Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

То, что Вы указали такое количество пробелов, да за такое короткое время, как я помню, говорит только о том, что Вы даже и не вникли моё доказательство. Просто через каждые два слова написали слово "докажите!!". Это и называется нечестным приёмом. Моя же теорема несомненно верна.

[shwedka]

Инт в сообщении #234923 писал(а):

То, что Вы указали такое количество пробелов, да за такое короткое время, как я помню, говорит только о том, что Вы даже и не вникли моё доказательство. Просто через каждые два слова написали слово "докажите!!". Это и называется нечестным приёмом. Моя же теорема несомненно верна.

При Вашей репутации никакому недоказанному утверждению нет веры, отсюда и количество замечаний.
Себя вините! Не нужно опровергать много основ сразу.
При этом ни на одно замечание Вы не смогли ответить. Для спасения лица говорите, что
не хотите, а на самом деле не можете!
Это по поводу 'нечестного приема'. Для разоблачения шарлатана прием вполне честный.
Ведь Вы специально утаили ключевую переменную $t$ в обозначениях кривых, чтобы легче было жульничать. Ведь недаром же Вы 'не заметили' мое предложение включить $t$ в обозначения и переписать один лишь абзац. Конечно, ведь тогда король голым окажется.


Так что, коллега, мое утверждение о том, что у Вас доказательством и не пахнет, намного более обосновано, чем Ваше хвастовство типа ' предпочтение должно отдаваться именно моим выводам.'
или
'Противоречие с утверждением о вполне упорядочении выводится строго. См. построение моей линии.'

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #234900 писал(а):

аксиомы I, II, III, и выводы из них следующие. Уже они не совместимы с выводом о вполнеупорядочнии, будучи геометрически очевидными.

Ещё раз повторю: в заявлении об этой самой геометрической очевидности необходимо кроется посылка, невыводимая из ZFC, точно так же, как в моём примере с количеством информации в логической очевидности кроется AD. Это уже доказанный факт.

Можно сказать, что пример Банаха-Тарского с шаром вообще абсурден, не то что геометрически неочевиден. Но из этого не следует противоречивость ZFC.

В теории множеств нет места очевидности.

Инт в сообщении #234855 писал(а):

Насчёт невыводимости Вы точно ошибаетесь. См. мои доказательства.

Понимаете, я бы выглядел точно так же, если бы привёл на форуме доказательство $A > \aleph_0 \Rightarrow A \geqslant 2^{\aleph_0}$, основанное на том примере с количеством информации, в котором написал бы что-нибудь вроде:

Цитата:

логически очевидно, что из закона исключённого третьего по индукции следует
$(\forall a_0 \in T :\exists a_1 \in T :\forall a_2 \in T :\exists a_3 \in T :\forall a_4 \in T : ... : \{a_n\} \in A) \vee \\ \vee (\exists a_0 \in T :\forall a_1 \in T :\exists a_2 \in T :\forall a_3 \in T :\exists a_4 \in T : ... : \{a_n\} \notin A)$
для произвольного множества $A$ $\omega$-последовательностей элементов счётного множества $T$, генерируемых нашей машиной

и затем сделал бы из этого вывод, что Гёдель и компания - лохи.

У Вас случай, конечно, не настолько вопиющий, но смысл этого примера, думаю, вполне ясен.

[Инт]

Droog_Andrey в сообщении #234974 писал(а):

в заявлении об этой самой геометрической очевидности необходимо кроется посылка, невыводимая из ZFC, точно так же, как в моём примере с количеством информации в логической очевидности кроется AD. Это уже доказанный факт.

Если в фразе, "доказанный факт" имеется ввиду, что-то про аксиому детерминированности, то я возражать не буду. Если же имеются ввиду те выводы, которые проделаны Гёделем и компанией и Коэном и компанией, то те выводы оказывается ложью. Т.е. в указанные выводы компании верят, не более. Именно моё доказательство аксиом как теорем точно утанавливает это. Чтобы утверждать обратное, Вы должны указать ошибку в моих доказательствах.

Что же касается того, что в теории множеств нет места очевидности, это так же не правда. Основные аксиомы, например, аксиома пары или аксиома бесконечности принимаются именно по мотивам очевидности. Что касается моей "очидности", то я не раз уже повторял, и ещё раз приходится это делать, что мои аксиомы, если их рассматривать именно как аксиомы, в результате очевидности, имеют право лишь на рассмотрение, как минимум. И выводов из этих аксиом, в частности. Но, поскольку, аксиомы оказываются ещё и выводимыми в ZFC как теоремы, то очевидность здесь вообще не причём.

[shwedka]

Инт в сообщении #234999 писал(а):

моё доказательство аксиом как теорем точно утанавливает это. Чтобы утверждать обратное, Вы должны указать ошибку в моих доказательствах

Доказательств нет. В тексте имеется 200 пробелов. Ошибку указывать негде.

[Инт]

Виктор Викторов в сообщении #234906 писал(а):

поэтому до предъявления Вами ошибки в доказательстве Цермело, я из общения выпадаю.

Уважаемый Виктор Викторов. Вы не предоставили мне времени как следует подумать. Тем более, что я отмечал, что сам вопрос до конца не выснен мною, и я делал только те общие замечения, которые соответствовали степени выяснености этого вопроса. Только на данный момент, из-за того, что вынужден был более детально взглянуть на упомянутые Вами выводы, некоторые возражения сформировались. Формулирую их в виде вопросов.

В книге Александрова П.С. «Введение в теорию множеств и общую топологию»,М. 1977, которую вы указали, на стр. 80-81 выписаны следующие условия, которым должна удовлетворять цепь:

Цепью множества $M$ называется всякое множество $K$, удовлетворяющее условиям:

(а) $K \subset \mathfrak{P}(M)$, где $\mathfrak{P}(M)$, есть множество частей множества $M$.

(б) пустое множество принадлежит множеству $K$.

(в) сумма любых множеств, являющихся элементами множества $K$, есть элемент множества $K$.

(г) Если $P \in K$ и $P \neq M$, то $P' \in K$, где $P' = P \cup \{f(P)\}$, где $f(P)$ - элемент множества $M$ выбранный функцией выбора из дополнения к множеству $P$.

Условие (в) формулирую в точности так, как оно выписано у Александрова. Такая формулировка является нечёткой. Поэтому, условие (в) может означать $(\forall L \subset K) \bigcup_{x \in L}x \in K$. Объединение мы можем производить лишь по подмножествам множества $K$, никак иначе. Множество $L$ может быть ограниченным или неограниченным в том вполнепорядке, который считается доказанным у Александрова. Неограниченные множества, не совпадающие с $K$ существуют. Например, можно взять множество элементов, взятых «через один» в том самом вполнепорядке по включению, который считается доказанным. Но для неограниченных $L$ тогда получаем парадокс, аналогичный парадоксу ординального ряда, так как $\bigcup_{x \in L}x = \bigcup_{x \in K}x \in K$. Следовательно, $L$ должны быть ограниченными. Ограниченность $L$ означает, что существует $y$ такой, что $(\exsists y \in K)(\forall x \in L) x \subseteq y$. В итоге, для ограниченных $L$ условие (в) должно формулироваться так: $L \subset K$ и $(\exsists y \in K)(\forall x \in L) x \subseteq y$ влечёт $\bigcup_{x \in L}x \in K$ (можно, чтобы вместо импликации стояла равносильность). Однако, по этому последнему получаем, что множеству $K$ достаточно быть счётным. Т.е. оно может не продолжаться в трансфиниты или продолжаться туда недостаточно. Т.е. будет упорядочивать лишь счётное или иное ограниченное подмножество из $M$. Результат таков, что ни ограниченные, ни неограниченные множества для определения не подходят. Тогда, какое определение подходит? Можно, конечно, сослаться на то, что доказательство изложено у Александрова некорректно. Но тогда, приведите корректное.

