Полное решение континуум-проблемы

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #234692 писал(а):

Спорно, вроде. Счётное множество точек на континууме может потребовать счётного множества информации. Даже одна точка может потребовать счётности информации.

Если мы выбираем элемент из счётного множества, нам достаточно это множество вполне упорядочить и указать номер нашего элемента. На обе процедуры необходимо конечное количество информации.

Инт в сообщении #234692 писал(а):

Поэтому, счётная информация необходима и для выбора из $A$.

Но ведь этот объём информации задаёт $2^{\aleph_0}$, т.е. другая машина нам в тех же условиях сгенерирует континуум. Значит, эти множества равномощны: $A = \frak{c}$.

Видите, что получается: оперируя, казалось бы, очевидными и простыми понятиями, мы получаем следствие (верность континуум-гипотезы), которого не должны были бы получить.

Мой "нечестный" приём с количеством информации (в котором на самом деле кроется предположение о конструктивности и, в конечном счёте, неявно спрятана аксиома детерминированности) ничуть не лучше Ваших приёмов с выбором линий из множества, которое, как оказывается, нельзя вполне упорядочить.

Т.е. в Ваших рассуждениях точно так же кроется посылка, невыводимая из ZFC и в конечном счёте противоречащая ей.

[shwedka]

Инт в сообщении #234648 писал(а):

Уважаемая shwedka, а почему сразу двести вопросов не задать? Мне ещё удобнее отвечать будет. Вам не кажется, что это у Вас нечестный ход? Разобрались бы хотя бы с одним вопросом, конкретно.

Ошибаетесь! Я продемонстрировала, что текст полон недоказанностей и неопределенностей. Разбираться по отдельности Вы, притворяясь непонимающим, уже отказались.
А на такие замечания Вы сами напрашивались:

Цитата:

shwedka:Уточняю: все 'можно', 'легко' и тп---
Инт:Ничего конкретного.

Какое конкретно из моих замечаний Вам не нравится?

Наилучшим было бы Вам переписать ВАШ поток сознания, прояснив отмеченные места, но Вы же на такое не согласитесь.
Считайте, что я задала ВАм 200 вопросов, и отвечайте на них по одному, до достижения полной ясности, потом перейдем к следующему.
Но для начала перепишите все же первый абзац раздела 5.3, включив в обозначения переменную $t$ и в таких обозначениях ясно и явно опишите построение кривых.

А про квалификацию моего послания как бреда--- рекомендую не бросаться камнями, живя в стеклянном доме. Учтите свою подмоченную репутацию

[Инт]

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Пардон, откуда следует, что $2^{\aleph_1}=\frak c$ ?? При CH это точно не верно, а при отрицании CH это равенство откуда может следовать?

Оно следует из аксиомы II, или, что то же самое из построения линии $k$.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Далее, какой порядок рассматроивается на $C_1$? Если это дуга окружности с естественным порядком (угол радиуса), то ни о каких гипердействительных числах тут не может идти речи, ибо это просто интервал $(0;1)$, натянутый на дугу окружности. Если же там какой-то иной порядок, то он не будет иметь ничего общего с евклидовой непрерывностью.

Порядок на $C_1$ лексикографический, как и было указано в §1 основного текста. Т.е. это самая что ни на есть настоящая гиперпрямая. Самое интересное, и в этом некоторое открытие, что евклидовая топология оказывается совместимой со структурой гиперпрямойпрямой в плоской окрестности этой прямой. См. §3 текста. Я думал, мы разобрались с Вами со свойствами I и II, из которых это и выводится.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Соответственно, если $B$ суть подмножество $C_1$ (читай интервала $(0;1)$), а $HQ$ сопоставлено ему взаимно однозначно, то $HQ$ изоморфно вкладывается в $\mathbb R$, т.е. в нем не может быть более чем счетных возрастающих/убывающих последовательностей.

