2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 ... 35  След.
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение31.07.2011, 17:11 


15/10/09
1344
Итак, дана произвольная (финитная) формальная система $E$, например, каноническое исчисление Поста, см. post283784.html#p283784. Рассмотрим множество выводов этой формальной системы.

Предположим на этом множестве выводов задано некоторое бинарное отношение - назовем его отношение исключения и обозначим $<$. Пусть $P, Q$ - выводы. Если $P<Q$, будем говорить, что вывод $P$ - исключение из вывода $Q$.

Примечание. Чтобы не утомлять читателя излишними детмалями, здесь мы намеренно избегаем конкретного варианта определения отношения исключения, рассмотренного выше, см. post284210.html#p284210.

В соответствии с пунктом 1 определения предыдущего поста post472251.html#p472251 индуктивное построение множества И-выводов мы начинаем с множества $T_0$ всех выводов системы $E$, которые не имеют исключений.

Если $T_0$ пусто, значит база индукции пуста, следовательно формальная система $E$ не имеет И-, Л-выводов. И значит в системе $E$ нет истинных или ложных слов (формул, выражений, ...).

Далее предполагаем, что множество $T_0$ не пусто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение31.07.2011, 20:34 


15/10/09
1344
В соответствии с пунктом 2 определения теперь мы можем построить множество $F_1$ Л-выводов, которые имеют исключения из $T_0$.

Затем, в соответствии с пунктом 3 мы строим множество $T_1$ И-выводов посредством расширения множества $T_0$ путем добавления выводов, все исключения из которых принадлежат $F_1$.

И т.д. В результате, пока в соответствии с обычной математичекой индукцией, мы построим две монотонно неубывющих (по включению) последовательности множеств: $$T_0 \subseteq T_1 \subseteq  \dots \subseteq   T_n \subseteq  \dots ,$$ $$F_1 \subseteq  F_2 \subseteq  \dots \subseteq  F_n \subseteq  \dots .$$А теперь мы готовы сделать первый трансфинитный шаг, построив множества $$T_\omega = \bigcup\limits_{n} T_n,$$$$F_\omega = \bigcup\limits_{n} F_n.$$Интуитивно этот шаг вполне очевиден - мы просто нашли "пределы" наших двух последовательностей множеств. А формально все тоже просто, если посмотреть на наше определение.

Действительно, каждый вывод из $F_\omega$ имеет исключением некоторый вывод из $T_\omega$, т.к. он принадлежит некоторому $F_n$.

В свою очередь, для любого вывода из $T_\omega$ все исключения находятся в $F_\omega$. Предлагаю доказать это в качестве упражнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.08.2011, 11:31 


15/10/09
1344
А теперь вопрос к общественности - можно ли, применив пункты 2 и 3 определения к множествам $T_\omega, F_\omega,$ построить новые И-, Л-выводы? И, если можно, то как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.08.2011, 20:37 


15/10/09
1344
Видимо, сразу ответить на вопросы предыдущего поста сложно? Упрощаю задачу - будем волноваться поэтапно. Задам более простой вопрос.

Можно ли, применив пункт 2 определения к множеству $T_\omega,$ построить новые (т.е. отстутствующие в $F_\omega$) Л-выводы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение02.08.2011, 18:00 


15/10/09
1344
Чтобы совсем упростить задачу, позволю себе вообще убрать все ссылки на К-системы, тем самым представив конструкцию из post472251.html#p472251 в чистом виде.

Итак, дано произвольное множество $U,$ на котором задано произвольное бинарное отношение (обозначим $<$). С помощью этого отношения мы выделим два подмножества $T, F$ множества $U$ следующим образом.

Определение. Пусть $x, y \in U$.
1. Если $\neg \exists x < y$, то $y \in T$.
2. Если $x<y$ и $x \in T$, то $y \in F$.
3. Если $(\forall x<y)(x \in F)$, то $y \in T$.

Итак, дана элементарная конструкция: множество с определенным на нем бинарным отношением и простенькое определение. Требуется понять это простенькое определение в терминах трансфинитной индукции.