Другое замечание. На стр. 81 указано, что: Цепи существуют. В самом деле, $\mathfrak{P}(M)$ - цепь. Однако, почему, это вообще не единственная цепь? Почему другие есть? Там же указано, что: Пересечение любого множества цепей есть цепь. Понятно, что так, но если цепь единственна, то такое пересечение является вырожденным, и вполнепорядка нет. Как можно выделить другие цепи на весьма абстрактном множестве, про которое вообще почти ничего не известно? Думаю, что никак. Поскольку, какую бы мы формулу выделения не указали, функция выбора может сработать так, что для какого-то выделенного множества $X$, претендующего быть в цепи через заведомую формулу выделения, эта функция выберет элемент так, что $X’$ окажется вне цепи. Об этой функции вообще ничего не известно так же, кроме того, что она есть. Дайте, если Вам не трудно, ответ на эти вопросы.

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #234999 писал(а):

Если в фразе, "доказанный факт" имеется ввиду, что-то про аксиому детерминированности, то я возражать не буду.

Аксиома детерминированности связана с моим примером. Впрочем, из Вашего вопроса я делаю вывод, что мои слова остаются без внимания, поэтому я на время откажусь от дискуссии.

[AGu]

В своем предыдущем сообщении я попросил Вас определиться с выбором между (1) и (2). Вы, вроде бы, определились:

Инт в сообщении #234855 писал(а):

AGu. Работаем по условию 2.

... но теперь вижу, что все же пока не определились:

Инт в сообщении #234909 писал(а):

Ну хорошо, могу заявить, что если ошибки в выводе Цермело не содержится, но тогда, приходим к противоречию в ZFC, на что не раз указывал.

Определитесь, пожалуйста. Еще раз подчеркиваю принципиальность этого стартового момента дискуссии. В случае (1) я, начав играть роль оппонента, буду пытаться найти недоказанные или неформализованные моменты в Вашем трактате, а в случае (2) — буду защищать свои контраргументы.

[Someone]

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Условие (в) формулирую в точности так, как оно выписано у Александрова. Такая формулировка является нечёткой. Поэтому, условие (в) может означать $(\forall L \subset K) \bigcup_{x \in L}x \in K$.

Оно однозначно так и понимается.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Объединение мы можем производить лишь по подмножествам множества $K$, никак иначе.

Так и делаем - согласно формулировке условия в).

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Множество $L$ может быть ограниченным или неограниченным в том вполнепорядке, который считается доказанным у Александрова.

В этом месте никакого полного порядка нет. Есть только частичный порядок на $\mathfrak P(M)$ (по включению).

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Неограниченные множества, не совпадающие с $K$ существуют. Например, можно взять множество элементов, взятых «через один» в том самом вполнепорядке по включению, который считается доказанным.

Поскольку никакого "вполнепорядка" пока нет, непонятно, о чём Вы говорите.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Но для неограниченных $L$ тогда получаем парадокс, аналогичный парадоксу ординального ряда, так как $\bigcup_{x \in L}x=\bigcup_{x \in K}x \in K$.

Да, если $L$ конфинально $K$ (например, $L=K$), то так и будет. Согласно условию в), отсюда делаем вывод, что $\bigcup_{x \in K}x \in K$. В чём противоречие? В том, что Вы предположили цепь $K$ неограниченной? Ну так ведь никто не утверждает, что цепь $K$ не ограничена. Она ограничена множеством $M$.

Последующий бред пропускаю.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Можно, конечно, сослаться на то, что доказательство изложено у Александрова некорректно. Но тогда, приведите корректное.

Оно Вам продемонстрировано.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Другое замечание. На стр. 81 указано, что: Цепи существуют. В самом деле, $\mathfrak{P}(M)$ - цепь. Однако, почему, это вообще не единственная цепь? Почему другие есть?

Может быть, и единственная. Например, если множество $M$ содержит всего один элемент.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Там же указано, что: Пересечение любого множества цепей есть цепь. Понятно, что так, но если цепь единственна, то такое пересечение является вырожденным, и вполнепорядка нет.

Почему нет? И что это значит, что "пересечение является вырожденным"?

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Как можно выделить другие цепи на весьма абстрактном множестве, про которое вообще почти ничего не известно? Думаю, что никак.

Да зачем Вам их выделять? Раз уж у нас множество "абстрактное", то мы и работаем с ним "абстрактно": берём пересечение всех цепей, которые существуют, совершенно не беспокоясь о том, сколько их. Аксиома выделения обеспечивает существование этого пересечения. В дальнейших рассуждениях количество существующих цепей никак не используется.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Поскольку, какую бы мы формулу выделения не указали, функция выбора может сработать так, что для какого-то выделенного множества $X$, претендующего быть в цепи через заведомую формулу выделения, эта функция выберет элемент так, что $X’$ окажется вне цепи.

Согласно пункту г), это невозможно. Обратите внимание, что у П.С.Александрова сначала определяется функция выбора, а потом - цепи. Если взять другую функцию выбора, то и цепи будут другими. Вы же пытаетесь сделать наоборот: неизвестно откуда берёте какие-то "цепи" (цепями не являющиеся, поскольку не удовлетворяют условию г)) и пытаетесь подогнать под них функцию выбора.

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Об этой функции вообще ничего не известно так же, кроме того, что она есть. Дайте, если Вам не трудно, ответ на эти вопросы.

Дал.

P.S. Если бы Вы к самому себе были бы хоть на десятую часть столь же придирчивы... Но это уж я размечтался. Вы, разумеется, считаете всех математиков такими идиотами, что они за сто лет не в состоянии разобраться в простом рассуждении. Но тут пришёл Инт и "открыл" всем глаза.

[Инт]

AGu в сообщении #234840 писал(а):

(2) Если защитник позиционирует свою работу просто как доказательство в ZF(C), то

(а) оппонент может требовать разъяснение отдельных рассуждений;
(б) защитник обязан давать разъяснения, но в принципе может отказаться от полной формализации, сославшись на очевидность (впрочем, см. пункт (а));
(в) оппонент может выдвигать контраргументы в виде утверждений, противоречащих заключениям защитника;
(г) защитник обязан указывать на конкретные ошибки в контраргументах оппонента.

Именно вот это меня устраиваает, так как дискуссию о вполнеупорядочении мне дополнительно навязывают. И, похоже, надо отвечать на эти вопросы так же. Обсуждать вопрос о вполнеупорядочении я хотел бы отдельно от темы, хотя конечно придётся в связи с ней. К тому же, для доказательства отрицания континуум-гипотезы мне не требуется перехода к слишком большим ординалам, т.е. это доказательство само по себе ещё не сталкивается с проблемой вполнепорядка и противоречиями в ZFC. Так что в обсуждении с Вами вопрос о противоречивости ZFC можно не рассматривать. Просто рассуждать внутри теории.

-- Пт авг 14, 2009 14:38:24 --

Someone в сообщении #235056 писал(а):

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Множество $L$ может быть ограниченным или неограниченным в том вполнепорядке, который считается доказанным у Александрова.

В этом месте никакого полного порядка нет. Есть только частичный порядок на $\mathfrak P(M)$ (по включению).

Имелось ввиду следующее. Проводим сначала, как Вы утверждаете, правильное доказательство о вполнеупорядочении множества $M$. Завершаем такое вполнеупорядочение. Тогда оказывется, что цепь $K = K_0$ построена полностью. Она есть множество. Поэтому рассуждаем дальше, можно ведь и к построенным множествам применять условие (в). По условию (в) берём неограниченное подмножество такой цепи $L$. Я уже понял, что противоречия не будет, так как объединение множеств цепи будет совпадать с $M$, а по условию (г) прибавить к $M$ единицу не возможно.

Someone в сообщении #235056 писал(а):

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Другое замечание. На стр. 81 указано, что: Цепи существуют. В самом деле, $\mathfrak{P}(M)$ - цепь. Однако, почему, это вообще не единственная цепь? Почему другие есть?

Может быть, и единственная. Например, если множество $M$ содержит всего один элемент.

Тривиальные случаи не рассматриваем. Пусть множество $M$ бесконечно и несчётно.

Someone в сообщении #235056 писал(а):

Инт в сообщении #235022 писал(а):

Там же указано, что: Пересечение любого множества цепей есть цепь. Понятно, что так, но если цепь единственна, то такое пересечение является вырожденным, и вполнепорядка нет.