Это Вы откуда взяли? Мне казалось, что Вы согласились с тем, что множество HC удовлетворяет свойствам I и II. Из этих свойств следует (пользуемся аксиомой выбора, например, в полной мере), что существует множество HQ так же удовлетворяющее свойствам I и II и поставленное во взаимно однозначное соответствие множеству B. Таким образом, HQ не может быть изоморфно множеству действительных чисел, хотя равномощно ему. Множества HQ и B есть аналоги рациональных чисел, т.е. они суть могут быть названы множествами гиперрациональных чисел.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Естественно после этого выдвинуть гипотезу, что по сектору $D$ можно провести линии и в остальные точки гиперпрямой $C_1$, т.е. не только в точки множества $B$.

Разумеется! Это будут радиусы, направленные в точки дуги $C_1$. Ничего гипердействительного тут и в помине нет.

Никакие это не радиусы. Внимательно прочитайте аксиому II, а не только мои пояснения. Проводимые линии заканчиваются как раз в точках гиперпрямой, расположенной "на краю" евклидовой области, точнее, на краю области, которая может быть непрерывной биекцией отображена на открытую евклидову область. Это и есть самое интересное. Такое расположение является математическим фактом.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Мощность множества $C_1$ равна $2^{\aleph_1}$. Число линий множества $HC$ равно $2^{\aleph_0}$. Следовательно, $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0} $

А это откуда следует?

Вот из цитированного Вами и следует: мощность HC равна мощности континуума с одной стороны, и не меньше чем количество точек на гиперпрямой, в которых заканчиваются линии этого самого множества HC.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

1) $\aleph_1$ линий, вполнеупорядоченных по отношению сравнения, которое для линий было определено, и заканчивающихся на дуге $C$, после трансформации, так же будут заканчиваться на этой дуге

Следует ли понимать трансформацию линии $l$ как равномерно непрерывное отображение $H(x,t):(0;1)^2\to D$, что: (а) $H(x,0)$ пробегает линию $l$, (b) $H(x,1)$ пробегает линию, получаемую в результате трансорфмации.

Нет не следует. На евклидовой плоскости такого рода трансформации невозможны. Это я не раз указывал в пояснениях и в основном тексте. Поэтому они и названы транформациями. С другой стороны, трансформации можно определить либо синтетически - через аксиомы, в которых описываются свойства трансформаций, либо другим способом - в пространстве произведении.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Пользуясь указанной трансформацией, можно указать ещё одну линию, не равную ни одной из указанных $\aleph_1$ линий.

Как именно?

Об этом, и о том, как продолжить трансфинитную последовательность рассказывается в аксиоме III.

rishelie в сообщении #234705 писал(а):

Инт в сообщении #234533 писал(а):

То, что можно выстраивать трансфинитные последовательности сравнимых линий мы проверили с rishelie

Мы показали следующее: Существует $\aleph_1$-последовательность на множестве функций $\{f:\omega\to\mathbb R\}$, упорядоченных отношением $\ll$. Не больше и не меньше. В параллельной ветке AGu также показал, что в данное множество с порядком $\ll$ можно вложить любой ординал мощности меньше $\aleph_2$. К мощности континуума без CH это не имеет отношения. Что если принять аксиому, что $\frak c$ - предельный регулярный кардинал?

Зато это в точности имеет отношение к тому, что и хотел я Вам объяснить. А в конечном итоге, и к окончательному выводу о мощности континуума. AGu из свойств I и II делает уже простейшие выводы, в частности о вложимости ординалов мощности $\aleph_1$. На этот факт я так же Вам указывал в той самой соседней теме. Самое интересное, что мне не требуется большее, чем мы с Вами установили. Т.е. не требуются для опровержения континуум-гипотезы трансфинитные последовательности по длине большие, чем $\omega_1$.

