Что такое дифференциал?

[Munin]

g______d в сообщении #1015312 писал(а):

То же, что и с окружностью: функция $\varphi$ не определена однозначно и не может быть задана глобально, но форма $d\varphi$ при этом отлично определена.

Тогда и символ $d$ в обозначении этой формы не имеет смысла, и не должен использоваться. Мало, что ли, букв для форм на свете? (Физики $d$ поставят, но по другим причинам.)

-- 15.05.2015 04:42:43 --

g______d в сообщении #1015312 писал(а):

Касательный вектор -- это и есть оператор, по одному из (и наиболее инвариантному из) определений.

В физике это вещи разные. Хотя бы на уровне нотации (а именно её мы и обсуждаем!).

[g______d]

Munin в сообщении #1015314 писал(а):

Тогда и символ $d$ в обозначении этой формы не имеет смысла, и не должен использоваться.

Имеет. Потому что равенство "форма объёма равна $d\varphi$" верно не зависимо от выбора $\varphi$, если иметь в виду тот произвол, о котором я говорил.

-- Чт, 14 май 2015 18:47:20 --

Ну т. е. это произвол на уровне писать $a=f(b)$, где $b$ не однозначно определено, но $f(b_1)=f(b_2)$ для любых двух $b_1$ и $b_2$ из того класса, которому принадлежит $b$.

-- Чт, 14 май 2015 18:55:36 --

Munin в сообщении #1015311 писал(а):

Да, кстати! Вот ещё момент, который не совпадает у математиков и в принятой в физике нотации. Физики пишут $dx^i$ только тогда, когда известен базис (или когда явно подразумевается 1-форма), а в других случаях - $d\vec{x},$ отдельно оговаривая, куда он направлен. Обозначение $\frac{\partial}{\partial x}$ зафиксировано за оператором (частной производной или градиента), и в других смыслах не применимо.

Munin в сообщении #1015314 писал(а):

В физике это вещи разные. Хотя бы на уровне нотации (а именно её мы и обсуждаем!).

Я, если честно, не очень понял, в какой момент мы переключились на обсуждение нотации, используемой у физиков. Мне вот вообще рассказывали байку, что в какой-то статье было обозначение $\frac{1}{dx}$, обозначающее

(угадайте что)

$\delta(x)$; куда делся знак интеграла -- спросите чего-нибудь полегче.

Ну т. е. не-оффтопом будет обсуждать другие формальные определения, возникающие в курсах анализа, но вот насчёт того, как им пользуются физики -- тут я не уверен.

[Munin]

g______d в сообщении #1015315 писал(а):

Имеет. Потому что равенство "форма объёма равна $d\varphi$" верно не зависимо от выбора $\varphi$, если иметь в виду тот произвол, о котором я говорил.

Нет, это равенство "форма объёма равна $\mathrm{vol}$".

g______d в сообщении #1015315 писал(а):

Ну т. е. это произвол на уровне писать $a=f(b)$, где $b$ не однозначно определено

Точнее, бессмыслица на том же уровне. Хорошо если класс вообще непуст, а если пуст?

[g______d]

Munin в сообщении #1015317 писал(а):

Хорошо если класс вообще непуст, а если пуст?

Хорошо, в предположении, что он непуст. Есть замечательная фраза на этот случай "допуская некоторую вольность обозначений" или "with a slight abuse of notation". Математики тоже люди. Полностью формализованных доказательств не бывает (кроме Coq и подобных); но все указанные вольности происходят при условии, что и автор, и читатель понимают, как именно формализовать конкретное место.

[Munin]

g______d в сообщении #1015319 писал(а):

Есть замечательная фраза на этот случай "допуская некоторую вольность обозначений" или "with a slight abuse of notation".

Хорошо, вот ещё одна оговорка к вашему

g______d в сообщении #1014264 писал(а):

в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное.

g______d в сообщении #1015319 писал(а):

но все указанные вольности происходят при условии, что и автор, и читатель понимают, как именно формализовать конкретное место.

Я бы хотел напомнить, что в математике - стоит задача "формализовать конкретное место".
А в физике и в технике - совсем другая задача "рассчитать конкретное место". То есть, формулу надо понять до уровня цифр. Что куда подставлять, и что потом с этим делать. Нюансы произносимых слов при этом по барабану, кроме одного: выхода за пределы применимости расчётного метода.

[g______d]

Munin в сообщении #1015602 писал(а):

в математике - стоит задача "формализовать конкретное место".

в частности, с целью найти

Munin в сообщении #1015602 писал(а):

пределы применимости расчётного метода

Munin в сообщении #1015602 писал(а):

То есть, формулу надо понять до уровня цифр. Что куда подставлять, и что потом с этим делать.

Это курс численных методов, а не анализа. В анализе, действительно важно объяснить, что подставлять надо вектор, а не ковектор, и в таком духе. И вообще, если теорема есть, то числа найдётся куда подставить. Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики; и вообще, механические навыки сами по себе --- это не то, что должно быть в университетском курсе вообще.

[Munin]

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

в частности, с целью найти

Ну вот это и есть - в математике. В математике находят, сообщают прикладникам, те - пользуются.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

Это курс численных методов, а не анализа.

Ну, можно, конечно, так переименовать. Но тогда, вы знаете, 70 % школьной математики, и всю математику в вузах для нематематиков - тоже придётся переименовать в численные методы.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

В анализе, действительно важно объяснить, что подставлять надо вектор, а не ковектор, и в таком духе.

Я про это и говорил. На уровне чисел это не менее важно.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

И вообще, если теорема есть, то числа найдётся куда подставить.

Да-а-алеко не всегда! Хорошо ещё если теорема Гаусса (хотя и тут бывают весьма изощрённые способы её применить), а если какая-нибудь теорема "чистого существования"?