Почему нет? И что это значит, что "пересечение является вырожденным"?

Пересечение сведётся к одному множеству всех частей. Т.е. не будет представлять вполнепорядок.

[Someone]

Инт в сообщении #235062 писал(а):

Пересечение сведётся к одному множеству всех частей. Т.е. не будет представлять вполнепорядок.

Начхать. В доказательстве никаким способом не используется количество цепей, то есть, совершенно не важно, одна такая цепь или не одна. Рассуждения дают вполне определённый результат: предъявляется цепь, которая вполне упорядочена отношением включения и, если множество $M$ содержит больше одного элемента, не совпадает с $\mathfrak P(M)$. Следовательно, Ваше предположение, что при $|M|>1$ цепь может оказаться единственной, неверно.

Лучше обратите свою придирчивость на свой трактат. Там мест для придирок столько, что работы Вам хватит надолго.

Инт в сообщении #234855 писал(а):

Теорема 1. Существует такое множество $HQ \subset HC$, и существует взаимно однозначное соответствие F между всеми элементами множества $HQ$ и всеми точками множества $B$, так что $l -< m \Leftrightarrow F(l) = S < T = F(m)$, где $l$ и $m$ - произвольные элементы множества $HQ$, а $S$ и $T$ - точки из $B$.

Доказательство в основном тесте не приводится, так как теорема тривиальна. Поясняю. Доказательство теоремы 1 можно провести, например, предполагая, что все множества можно вполнеупорядочить (по процедуре, подобной той, которую применил Кантор для отображения плотного всюду счётного множества в множество рациональных чисел), а можно и без этого предположения, пользуясь только свойствами I и II, и аксиомой выбора.

Поскольку возможность вполне упорядочить любое множество равносильна аксиоме выбора, то оба эти способа ничем не отличаются, кроме, возможно, технических деталей, и заведомо предполагают возможность вполне упорядочить каждое множество мощности континуум.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

А теорема о существовании линии и есть вывод опровержения вполнеупорядочения континуума. Т.е. в частности из равенства $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$ указанный вывод даёт требуемое.

То есть, Ваше рассуждение внутренне противоречиво: с одной стороны, Вы нуждаетесь в полном упорядочении континуума (множество $B$ у Вас имеет мощность континуум), а с другой - отрицаете существование такого упорядочения. На этом, собственно говоря, обсуждение Вашего трактата можно смело закончить, если, конечно, Вы не собираетесь доказывать противоречивость ZFC. Но тогда требования к Вам будут более жёсткими.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

И если формальное доказательство Цермело правильно,

Правильно, не сомневайтесь. Ответьте, пожалуйста, не уклоняясь, на мой вопрос: Вы действительно считаете всех математиков полными идиотами, не способными за сто лет разобраться в простом рассуждении?

Инт в сообщении #234900 писал(а):

то тем более существует какая-то глубокая ситуация в этом вопросе, до конца пока не прояснённая.

Да прояснённая она, прояснённая. Ваша линия $k$, которую Вы должны построить, иногда существует, а иногда - нет. Построения этой линии у Вас нет, а то, что Вы выдаёте за построение, таковым не является, поскольку не содержит ничего, кроме пожеланий и неясных образов. Об этом ведь Вам говорят все, кто пытался прочесть Ваш "трактат". На самом деле средствами ZFC такое построение не всегда возможно, и это хорошо известно, поэтому Вы можете до бесконечности повторять заклинание "у меня всё доказано", но никто Вам не поверит.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

К тому же, можно сначала не рассматривать моё полное доказательство, т.е. вывод аксиом I-III как теорем, а понять хотя бы аксиомы I, II, III, и выводы из них следующие. Уже они не совместимы с выводом о вполнеупорядочнии,

Это означает, что Ваши аксиомы противоречат ZFC, и надеяться на их доказательство средствами ZFC бессмысленно.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

будучи геометрически очевидными.

Я Вам объяснял, что геометрическая очевидность порой обманывает даже в школьных задачах по геометрии, а уж в теории множеств ссылаться на неё совершенно неуместно.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

В частности, в одной из аксиом утверждается, что между парой точек можно провести линию, соединяющую эту пару (другое дело, между какой парой).

Это в какой аксиоме у Вас такое утверждается?

Инт писал(а):

Аксиома I. Существует трансформация $\Omega$, проводимая вдоль дуг $r=const<1$ над областью $D$, в результате которой, концы каждых двух линий $l$ и $m$, взятых в множестве $HQ$, разводятся на дуге $C$. При этом, если $l-<m$, то после трансформации (деформации) оказывается: $\mathop{\text{деф}}l-<\mathop{\text{деф}}m$ и $L<M$ ($L$ - конец линии $l$, $M$ - конец линии $m$); трансформированная область $D$ оказывается гомеоморфной открытой евклидовой области.

Эта аксиома сформулирована ужасно, но доказать её, вероятно, можно. Нужно только по-человечески сформулировать. Речь идёт о построении бикомпактного расширения с линейно упорядоченным наростом, в котором линии семейства $HQ$ будут иметь различные пределы.

Инт писал(а):

Аксиома II. Когда область $D$ приведена в состояние $\Omega D$, для любой точки $K$, расположенной на дуге $C$ (т.е. на изогнутой гиперпрямой), можно найти линию множества $HС$, имеющую своим концом эту точку $K$.

А вот это, как сказал пёс в одном известном мультфильме, "национальная индейская изба - фиг Вам называется". Это не докажете, потому что это неверно. Формулировка, конечно, ужасная, чтобы её понять, надо приложить массу усилий.

Инт писал(а):

Аксиома III. Какова бы ни была мощность множества $\{\lambda\}$, на котором завершён процесс вполне упорядочения, существуют соответствующая этому множеству трансформация $\Omega^*$ и отрезок $U^*V^*$, взятый от некоторой линии плоскости так, что $U^*\in\mathop{\mathrm{int}}(\Omega^*D)$ и $V*\in$ü$\mathop{\mathrm{cl}}(\Omega^*D)$, и $U^*V^*$ пересекает отрезок $S^*T^*$ в одной из внутренних точек $S^*T^*$. Точка $P$, лежащая на пересечении отрезков $S^*T^*$ и $U^*V^*$, единственна.

Извините, но это вообще абракадабра какая-то. Я ничего не понял. Скорее всего, то, что Вы имеете в виду, просто неверно, поскольку речь явно идёт о вполне упорядоченном множестве любой мощности.

-- Сб авг 15, 2009 00:41:48 --

Ну и понаписали тут. Никак я не успеваю, слишком занят. Поэтому приходится возвращаться к старым сообщениям, про которые все давно забыли.

Инт в сообщении #234533 писал(а):

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Я, конечно, понимаю, что Вам хочется избавиться от неудобного оппонента.

Наоборот Someone, Вы стали задавать наконец вопросы уже технические, которые я и хотел, чтобы мне задавали

Не заблуждайтесь на этот счёт. Я задаю Вам "технические" вопросы исключительно для того, чтобы Вы осознали, что ситуация гораздо сложнее, чем Вам кажется. Технический вопрос о "разведении" линий на границе сектора с моей точки зрения достаточно прост, я Вам показывал, что для этого не требуются никакие "деформации" и никакие трансфинитные построения, и всё делается в несколько строчек. Проблема не в "разведении концов", а в построении линии $k$, разделяющей два семейства. Вы всерьёз полагаете, что Ваше "построение"

Инт писал(а):

... Пусть линия $k^*$ из конфигурации $\Omega^*K$ в каждый момент времени совпадала по положению с одним фиксированным лучом $f \in F$, и двигалась относительно других линий на растягиваемой вдоль лучей плёнке $\Omega*\Omega D_h$, т.е. на той плёнке, по которой двигались и другие элементы конфигурации. Тогда, к моменту $t=1$ линия $k^*$ расположится, как покоящаяся линия, среди предельных не движущихся линий конфигураций $\Omega^*K$ в силу того, что лучи пучка $F$ расположатся среди таких линий. Соответственно, линия $\Omega_{\lambda}^*k^*$ в этот момент расположится среди предельных линий конфигурации $\Omega_{\lambda}^*\Omega^*K$, и без ограничений общности можно считать $\Omega_{\lambda}^*q_n-<\Omega_{\lambda}^*k^*$, если перенести отношения между точками и линиями, и между линиями с сектора $D$. Используя обратные деформации, находим, что $q_n-<k^*$ $\Omega^*\Omega D_h$ для момента $=1$. В конфигурации $K$ найдётся линия $\Omega k$, которая переходит в $k^*$ при отображении $\Omega^*$. Меняя индекс $\lambda$, получаем, что при любом значении индекса, в момент $t = 1$ оказывается $\Omega a_{\lambda}-<\Omega k$. Аналогично рассуждаем для линии $\Omega b_{\lambda}$. В итоге, получаем $a_{\lambda}-<k-<b_{\lambda}$ при любом $\lambda$, в конечный момент, ...