В итоге, надеюсь, что я и Вы установили, наконец, что 1) транфинитные последовательности линий длины могут быть длины $\aleph_1$? В частности, в множестве HQ такие последовательности могут определять сечение в множестве линий? Таких сечений всего $2^{\aleph_1}$. В каждое сечение проводим линию множества HC, либо пользуясь аксиомой II, как аксиомой, либо используя построение линии $k$, проходящей в сечение, т.е. напрямую доказывая аксиому как теорему теории множеств. Это вне зависимости от определённых трансформаций. Т.е. окончательные рассуждения вообще могут игнорировать такие трансформации. Трансформации определны лишь для некоторой наглядности и для выражения аксиом в геометрическм виде.

[rishelie]

Я вообще перестал понимать, о чем идет речь. То вы двоичные последовательности вкладываете в дугу на плоскости, то потом речь идет об окрестности этой дуги (как она выглядит, где ее определение - бог его знает). Если речь идет о непрерывных на $[0;1]$ функциях, при чем тут дуга вообще? Ваши геометрические рассуждения только все запутывают. Никакой связи между линиями из HC и последовательностями из $C_1$ я не вижу. Это совершенно разные конструкции. Давайте тогда рассматривать два пространства $HC$ - множество непрерывных линий в $D$ с началом в $O$ и концом на дуге (только не на дуге $C_1$, а на дуге окружности, которая гомеоморфна интервалу $(0;1)$) и множество бинарных последовательностей длины $\aleph_1$. Какие отображения из одного пространства в другое у Вас участвуют в доказательствах? Я их не видел. А их нужно совершенно четко указывать (либо строить, либо определять и доказывать их существование), т.к. никакой естественной связи между $HC$ и $C_1$ нет и быть не может.
Да, в $HC$ можно строить $\aleph_1$ -последовательности линий. Как это соотносится с наборами бинарных последовательностей, ума не приложу. Если Вы рассматриваете какие-то отображения $HC\to C_1$, то как заданных на этих пространствах порядок ведет себя при данном отображении?
Формулировки Аксиом никак не связаны ни с пространством бинарных последовательностей, ни с некоей окрестностью дуги, что, кстати, далеко не одно и то же.
Короче говоря, я доаже теперь постал понимать, чему равно $C_1$ - что это за множество, с какими отношениями, сигнатурой, топологией и т.д., и то же самое относительно $HC$. Кроме того, сравнение неких $HQ$ и $B$ непонятно как влечет что-либо о содержащих их пространствах.
Ну, возьму я, например, $\omega$-последовательности и множество целых чисел, и заявлю, что между их частями существует некий изоморфизм. Это же не значит, что они равномощны.

-- Чт авг 13, 2009 16:22:46 --

Предлагаю так поступить. Вы даете четкое определение символам. Типа $C_1$ - это множество таких-то объектов с таким-то порядком или что там еще у него есть. Когда объекты четко определены, описываете нужные отображения между ними или внутри них. Затем перечисляете их свойства в определенных обозначениях, не залезая ни в какие аналогии и избегая общеразговорных слов. Тогда картина станет предельно ясной, я надеюсь.

[AGu]

Инт в сообщении #234606 писал(а):

AGu в сообщении #234583 писал(а):

Инт, не могли бы Вы логически позиционировать свой трактат? Следует ли рассматривать его как обоснование противоречивости ZF(C)?

Цели обосновать противоречивость ZFC или ZF я не ставлю. Как оно есть так и есть. Если установим противоречивость ZFC или неправильность вывода в ней вполнеупорядочения каждого множества, значит так и никак иначе. Если выяснится, что у меня ошибка, значит так и никак иначе.

Боюсь, здесь все же необходимо определиться. Дело в том, что логическое позиционирование определяет стиль дискуссии об ошибочности/безошибочности работы, фиксируя набор допустимых дискуссионных средств для «оппонента» и «защитника».