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики; и вообще, механические навыки сами по себе --- это не то, что должно быть в университетском курсе вообще.

По-моему, вы всё-таки неадекватно представляете себе место математики в багаже знаний нематематиков.

[indonata]

g______d

Цитата:

Отображение? Линейный оператор? Функция?

Очень милое противопоставление.

Цитата:

Если функция, то откуда куда? Вам, наверное, кажется очевидным, ну вот и напишите.

Пишу специально для вас, в данном случае это линейная однородная функция (или, если хотите, линейное отображение, или даже линейный оператор), которая действует из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$

[g______d]

indonata в сообщении #1015844 писал(а):

Пишу специально для вас, в данном случае это линейная однородная функция (или, если хотите, линейное отображение, или даже линейный оператор), которая действует из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$

Прямо уж линейная однородная по обеим переменным?

-- Пт, 15 май 2015 16:07:45 --

indonata в сообщении #1015844 писал(а):

Очень милое противопоставление.

Я не знаю, где там вы увидели противопоставление.

-- Пт, 15 май 2015 16:10:43 --

Munin в сообщении #1015717 писал(а):

По-моему, вы всё-таки неадекватно представляете себе место математики в багаже знаний нематематиков.

Я представляю себе место любого знания в багаже одинаково: нужно иметь какое-то представление о самой науке, а не только о ее приложениях в сиюминутной интересующей вас области. И не только по отношению к математике, конечно.

[NT2000]

(оптоп )))

При всём том, что обсуждение очень интересно и поучительно, не сдержусь от восклицания:
вот один из случаев, когда бояре спорят, а у студентов холопов чубы трещат.

[indonata]

Цитата:

Прямо уж линейная однородная по обеим переменным?

Да, вы правы, только по приращению

[g______d]

indonata в сообщении #1015852 писал(а):

Да, вы правы, только по приращению

Ну да, лучше. Действительно, $df$ -- это отображение из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$, которое паре $(x,v)\in \mathbb R^2$ сопоставляет число $3x^2 v$ ($v$ -- это касательный вектор, а не число, но касательное пространство к $\mathbb R$ можно отождествить с $\mathbb R$. Или даже если не отождествлять, то всё равно можно умножить касательный вектор на $3x^2$ и тоже получить касательный вектор).

Можно понимать это как функцию, сопоставляющую точке и касательному вектору число; а можно понимать как функцию, которая каждой точке сопоставляет линейную функцию, сопоставляющую вектору число. Или как функцию, сопоставляющую точке функционал на касательном пространстве в этой точке. Или как функцию, сопоставляющую точке кокасательный вектор.

Теперь, $dx$ -- это такой же объект, тоже функция двух переменных, только более простая: $(x,v)\mapsto v$. Тогда равенство $df=f'(x)dx$ имеет точный смысл.

Теперь вопрос -- что значит $dx=2$? Слева конкретная функция двух переменных, справа число. При этом функция, очевидно, не равная 2 тождественно (поскольку линейная однородная функция по одной переменной не может быть равна ненулевой константе). В принципе, есть довольно простой и логичный ответ.

[Munin]

g______d в сообщении #1015846 писал(а):

Я представляю себе место любого знания в багаже одинаково: нужно иметь какое-то представление о самой науке, а не только о ее приложениях в сиюминутной интересующей вас области. И не только по отношению к математике, конечно.

Это роскошь, но не необходимость. Если бы у физика было лишних 5 лет для изучения математики, он бы, конечно, с удовольствием получил знания математического факультета. Не говоря уже об инженере (ему 5 лет для изучения математики и 5 лет для изучения физики).

Кроме того, мы обсуждаем вашу ложную дилемму:

g______d в сообщении #1015693 писал(а):

Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики

Я согласен, что навыки работы не должны быть механическими. Но я не согласен, что альтернатива - это доказательство. Я настаиваю, что альтернатива (одна из нескольких, предпочитаемая мной) - это понимание, а доказательство в нём участвует (или всего лишь упоминается) постольку поскольку. Иногда доказательства могут сильно помогать пониманию, иногда - вообще отношения к делу не иметь. Пример второго: теорема Пуанкаре о замкнутых и точных формах, которую мы обсуждали недавно.

[Munin]

g______d в сообщении #1015166 писал(а):

В смысле? Именно $(dx)^n$ ни разу не видел. Что это?

Вспомнил! При обсуждении порядков малости ещё эта величина фигурирует. И да, без скобок, извинитя.

[indonata]

g______d в сообщении #1015854 писал(а):

Теперь, $dx$ -- это такой же объект, тоже функция двух переменных, только более простая: $(x,v)\mapsto v$. Тогда равенство $df=f'(x)dx$ имеет точный смысл.

Теперь вопрос -- что значит $dx=2$? Слева конкретная функция двух переменных, справа число. При этом функция, очевидно, не равная 2 тождественно (поскольку линейная однородная функция по одной переменной не может быть равна ненулевой константе). В принципе, есть довольно простой и логичный ответ.

Честно сказать, я не совсем понимаю подход к объекту $dx$ как к отображению $(x,v)\mapsto v$, но не могу возразить вам конструктивно. Знаю, что в анализе принято соглашение понимать $dx$ как дифференциал тождественного отображения $x \mapsto x$. Могу только заметить, что при таком подходе действительно непонятно, что означает $dx = 2$.

Для меня $dx=2$ означает лишь то, что у нас есть касательное пространство к функции $y = x^3$ в точке $(x_0 , x^3_0)$, где $x_0=1$ и на этом пространстве у нас введена новая система координат $(dx,dy)$ c началом в точке касания.
Таким образом равенство $dx = 2$ это просто величина абсциссы в системе координат $(dx,dy)$.

Что скажете?