действительно является осмысленным? Здесь вообще всё непонятно. Как движутся линии, откуда взялся параметр $t$, почему "без ограничений общности можно считать"... shwedka Вам указала множество моментов, требующих пояснений, явных построений или доказательств.



Давайте возьмём конкретное семейство, о котором я говорил ранее:

Someone в сообщении #234468 писал(а):

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Пусть семейство Б состоит из одной линии $m$, заданной уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, а семейство А состоит из линий $l_{\alpha}$, задаваемых уравнениями $\varphi=f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$, причём, если $\alpha<\beta<\omega_1$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$ и $l_{\alpha}-<l_{\beta}-<m$. Предъявите, пожалуйста, линию $k$. К пятому параграфу своего трактата не отсылайте, продемонстрируйте построение здесь. Постарайтесь изложить попроще. Например, непонятно, зачем нужно использовать трёхмерное пространство, если все линии расположены на куске плоскости. Это только запутывает построение.

Я даже построю семейство А, чтобы показать, как должно выглядеть Ваше изложение. Как я понял из Вашего текста и рисунков, Вы отсчитываете угол $\varphi$ от оси $OY$. Так и будем отсчитывать.

Для построения мне понадобятся вспомогательные непрерывные функции $h_k(r)$, $k\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$, $0\leqslant r<1$, которые я определю так:

$$h_1(r)=\begin{cases}1-2r\text{ при }0\leqslant r\leqslant\frac 12\text{,}\\ 0\text{ при }\frac 12<r<1\text{,}\end{cases}$$

а при $k>1$

$$h_k(r)=\begin{cases}0\text{ при }0\leqslant r\leqslant 1-\frac 1{k-1}\text{,}\\ k(k-1)\left(r-\left(1-\frac 1{k-1}\right)\right)\text{ при }1-\frac 1{k-1}<r\leqslant 1-\frac 1k\text{,}\\ k(k+1)\left(\left(1-\frac 1{k+1}\right)-r\right)\text{ при }1-\frac 1k<r\leqslant 1-\frac 1{k+1}\text{,}\\ 0\text{ при }1-\frac 1{k+1}<r<1\text{.}\end{cases}$$

Заметим, что на каждом отрезке $\left[1-\frac 1k,1-\frac 1{k+1}\right]$ в точности две из этих функций отличны от $0$, а именно, $h_k(r)$ и $h_{k+1}(r)$, причём, их сумма на этом отрезке равна $1$. Поэтому, в частности, ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}h_k(r)$ сходится на полуинтервале $[0,1)$, и его сумма равна $1$.
Кроме того, каждая точка $r\in[0,1)$ имеет окрестность, в которой отличны от $0$ не более трёх из этих функций (для точки $0$ годится полуинтервал $\left[0,\frac 12\right)$; если точка принадлежит интервалу $\left(1-\frac 1k,1-\frac 1{k+1}\right)$, то годится сам этот интервал; если точка совпадает с $1-\frac 1k$ при $k\in\mathbb N$, $k>1$, то годится $\left(1-\frac 1{k-1},1+\frac 1{k+1}\right)$).

Теперь надо построить семейство А, указанное в приведённой выше цитате из моего сообщения. Для этого, разумеется, достаточно указать непрерывные функции $f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$. Используем построение по индукции по всем ординалам, меньшим $\omega_1$.

Предположим, что для некоторого ординала $\gamma<\omega_1$ уже построены непрерывные функции $f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\gamma$, удовлетворяющие следующим условиям:
а) для всех $\alpha<\gamma}$ выполняются неравенства $0\leqslant f_{\alpha}(r)<\frac{\pi}4$ при $0\leqslant r<1$, и существует $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\frac{\pi}4$;
б) если $\alpha<\beta<\gamma$, то найдётся такое число $\varepsilon>0$, что при всех $r\in(1-\varepsilon,1)$ выполняется неравенство $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)$.
(Для $\gamma=0$ множество функций будет пустым.)
Построим $f_{\gamma}(r)$. Рассмотрим три случая.

1) Для $\gamma=0$ положим $f_0(r)=\frac{\pi r}4$. Заметим, что эта функция непрерывна и $0\leqslant f_0(r)<\frac{\pi}4$ при $0\leqslant r<1$, и $\lim\limits_{r\to 1^-}f_0(r)=\frac{\pi}4$, то есть, условие а) выполняется, а условие б) тривиально.

2) Ординал $\gamma$ - не предельный, то есть, существует такой ординал $\beta$, что $\gamma=\beta+1$. Тогда положим $f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+f_{\beta}(r)\right)$. Эта функция непрерывна, так как по предположению индукции $f_{\beta}(r)$ непрерывна.
Условие а) выполняется:
так как при $0\leqslant r<1$ по предположению индукции $0\leqslant f_{\beta}(r)<\frac{\pi}4$, то $0<\frac{\pi}8=\frac 12\left(\frac{\pi}4+0\right)\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4)=\frac{\pi}4$, то есть, $0\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$;
так как $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4\right)=\frac{\pi}4$.
Условие б) выполняется:
так как при $0\leqslant r<1$ выполняется неравенство $f_{\beta}(r)<\frac{\pi}4$, то $f_{\beta}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+f_{\beta}(r)\right)=f_{\gamma}(r)$;
если задан ординал $\alpha<\beta$, то по предположению индукции найдётся такое число $\varepsilon>0$, что при всех $r\in(1-\varepsilon,1)$ выполняется неравенство $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)$. Тогда для этого $\varepsilon$ и $r\in(1-\varepsilon,1)$ получим $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)<f_{\gamma}(r)$.

3) Ординал $\gamma>0$ - предельный. Перенумеруем все ординалы, меньшие $\gamma$, натуральными числами. Таким образом, все ординалы, меньшие $\gamma$, перечислены в виде последовательности $\{\alpha_k:k\in\mathbb N\}$. Для каждого $n\in\mathbb N$ и $0\leqslant r<1$ положим $g_n(r)=\max\{f_{\alpha_k}}(r):1\leqslant k\leqslant n\}$. Сразу заметим, что эти функции непрерывны на $[0,1)$, и при $1\leqslant k\leqslant n$ выполняются неравенства $f_{\alpha_k}(r)\leqslant g_n(r)\leqslant g_{n+1}(r)<\frac{\pi}4$.
Определим функцию $\hat g_{\gamma}(r)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}g_n(r)h_n(r)$. Эта функция непрерывна на $[0,1)$, так как члены этого ряда непрерывны, и для каждой точки рассматриваемого полуинтервала существует окрестность, в которой отличны от $0$ не более трёх членов ряда. Заметим, что при $1\leqslant k\leqslant n$ на отрезке $\left[1-\frac 1n,1-\frac 1{n+1}\right]$ выполняются неравенства

\begin{multline*}0\leqslant f_{\alpha_k}(r)\leqslant g_n(r)=h_n(r)g_n(r)+h_{n+1}(r)g_n(r)\leqslant h_n(r)g_n(r)+h_{n+1}(r)g_{n+1}(r)=\\ =\hat g_{\gamma}(r)\leqslant h_n(r)g_{n+1}(r)+h_{n+1}(r)g_{n+1}(r)=g_{n+1}(r)<\frac{\pi}4\text{,}\end{multline*}