(1) Если защитник позиционирует свою работу как обоснование противоречивости ZF(C), то

(а) оппонент может требовать разъяснение и формализацию отдельных рассуждений;
(б) защитник обязан давать разъяснение и формализацию — вплоть до сведения к аксиомам и правилам вывода (по требованию оппонента);
(в) оппонент не может выдвигать контраргументы в виде утверждений, противоречащих заключениям защитника;
(г) защитник не обязан искать ошибки в контраргументах оппонента.

(2) Если защитник позиционирует свою работу просто как доказательство в ZF(C), то

(а) оппонент может требовать разъяснение отдельных рассуждений;
(б) защитник обязан давать разъяснения, но в принципе может отказаться от полной формализации, сославшись на очевидность (впрочем, см. пункт (а));
(в) оппонент может выдвигать контраргументы в виде утверждений, противоречащих заключениям защитника;
(г) защитник обязан указывать на конкретные ошибки в контраргументах оппонента.

[Инт]

AGu! Полностью согласен с Вашими требованиями.

[AGu]

Инт в сообщении #234845 писал(а):

AGu! Полностью согласен с Вашими требованиями.

Спасибо, но... Вообще-то я еще не выдвигал требований. Пока лишь прошу определиться с выбором между (1) и (2), так как это принципиально для возможной дальнейшей дискуссии «по существу».

[Инт]

Уважаемый rishelie. Я подразумевал, что Вы читаете основной текст. Какой смысл его приводить ещё раз, если там и содержатся полные определения и доказательства, и его я и приводил в качестве основного текста моей аргументации. Раз он не прочитан, то ещё раз привожу точные формулировки:

В http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm указано так: Элемент гиперпрямой $C_1$ можно записать в форме: $±\nu, \delta_1\delta_2... \delta_{\omega}... $, где последняя несчётная запись рассматривается как двоичная для некоего "гипердействительного числа".

В итоге, $C_1$ есть множество трансфинитных последовательностей длины $\omega_1$. На первом месте последоватльности стоит знак $+$ или $-$, на втором месте в последовательности стоит конечный или счётный ординал, на остальных местах - символы $1$ или $0$.

Из http://dxdy.ru/topic23150.html:

Цитата:

Множество $HC$ состоит из всех непрерывных линий, расположенных в области $D$ так, что если точка $Z$пробегает линию $l$ из $HC$, длина отрезка $OZ$ равна$r$, а величина угла $XOZ$ равна $\phi$, то линия однозначно задаётся непрерывной функцией $f(r, l)$, зависящей так же и от линии $l$, и такой, что $0 < r < 1$ и через функцию определяется значение угла $\phi = f(r, l)$, которому разрешается лежать в интервале от нуля до прямого угла.

Как в множестве $HC$, так и в множестве $C_1$, независимо, устанавливаются свойства I и II. Указывается конкретно множество $B \subset C_1$, которое обладает свойствами I и II и всюду плотно в $C_1$. Оно есть множество "гиперрациональных чисел". Из свойств I и II вытекает (см. http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm, §3)

Теорема 1. Существует такое множество $HQ \subset HC$, и существует взаимно однозначное соответствие F между всеми элементами множества $HQ$ и всеми точками множества $B$, так что $l -< m \Leftrightarrow F(l) = S < T = F(m)$, где $l$ и $m$ - произвольные элементы множества $HQ$, а $S$ и $T$ - точки из $B$.

Доказательство в основном тесте не приводится, так как теорема тривиальна. Поясняю. Доказательство теоремы 1 можно провести, например, предполагая, что все множества можно вполнеупорядочить (по процедуре, подобной той, которую применил Кантор для отображения плотного всюду счётного множества в множество рациональных чисел), а можно и без этого предположения, пользуясь только свойствами I и II, и аксиомой выбора. Приводить доказательство полностью?