Вопрос, на который мы ждем ответ, см. в предыдущем посте post472641.html#p472641.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение03.08.2011, 10:11 


15/10/09
1344
Блин, пункт 2 написал коряво. Короче, надо так:

Определение. Пусть $x, y \in U$.
1. Если $\neg \exists x < y$, то $y \in T$.
2. Если $(\exists x<y)(x \in T)$, то $y \in F$.
3. Если $(\forall x<y)(x \in F)$, то $y \in T$.

Для надежности повторяю совсем просто (отношение $<$ называю меньше, элементы $U$ - это объекты, элементы $T, F$ - это $T,F$-объекты):
1. Если для объекта не существует меньшего объекта, то это $T$-объект.
2. Если у объекта существует меньший $T$-объект, то он является $F$-объектом.
3. Если у объекта все объекты, меньшие чем он, являются $F$-объектами, то это $T$-объект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение03.08.2011, 20:19 


15/10/09
1344
vek88 в сообщении #472641 писал(а):
Можно ли, применив пункт 2 определения к множеству $T_\omega,$ построить новые (т.е. отстутствующие в $F_\omega$) Л-выводы?
Нет, ничего нового мы не получим. Докажем это.

Предположим, что $(\exists x < y)(x \in T_\omega)$. Следовательно, по построению $T_\omega$ для некоторого натурального $n$ $x \in T_n$. Но тогда $y \in F_{n+1}$, а значит $y \in F_\omega$.

Следующий вопрос: можно ли, применив пункт 3 определения к множеству $F_\omega,$ построить новые (т.е. отстутствующие в $T_\omega$) И-выводы ($T$-объекты)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение04.08.2011, 20:20 


15/10/09
1344
vek88 в сообщении #473290 писал(а):
Следующий вопрос: можно ли, применив пункт 3 определения к множеству $F_\omega,$ построить новые (т.е. отстутствующие в $T_\omega$) И-выводы ($T$-объекты)?
Да, в общем случае можно. Докажем это.

Предположим, что для некоторого $y$$$(\forall x < y)(x \in F_\omega).$$ Возможны два случая:
1. Существует такое натуральное $n$, что $(\forall x<y)(x \in F_n)$.
2. Для всякого натурального $n$ $(\exists x<y)(x \notin F_n)$.

В первом случае мы ничего нового посредством пункта 3 не получим (доказательство аналогично предыдущему посту).

Во втором случае - докажите в качестве упражнения - мы действительно получим новые элементы, в частности, $y \in T$, хотя $y \notin T_\omega$. В результате мы построим большее множество $T$-элементов, которое естественно обозначить через $T_{\omega + 1}$.

ЗЫ. Господа! Проверяйте, е-мое, что это я тут написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение05.08.2011, 12:26 


15/10/09
1344
Ну и дальше все аналогично - отправляясь от $T_{\omega+1}$ строим для всех натуральных $n$ $F_{\omega+n},$ $T_{\omega+n},$ затем предельный переход к $T_{2 \omega},F_{2 \omega},$ и т.д.

Проясняется и интуиция предельных и непредельных порядковых чисел. Например, $\omega, 2 \omega$ - предельные порядковые числа, а натуральные $n$ - непредельные.

Собственно, это все, что я хотел проиллюстрировать на инуитивном уровне по поводу трансфинитной индукции с помощью простой реальной конструкции, возникшей в процессе определения семантики К-систем и/или логических программ в духе языка Пролог.

Теперь понятен и смысл ряда $$0,1,2, \dots, n, \dots, \omega, \omega +1, \omega+2, \dots, \omega+n, \dots.$$Стали очевидными также формальное определение и аксиоматика порядковых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение05.08.2011, 20:42 


15/10/09
1344
В post284468.html#p284468 мы дали определение И-, Л-выводов посредством некоторых условий. В последних постах мы рассмотрели эквивалентное определение по трансфинитной индукции. А теперь, видимо, будет кстати упомянуть определение в терминах неподвижной точки.