то есть, $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$. Поскольку $n\geqslant k$ можно взять произвольным, неравенство $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ выполняется при всех $r\in\left(1-\frac 1k,1\right)$.
Наконец, положим $f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\hat g_{\gamma}(r)\right)$. Эта функция непрерывна. Проверим, что выполняются условия а) и б).
Условие а):
так как при $0\leqslant r<1$ имеем $0\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$, то $0<\frac{\pi}8=\frac 12\left(\frac{\pi}4+0\right)\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4)=\frac{\pi}4$, то есть, $0\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$;
так как $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha_1}(r)=\frac{\pi}4$ и $f_{\alpha_1}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ при $r\in[0,1)$, то, по теореме о двух милиционерах, $\lim\limits_{r\to 1^-}\hat g_{\alpha_1}(r)=\frac{\pi}4$, откуда $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4\right)=\frac{\pi}4$.
Условие б):
пусть $\alpha<\gamma$; существует такое $k\in\mathbb N$, что $\alpha=\alpha_k$. Тогда при $r\in\left(1-\frac 1k,1\right)$ из неравенства $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ получаем $f_{\alpha}(r)=f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\hat g_{\gamma}(r)\right)=f_{\gamma}(r)$, то есть, $f_{\alpha}(r)<f_{\gamma}(r)$ при $1-\frac 1k<r<1$.

Таким образом, требуемая функция $f_{\gamma}(r)$ построена, и можно продолжать построение дальше.
Требуемое семейство А, таким образом, построено.

Теперь Ваша задача состоит в том, чтобы построить линию $k$, разделяющую семейства А и Б. Построение должно быть в таком стиле, как я продемонстрировал: никаких неопределённых элементов и недоказанных свойств быть не должно. Возьмётесь?

P.S. Академик П.С.Александров говорил как-то на семинаре: "Соискатель обычно тратит очень много усилий, чтобы сделать первую ошибку. Потом результаты начинают сыпаться, как из рога изобилия."
Мне кажется, что Вам много усилий тратить не пришлось. Но последствия те же: эпохальные результаты сыплются действительно как из рога изобилия.

[Инт]

Someone в сообщении #235097 писал(а):

В доказательстве никаким способом не используется количество цепей, то есть, совершенно не важно, одна такая цепь или не одна. Рассуждения дают вполне определённый результат: предъявляется цепь, которая вполне упорядочена отношением включения и, если множество $M$ содержит больше одного элемента, не совпадает с $\mathfrak P(M)$. Следовательно, Ваше предположение, что при $|M|>1$ цепь может оказаться единственной, неверно.

Но, чтобы вычленить хотя бы одну цепь отличную от $\mathfrak P(M)$, в частности ту цепь $K_0$, которая вполнеупорядочивает $M$, взято пересечение всех цепей. А если "все цепи" представляют из себя всего лишь одноэлементное множество, то $K_0 = \mathfrak P(M)$, т.е. $M$ вроде не оказывается вполнеупорядоченнным цепью $\mathfrak P(M)$. В этом был вопрос.

-- Сб авг 15, 2009 15:50:30 --

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Инт в сообщении #234900 писал(а):

А теорема о существовании линии и есть вывод опровержения вполнеупорядочения континуума. Т.е. в частности из равенства $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$ указанный вывод даёт требуемое.

То есть, Ваше рассуждение внутренне противоречиво: с одной стороны, Вы нуждаетесь в полном упорядочении континуума (множество $B$ у Вас имеет мощность континуум), а с другой - отрицаете существование такого упорядочения. На этом, собственно говоря, обсуждение Вашего трактата можно смело закончить, если, конечно, Вы не собираетесь доказывать противоречивость ZFC. Но тогда требования к Вам будут более жёсткими..

Если противоречие действительно возникает, то в именно ZFC. Так как я могу представить термин каноническая теория как польностью теория ZFC. Рассуждение моё исходит от противного: Континуум можно вполнеупорядочить или нет. Если первое, то применяя AC выводим $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$, и выводим противоречие, и ясно, что это противоречие не моей теории. Но можно применить аксиому выбора, ограниченную на длину выбираемых вполнеупорядочиваемых последовательностей. И тогда, хотя бы по конкретному факту противоречия в такой теории не возникает.

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Инт в сообщении #234900 писал(а):

В частности, в одной из аксиом утверждается, что между парой точек можно провести линию, соединяющую эту пару (другое дело, между какой парой).

Это в какой аксиоме у Вас такое утверждается?

Аксиомы II и III.

Инт писал(а):

Аксиома II. Когда область $D$ приведена в состояние $\Omega D$, для любой точки $K$, расположенной на дуге $C$ (т.е. на изогнутой гиперпрямой), можно найти линию множества $HC$, имеющую своим концом эту точку $K$.

Вот эта аксиома, в частности, эквивалентна аксиоме IV и доказуема как теорема ZFC, или как теорема более удачной теории.

Инт писал(а):

Аксиома III. Какова бы ни была мощность множества $\{\lambda_{\nu}\}$, на котором завершён процесс вполне упорядочения, существуют соответствующая этому множеству трансформация $\Omega^*$ и отрезок $U^*V^*$, взятый от некоторой линии плоскости так, что $U^*\in\mathop{\mathrm{int}}(\Omega^*D)$ и $V^*\in$ дополнению к множеству $\mathop{\mathrm{cl}}(\Omega^*D)$, и $U^*V^*$ пересекает отрезок $S^*T^*$ в одной из внутренних точек $S^*T^*$. Точка $P$, лежащая на пересечении отрезков $S^*T^*$ и $U^*V^*$, единственна.

В качестве одного из вполнеупорядоченых множеств линий $\{\lambda_{\nu}\}_{\nu < \omega_1}$ берём, скажем, множество мощности $\aleph_1$. Затем, проделываем трансформацию, указанную в аксиоме, и зависящую от взятого множества линий $\{\lambda_{\nu}\}_{\nu < \omega_1}$. И проводим отрезок $U^*V^*$. Об этом и говорит аксиома.

-- Сб авг 15, 2009 16:14:10 --

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Давайте возьмём конкретное семейство, о котором я говорил ранее:

Someone в сообщении #234468 писал(а):

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Пусть семейство Б состоит из одной линии $m$, заданной уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, а семейство А состоит из линий $l_{\alpha}$, задаваемых уравнениями $\varphi=f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$, причём, если $\alpha<\beta<\omega_1$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$ и $l_{\alpha}-<l_{\beta}-<m$. Предъявите, пожалуйста, линию $k$. К пятому параграфу своего трактата не отсылайте, продемонстрируйте построение здесь. Постарайтесь изложить попроще. Например, непонятно, зачем нужно использовать трёхмерное пространство, если все линии расположены на куске плоскости. Это только запутывает построение.

...Теперь Ваша задача состоит в том, чтобы построить линию $k$, разделяющую семейства А и Б. Построение должно быть в таком стиле, как я продемонстрировал: никаких неопределённых элементов и недоказанных свойств быть не должно. Возьмётесь?

Дак уже предъявлено доказательство существования линии $k$. Другое дело, что я должен пояснить Вам моменты доказательства, которые кажутся непонятными. Вовсе не обязательно было приводить Ваше построение трансфинитной последовательности линий $l_{\alpha}-<m$, хотя бы потому, что возможность такого построения следует из свойств I и II множества $HC$, которые доказаны в основном тексте, см. §3. Про более ранее Ваше сообщение я не забыл, а отмечал, отвечая на него, что построение линии $k$ в требуемом Вами случае является частным случаем для сечения в множестве линий особого рода. Более полный случай, и тем самым, полное доказательство существования $k$ и завершение доказательства отрицания континуум-гипотезы и приведено в §5. Я постараюсь скоро дать такое пояснение к §5, из которого стало бы более ясно зачем употреблены те или иные определения этого доказательства.

-- Сб авг 15, 2009 16:40:16 --

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Вы можете до бесконечности повторять заклинание "у меня всё доказано", но никто Вам не поверит.

