообщении #1019494 писал(а):
Munin в сообщении #1019359 писал(а):
Извините, но я вот никак не понимаю, в чём разница между $\dfrac{x}{dx}=\dfrac{y}{dy}$ и $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{dy}{y}.$

Разница примерно такая же, как между $\dfrac{\vec{a}}{b} = \dfrac{\vec{c}}{d}$ и $\dfrac{b}{\vec{a}} = \dfrac{d}{\vec{c}}$.

это что же, $dx$ и $dy$ - это не просто числа, а что-то вроде векторов... а направление - вдоль осей?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 182 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group