Итак, следуем стр. 115 книги "Представление в ЭВМ ...". Пусть $A$ - некоторое множество выводов. Множество $A^*$ выводов, для которых не существует исключений в $A$, называется сопряженным с $A$.

Если $$A=A^*^*,$$множество выводов $A$ называется допустимым.

Пусть $T$ - множество И-выводов некоторой К-системы. Можно показать, что $T$ - минимальное по включению допустимое множество выводов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение14.08.2011, 12:01 


15/10/09
1344
Мдя ... давненько не брал я в руки шашек.

Итак, пора вернуться к реальной математичекой практике. А она, зараза, - непротиворечива, невзирая на все потуги целого сонма аксиоматизаторов и прочих формализаторов.

Позволю себе бросить очередной камушек в аксиоматическое болото. Этот камушек связан с абсолютной неприспособленностью аксиоматических теорий к развитию.

Да, конефно, если некоторое здание уже построено, аксиоматика - это прекрасно. Ну, например, ведь никому не придет в голову "развивать" классическое исчисление высказываний - оно уже завершено. Поэтому соответствующая аксиоматика полезна и понятна.

Но математика в целом, или даже теория множеств - разве они вполне завершены и построены? Дык за каким же хреном мы пытаемся навязать им аксиоматику заранее и на все случаи жизни?

To be continued.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение14.08.2011, 22:27 


15/10/09
1344
Попробую привести простой пример в традиционных терминах (т.е. пока без К-систем).

Итак, предположим у нас имеется некоторая теория, про которую нам известно следующее:
1. Она содержит аксиому $A \rightarrow B$.
2. Вывод утверждения $B$, если он существет, возможен только через эту импликацию.

Тогда для этой теории справедлива метатеорема $$A \leftrightarrow B.$$А теперь дополнительно предположим, что $A = \neg B$. Следовательно, мы имеем метатеорему $$\neg B \leftrightarrow B.$$И мы немедленно заключаем, что наша теория противоречива.

ЗЫ. Господа! Проверяйте меня, если это вас не затруднит. Мы с женой этим вечером приготовили и уложили 0,1 кубометра бетона (это около четверти тонны). Поэтому я очень уж сосредоточен на реальных проблемах, не только математических.

Впрочем я зря прошу меня проверять. Ведь и ежу понятно, что если уж я ляпну глупость, то сбежится вся честная компания и будет дружно меня дубасить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение15.08.2011, 19:49 


15/10/09
1344
А теперь предположим, что мы добавили в нашу теорию аксиому $B$. Тогда противоечивая метатеорема$$\neg B \leftrightarrow B.$$уже не имеет места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение16.08.2011, 21:13 


15/10/09
1344
Хоть пытался обойтись без К-систем, следует добавить, что мое понимание теории все-таки специфическое - в моей теории, как и в К-системах, выводима истинность и ложность утверждений (слов, формул, ...). Короче, ... без К-систем все получается коряво и не очень понятно.

Так что попробую уточнить, что это, е-мое, я хотел сказать в предыдущих двух постах ... если вспомню, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение17.08.2011, 21:22 


15/10/09
1344
Итак, хотелось показать на простом примере, что формализация сразу и сейчас живой математики или ее достаточно серьезных разделов представляется бессмысленным занятием.

Формализация, в частности, предполагает формализацию логики рассматриваемых теорий. Вот - математически точный - пример на языке К-систем. Рассмотрим множество теорий (в К-системах), которые содержат правило вывода $$\frac{A}{B}.$$Предположим, что в этих теориях отсутствуют другие правила с заключением $B$. Тогда для этого множества теорий имеет место метатеорема $$A \leftrightarrow B.$$Предположим дополнительно, что $A = \neg B$. Тогда имеем метатеорему $$\neg B \leftrightarrow B.$$Следовательно, наши теории не полны. В частности, металогика этих теорий не является классической (это некое нетривиальное расширение интуиционистской логики - см. выше в теме).

To be continued

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 512 ]  На страницу Пред.  1 ... 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 ... 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group