А не надо верить, ни в коем случае. Иначе это будет не наукой. Нужно всего лишь разобраться в доказательстве.

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Проблема не в "разведении концов", а в построении линии $k$, разделяющей два семейства.

Вот. Это совершенно точно. Т.е. если утверждать, что вывод можно провести в обычной теории множеств, то надо и привести такое доказательство. В противном случае, решение континуум-проблемы остаётся решением на уровне, хотя и очевидных, но только аксиом.

Someone в сообщении #235097 писал(а):

...вообще всё непонятно. Как движутся линии, откуда взялся параметр $t$, почему "без ограничений общности можно считать"...

Вот эти вопросы я и согласен пояснять и уточнять. Только они должны задаваться в правильной, связной форме. Вы их задаёте достаточно связно и понятно, если опустить эмоции.

Делаю первое пояснение: Параметр $t$ можно считать временем, и он есть действительное число. Когда высота $h = h(t)$ над плоскостью $\pi$ cтремится к нулю, момент времени $t$ стремится к некоторому финальному моменту $t = 1$. Так удобно считать, считая, что ситуация развивается во времени. Называя параметр "временем", мне потом не требуется объяснять, какому множеству он принадлежит и т.п., что при отсутствии такой содержательной интерпретации сделало бы изложение непонятным с точки зрения "зачем". Остальные пояснения я обдумываю с целью сделать их такими, чтобы наконец завязался деловой разговор по доказательству существования линии $k$.

-- Сб авг 15, 2009 17:03:23 --

Требуется доказать, что к моменту $t = 1$ некоторая линия из множества подвижных линий расположится среди заранее заданных линий, например, среди линий $l_{\alpha}$ и $m$, которые указывает Someone, как требуемая линия $k$. Эти подвижные линии находятся на секторе $D_{h(t)} = D_h$, который с течением времени спускается к сектору $D$.

-- Сб авг 15, 2009 19:08:46 --

Сведём задачу, поставленную Someone к задаче, поставленной в условиях теоремы 7 (см. http://dxdy.ru/post220877.html#p220877), когда множество линий $m_{\mu}$ счётно. В самом деле, берём на линии $m$ произвольное множество точек $M_{\mu}$, где $\mu \in \mathbb{N}$ и, когда $\mu \to \omega_0$, то $\lim_{\mu}M_{\mu} = M$, где $M$ - конец линии $m$ на дуге $C$. Пусть, линия $m’_{\mu}$ заканчивается в точке $M_{\mu}$, а начинается в точке $O$. Тогда, некоторой непрерывной биекцией плоскости на себя, отобразим линию $m$ на дугу $\subset C$. В то время как дуга $YM$ пусть при отображении остаётся на месте. Пусть линии $l'_{\nu}$, где $\nu$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, отображаются на линии $l_{\nu}$. Пусть поставлено условие: $l'_{\nu} -< m$. Пусть, $m’_{\mu}$ отображаются на линии $m_{\mu}$. Отображение плоскости сводится по сути к распрямлению угла между дугой $C$ и линией $m$. Тогда, без ограничения общности, можно считать, что оказывается $l_{\nu} -< m_{\mu}$. Если существует линия $k'$ такая, что $l’_{\nu} -< k’ -< m$, то при «распрямлении угла» эта линия перейдёт в линию $k$ такую, что $l_{\nu} -< k -< m_{\mu}$.

[Инт]

Про деформации $\Omega_{\nu}$. Пусть в секторе $D$ заранее расположены линии $a_{\nu}$ и $b_{\mu}$ так, что если $\nu < \nu’$ и $\mu < \mu’$, то $a_{\nu} -< a_{\nu’} -< b_{\mu’} -< b_{\mu}$. Считаем последовательность $a_{\nu}$ несчётной, а последовательность $b_{\mu}$ по мощности не большей чем $\aleph_1$. Считаем, без ограничения общности, что все линии заканчиваются на дуге $C$ в точке $Z$. Область $D$ рассматривается как обычная евклидова область со стандартной дугой $C$ на её границе. Считается, что внутренность $D$, т.е. точечное множество $int(D)$, совпадает с самой $D$. Деформации $\Omega_{\nu}$ проделывают следующее: отображают сектор $D$ на себя непрерывно и разнозначно так, что каждая дуга $r = const$ во внутренности сектора переходит на себя. Если $\lambda < \lambda’ < \nu + 1$, то линия $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$ заканчивается в точке $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$ соотвественно таких, что на дуге $C$, рассматриваемой опять же как полностью классическая дуга, оказывается $A_{\lambda} < A_{\lambda’} < Z < B_{\lambda’} < B_{\lambda}$ в порядке на точках дуги. В основном тексте добавлены точки, заполняющие интервалы $A_{\lambda}A_{\lambda'}$, $B_{\lambda’}B_{\lambda}$, $A_{\nu}Z$, $ZB_{\nu}$ и соответствующие линии. Не будем рассматривать пока как сказываются деформации $\Omega_{\nu}$ на остальном пространстве. Поясню, зато, что из себя представляет трансформация $\Omega$, которая может считаться трансфинитным пределом для $\Omega_{\nu}$.

В замыкании сектора именуем все его точки произвольным образом, кроме точки $Z$. Все точки внутренности сектора сохраняют, пусть свои имена и окрестности при каждой деформации $\Omega_{\nu}$. Это означает, что если точка $P \in int(D)$ имеет какое-то имя, то точка $\Omega_{\nu}P$ имеет то же имя, и если к точке $P$ сходится точечная последовательность $P_n$, то $\Omega_{\nu}P_n$ сходится к $\Omega_{\nu}P$. Строим последовательность деформаций $\Omega_{\nu}$. Пусть $\nu < \nu’$, и точка $P$ расположена на одном из интервалов $A_{\lambda}A_{\lambda'}$, $B_{\lambda’}B_{\lambda}$, $A_{\nu}Z$, $ZB_{\nu}$ в замыкании области $\Omega_{\nu}D$, т.е. если $P \in cl(\Omega_{\nu}D)$, но $P \neq Z$. Тогда, в точке $P$ заканчивается некоторая линия $\Omega_{\nu}l$. Тогда, считается, что линия $\Omega_{\nu’}l$ заканчивается в той же точке $P$, с тем же именем, что и у точки $P$. Мало того, считается, что линии $\Omega_{\nu}l$ и $\Omega_{\nu’}l$ это одна и та же линия, но представленная с разных «точек зрения» $\Omega_{\nu}$ и $\Omega_{\nu’}$.

В итоге, каждое состояние сектора $\Omega_{\nu}D$ рассматриваем как проекцию сектора $\Omega D$ в пространстве-произведении. Сектор $\Omega D$ довольно интересный: внутренность его можно непрерывной биекцией отобразить на внутренность евклидовой области, а на границе, которую можно обозначить как $\Omega C$, расположено несчётное множество непересекающихся отрезков $A_{\lambda}A_{\lambda+1}$ и $B_{\lambda+1}B_{\lambda}$, между которыми точка $Z$.

Далее, рассматриваем сектора $D_{h(t)}$, $D_{h(1)} = D$. У нас есть некоторый произвол в том, как задать отображение $\Omega_{\nu}$ в пространстве. Задаём так, чтобы область $\Omega_{\nu}E_h$ на $\Omega_{\nu}D_{h(t)}$ всегда сжималась в точку $Z$, когда $t \to 1$. Тогда, по определению $\Omega$, $\Omega E_h$ сжимается в точку $Z$ на $\Omega D_{h(t)}$ в пространстве $\Omega$Э, где Э – начальное евклидово пространство, где рассматриваются все фигуры. Т.е. такое происходит со всех точек зрения. Линии $\Omega a’_{\lambda}$ и $\Omega b’_{\lambda}$ движутся по сектору $\Omega D_{h(t)}$, вообще говоря произвольным образом, независимо друг от друга, но так, чтобы в момент = 1 совпасть с линиями $\Omega a_{\lambda}$ и $\Omega b_{\lambda}$ соответственно. Можно сказать, поэтому, что к моменту = 1 эти линии распределяются как линии $\Omega a_{\lambda}$ и $\Omega b_{\lambda}$, или, что то же самое, как линии $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$. Для этого, мы просто берём каждую конкретную линию и, не зависимо от других движем её по сектору $\Omega D_{h(t)}$ к соответствующей линии, которая заранее обозначена как предел. Это достаточно сделать для одной из точек зрения (для одной из проекций). В остальных проекциях сходимость линии к линии с ростом $t < 1$ определится автоматически. Гладкость всех упомянутых фигур при деформации $\Omega_{\nu}$ обеспечивается тривиально.

Осталось пояснить последний шаг: почему сжимающаяся область $E_h$ некоторым образом соответствует искомой линии $k$, однако, хотелось бы знать, всё ли понятно уже в данных пояснениях, или что-то требуется пояснить дополнительно?

[Инт]

Последний шаг доказательства (пояснение). Теперь, рассматриваем ситуацию только в секторе $\Omega D_h$, может быть только иногда проецируя её как $\Omega_{\nu}D_h$. Внутри $\Omega D_h$ с течением времени $t$ происходит следующее: в каждый момент на секторе существует некоторое множество подвижных линий $\Omega a’_{\nu}$ и $\Omega b’_{\mu}$, т.е. зависящих от параметра $t$. Подвижные линии к моменту $t = 1$ распределяются, как можно считать, в секторе $\Omega D_h$ как линии $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\mu}$. Область $\Omega E_h$ по определению (post220877.html#p220877) будем считать областью с гладкой границей в каждой из проекций, Т.е. выбираем именно такую область в одной из проекций среди всех возможных. А поскольку отображения $\Omega_{\nu}$ всегда можно считать гладкими, то $\Omega_{\nu}E_h$ будет гладкой и для других проекций. Это же касается и всех других выстраиваемых фигур. Кроме того, по определению $\Omega E_h$ выбирается такой, чтобы касаться точки $\Omega Z_h$, т.е. граница такой двумерной области пересекается с дугой $\Omega C$ в точке $\Omega Z_h$. Мы считаем, что для сокращения обозначений, и из-за того, что теперь смотрим ситуацию только внутри подвижного сектора, что точка $Z$ в каждый момент времени находится в подвижном секторе и совпадает с точкой $\Omega Z_h$. К моменту $t = 1$ линии распределятся так, что их концы расположатся на дуге $\Omega C$ слева и справа от точки $Z$.

Напомню, что $C_{rh}$ это дубликаты дуг $r = const$ из сектора $D$. На дуге $\Omega C$ существует подвижная точка $Z’$ расположенная в каждый момент времени левее $Z$ на дуге, и в финальный момент времени так же различающаяся с $Z$. Эта точка окажется в момент времени = 1 на одной из дуг $A_{\lambda}A_{\lambda+1}$. Рассматривая ситуацию только в одной из проекций, получаем, что существует пространственная окрестность, в точности гомеоморфная открытому евклидовому шару и такая, в которой в каждый момент времени находится $Z’$. Иными словами, в такой окрестности всё оказывается классическим, каноническим. Внутренность сектора гомеоморфна открытой евклидовой области. Поэтому, производим непрерывную деформацию $\hat\Omega$ над сектором $\Omega D_h$ вдоль дуг $\Omega C_{rh}$, т.е. с переходом дуг на себя. Тогда и сектор отобразится на себя. Строго говоря, деформация $\hat\Omega$ зависит от времени. Заранее, для деформации, заготавливаем семейство (криволинейных) лучей $F$. Каждый луч $f \in F$ пусть к моменту $t = 1$ располагается как непрерывная линия среди линий $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\mu}$. Кроме того, пусть какова бы ни была точка $P \in \Omega D_h$ через неё проходит хотя бы один луч семейства $F$. Т.е. лучи «непрерывно заполняют сектор». Пусть лучи не пересекаются и выходят в каждый момент времени, в том числе и в момент $t = 1$, из точки $Z'$. Область $\hat\Omega \Omega E_h$ считаем расположенной так, что: её граница касается в каждый момент времени точки $Z'$ и область сжимается в эту точку к конечному моменту; каждый луч $f \in F$ пересекает область $\hat\Omega \Omega E_h$ по своему начальному сегменту. Иными словами: сдвигаем область $\Omega E_h$ вдоль дуг $\Omega C_{rh}$, как того требует отображение, и объявляем это новое положение областью $\hat\Omega \Omega E_h$. Считаем, что вместе со сдвинутой областью вдоль дуг перемещаются и все остальные фигуры конфигурации, т.е. линии $\Omega a’_{\nu}$, например, которые превращаются в линии $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$. Требуем так же, чтобы все линии $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b’_{\nu}$ расположились бы в конечном итоге среди линий $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\nu}$ в качестве линий $\hat\Omega \Omega a_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b_{\nu}$. Этого можно добиться тем, что счётное количество линий $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b’_{\nu}$ одну за другой можно расположить как следует, пользуясь некоторым произволом в задании деформации $\hat\Omega \Omega$, растягивая и сжимая плёнку $\hat\Omega \Omega D_h$, на которой расположена сдвинутая конфигурация фигур. Указанное счётное множество линий можно заранее подобрать так, чтобы объединение линий как точечных множеств было всюду плотно в $\hat\Omega \Omega D_h$ в каждый момент времени.

Рассматриваем линию $k'$, как линию движущуюся в конфигурации линий $\hat\Omega \Omega a’_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b’_{\nu}$ так, что в каждый момент времени $k'$ совпадает с одним из фиксированных лучей $f \in F$. Прообраз линии $k'$ при отображении $\hat\Omega$ есть линия $\Omega k$. Положение линии $\Omega k$, конечно, так же зависит от времени. В конечный момент времени $k'$ расположится среди линий $\hat\Omega \Omega a_{\nu}$ и $\hat\Omega \Omega b_{\nu}$. Следовательно, $\Omega k$ расположится среди $\Omega a_{\nu}$ и $\Omega b_{\nu}$, при $\nu$ пробегающем все возможные значения $< \omega_1$.

Проверяем, что $k$ искомая линия в момент $t = 1$. Действительно, берём линию $\hat\Omega \Omega a’_{\lambda}$ при произвольном $\lambda$. Рассматриваем непрерывное отображение $\hat\Omega_{\lambda}$ сектора $\hat\Omega \Omega D_h$ на себя, производимое теперь уже вдоль лучей пучка $F$. Область $\hat\Omega_{\lambda} \hat\Omega \Omega E_h$ заставляем сжиматься по-прежнему в точку $Z'$. И так как для всех достаточно больших $t < 1$ окажется, что $\hat\Omega \Omega a’_{\lambda}$ не пересекается с $\hat\Omega \Omega E_h$, то линию $\hat\Omega_{\lambda} \hat\Omega \Omega a’_{\lambda}$, если необходимо растягиванием или сжиманием плёнки на $\hat\Omega \Omega D_h$, заставляем занять конкретное предельное положение так, что в момент $t =1$, линия $\hat\Omega_{\lambda} \hat\Omega \Omega a_{\lambda}$ будет заканчиваться левее чем каждый из лучей пучка $F$. Следовательно, окажется в момент $t =1$, что $\hat\Omega_{\lambda} \hat\Omega \Omega a’_{\lambda}$ -< $\hat\Omega_{\lambda} k'$. Аналогично для всех линий $\hat\Omega \Omega a’_{\lambda+n}$. Аналогично для линий $\hat\Omega \Omega b’_{\lambda}$. Т.е. в итоге, в момент $t =1$ оказывается $a_{\lambda}$ -< $k$ -< $b_{\mu}$. Ч.т.д.

[Someone]

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Someone в сообщении #235097 писал(а):

В доказательстве никаким способом не используется количество цепей, то есть, совершенно не важно, одна такая цепь или не одна. Рассуждения дают вполне определённый результат: предъявляется цепь, которая вполне упорядочена отношением включения и, если множество $M$ содержит больше одного элемента, не совпадает с $\mathfrak P(M)$. Следовательно, Ваше предположение, что при $|M|>1$ цепь может оказаться единственной, неверно.

Но, чтобы вычленить хотя бы одну цепь отличную от $\mathfrak P(M)$, в частности ту цепь $K_0$, которая вполнеупорядочивает $M$, взято пересечение всех цепей. А если "все цепи" представляют из себя всего лишь одноэлементное множество, то $K_0 = \mathfrak P(M)$, т.е. $M$ вроде не оказывается вполнеупорядоченнным цепью $\mathfrak P(M)$. В этом был вопрос.

Вроде бы понятно объяснил. Неужели не поняли, или просто троллингом занимаетесь?

Предположение, что существует только одна цепь, - это Ваше личное предположение. Оно может быть верным или неверным, но оно не имеет никакого отношения к доказательству, изложенному в книге П.С.Александрова. В этом доказательстве никаким способом не используется ни это Ваше предположение, ни его отрицание. Точно так же Вы могли бы предположить, что Волга впадает в Саргассово море. Если множество $M$ таково, что цепь единственная, то именно она и будет вполне упорядоченной. Поскольку при $|M|>1$ цепь $\mathfrak P(M)$ не является вполне упорядоченной, Ваше предположение оказывается неверным.
В конце-концов, используя условие $|M|>1$ и функцию выбора $\varphi\colon\mathfrak P(M)\setminus\{\varnothing\}\to M$, легко явно указать цепь, отличающуюся от $\mathfrak P(M)$. Попробуйте сделать это в качестве упражнения.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

и ясно, что это противоречие не моей теории

"Ясно" это будет не ранее, чем Вы предъявите линию $k$. Я посмотрел последующие Ваши сообщения, они не содержат построения линии $k$. Там есть только пожелания и ссылки на геометрические образы, существующие только в Вашем воображении и более никому не доступные.

Обсуждение аксиом отложим на потом.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Дак уже предъявлено доказательство существования линии $k$. Другое дело, что я должен пояснить Вам моменты доказательства, которые кажутся непонятными.

Это только Вы так считаете. С точки зрения профессиональных математиков, никакого построения у Вас нет.

Сравните своё "построение" с моим: http://dxdy.ru/post235097.html#p235097.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Вовсе не обязательно было приводить Ваше построение трансфинитной последовательности линий $l_{\alpha}-<m$, хотя бы потому, что

Я написал, зачем я привёл это построение.

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Я даже построю семейство А, чтобы показать, как должно выглядеть Ваше изложение.

Не пропускайте мои слова мимо своего сознания. Если Ваше построение будет выглядеть иначе, то его никто не признает, тем более, что речь идёт о противоречивости ZFC.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Я постараюсь скоро дать такое пояснение к §5, из которого стало бы более ясно зачем употреблены те или иные определения этого доказательства.

Вообще говоря, этот вопрос малоинтересен. Гораздо интереснее вопрос о том, как осуществить заявляемое Вами построение.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Проблема не в "разведении концов", а в построении линии $k$, разделяющей два семейства.

Вот. Это совершенно точно. Т.е. если утверждать, что вывод можно провести в обычной теории множеств, то надо и привести такое доказательство. В противном случае, решение континуум-проблемы остаётся решением на уровне, хотя и очевидных, но только аксиом.

Так мы все ждём от Вас доказательства по правилам, принятым в современной математике. То, что Вы сочинили, таковым не является. "Решение" на уровне "очевидных аксиом", противоречащих ZFC (и, следовательно, ZF тоже), решением не является.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Someone в сообщении #235097 писал(а):

...вообще всё непонятно. Как движутся линии, откуда взялся параметр $t$, почему "без ограничений общности можно считать"...

Вот эти вопросы я и согласен пояснять и уточнять. Только они должны задаваться в правильной, связной форме. Вы их задаёте достаточно связно и понятно, если опустить эмоции.

Ну спасибо за комплимент, а то я уж исстрадался: "Когда же меня кто-нибудь похвалит?"

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Делаю первое пояснение: Параметр $t$ можно считать временем, и он есть действительное число.

В построении последовательности "деформаций" $\Omega_{\nu}$ никакого параметра $t$ не было. Независимо от того, считать его временем или не считать, он не определён.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Когда высота $h = h(t)$ над плоскостью $\pi$ cтремится к нулю, момент времени $t$ стремится к некоторому финальному моменту $t = 1$.

Если речь идёт об этом, то почему бы не использовать в качестве параметра просто $h$? Пусть он стремится к нулю, а не к единице.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Сведём задачу, поставленную Someone к задаче, поставленной в условиях теоремы 7 (см. post220877.html#p220877), когда множество линий $m_{\mu}$ счётно. В самом деле, берём на линии $m$ произвольное множество точек $M_{\mu}$, где $\mu \in \mathbb{N}$ и, когда $\mu \to \omega_0$, то $\lim_{\mu}M_{\mu} = M$, где $M$ - конец линии $m$ на дуге $C$. Пусть, линия $m’_{\mu}$ заканчивается в точке $M_{\mu}$, а начинается в точке $O$. Тогда, некоторой непрерывной биекцией плоскости на себя, отобразим линию $m$ на дугу $\subset C$. В то время как дуга $YM$ пусть при отображении остаётся на месте. Пусть линии $l'_{\nu}$, где $\nu$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, отображаются на линии $l_{\nu}$. Пусть поставлено условие: $l'_{\nu} -< m$. Пусть, $m’_{\mu}$ отображаются на линии $m_{\mu}$. Отображение плоскости сводится по сути к распрямлению угла между дугой $C$ и линией $m$. Тогда, без ограничения общности, можно считать, что оказывается $l_{\nu} -< m_{\mu}$. Если существует линия $k'$ такая, что $l’_{\nu} -< k’ -< m$, то при «распрямлении угла» эта линия перейдёт в линию $k$ такую, что $l_{\nu} -< k -< m_{\mu}$.

Как я понял, Вы почему-то хотите избавиться от половины сектора, находящейся справа от линии $m$, которую я определил уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, и разместить эту линию на дуге $C$. Только не понял, зачем для этого нужен гомеоморфизм всей плоскости. Для построения нужно только то, что находится внутри сектора. Всё лишнее запутывает построение. Конечно, оставшаяся половина сектора гомеоморфна целому сектору, и требуемый гомеоморфизм существует, но доказательство этого требует либо явного построения, либо ссылки на какую-то теорему существования. Он преобразует линии $l_{\nu}$, расположенные в половине сектора, в линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, расположенные в полном секторе. Куда при этом перейдёт точка $O$? Тоже куда-то на дугу $C$. Обратный гомеоморфизм будет преобразовывать линии $l'_{\nu}$ в линии $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$.
Вы не видите никаких проблем в этом месте? По меньшей мере одна проблема есть: линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, вообще говоря, нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$. Проблема не исчезнет и после того, как Вы подправите условия, наложенные на гомеоморфизм, чтобы он оставлял точку $O$ на месте, а линию $m$ отображал на объединение дуги $MX$ и отрезка $OX$. А линии, которые нельзя задать уравнением вида $\varphi=f(r)$, никак не "лезут" в Ваши "аксиомы" и "теоремы". Разумеется, линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, можно заменить эквивалентными им линиями $l''_{\nu}$, но совсем не очевидно, что можно подобрать такие линии, которые можно задать уравнениями требуемого вида.

Поэтому Вам придётся начать с того, чтобы явно указать требуемый гомеоморфизм, поскольку его существование не очевидно, и явно доказать его свойства. Так, как это делал я при построении семейства линий $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$.

Значит, либо Вы явно строите гомеоморфизм, сохраняющий возможность записи уравнений всех линий $l'_{\nu}$ (или эквивалентных им линий $l''_{\nu}$), $\nu<\omega_1$, в виде $\varphi=f(r)$, либо решаете задачу в первоначальной формулировке. После этого будем обсуждать дальше. Сразу всё, что Вы понаписали, я обсуждать не буду, поскольку оно ничем не лучше того, что можно найти в Вашем исходном тексте. а свободного времени у меня на это не хватит.