Пользуясь теоремой 1 и аксиомой I, получаем расположение гиперконтинуума $C_1$ на краю евклидовой плоскости $D$. Поясняю: аксиома I есть синтетическая аксиома, которая говорит о следующем: разводим концы каждой пары линий множества $HQ$ вдоль дуги $C$. Это можно сделать, так как все линии множества $HQ$ сравнимы.

Цитата:

Аксиома I. Существует трансформация $\Omega$, проводимая вдоль дуг $r = const < 1$ над областью $D$, в результате которой, концы каждых двух линий $l$ и $m$, взятых в множестве $HQ$, разводятся на дуге $C$. При этом, если $l -< m$, то после трансформации (деформации) оказывается: $\Omega l -< \Omega m$ и $L < M$ ($L$ - конец линии $l$, $M$ - конец линии $m$); трансформированная область $D$ оказывается гомеоморфной открытой евклидовой области.

Трансформацию, указанную в аксиоме, можно выразить и как классическое отображение в пространство-произведение (пояснять этот момент?).

Линии множества $HQ$ заканчиваются в результате трансформации $\Omega$, проведённой над сектором $D$ в точках гиперконтинуума $C_1$. Существенно, и очень, то, что обычная евклидова дуга в результате трансформации превращается в гиперконтинуум. Точнее, линии множества $HQ$ заканчиваются в точках множества $B$. Пользуясь аксиомой II, или как аксиомой, или как теоремой (которая доказывается в §5) устанавливаем, что для каждой точки $P \in C_1$ существует линия $k \in HC$, конец которой расположен в $P$. Поскольку таких точек $P$ всего $2^{\aleph_1}$, а линий множества $HC$, т.е. линий обычной евклидовой области $D$ всего $2^{\aleph_0}$, то заключаем, что $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} > \aleph_1$.

AGu. Работаем по условию 2.

-- Чт авг 13, 2009 19:17:01 --

Виктор Викторов в сообщении #234710 писал(а):

Инт в сообщении #234703 писал(а):

Противоречие с утверждением о вполне упорядочении выводится строго. См. построение моей линии.

Если строго, то найдите ошибку в доказательстве Цермело. Тогда и поговорим о Вашей линии.

Из того, что (даже если) формальная ошибка в выводе Цермело не существует не следует, что противоречия в теории ZFC найти нельзя. Вывод Цермело, как минимум не конструктивный. Построение моей линии конструктивно. Конечно, здесь надо иметь ввиду некоторую трансфинитную конструктивность. То, что мы с Вами обсуждали ещё не настоящее исследование вывода Цермело. И отсутствие такого исследования никак не ограничивает моё доказательство.

-- Чт авг 13, 2009 19:19:20 --

Droog_Andrey в сообщении #234726 писал(а):

Т.е. в Ваших рассуждениях точно так же кроется посылка, невыводимая из ZFC и в конечном счёте противоречащая ей.

Насчёт невыводимости Вы точно ошибаетесь. См. мои доказательства.

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #234855 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #234710 писал(а):

Инт в сообщении #234703 писал(а):

Противоречие с утверждением о вполне упорядочении выводится строго. См. построение моей линии.

Если строго, то найдите ошибку в доказательстве Цермело. Тогда и поговорим о Вашей линии.

Из того, что (даже если) формальная ошибка в выводе Цермело не существует не следует, что противоречия в теории ZFC найти нельзя. Вывод Цермело, как минимум не конструктивный. Построение моей линии конструктивно. Конечно, здесь надо иметь ввиду некоторую трансфинитную конструктивность. То, что мы с Вами обсуждали ещё не настоящее исследование вывода Цермело. И отсутствие такого исследования никак не ограничивает моё доказательство.

В доказательстве Цермело нет никакой формальной (или неформальной) ошибки. Никакого противоречия в ZFC нет. Доказательство Цермело неконструктивно без всякого минимума. Но поскольку Droog_Andrey мне разрешил использовать его выражение «идти лесом», то имеет смысл разговаривать о Вашей линии только после того, как Вы докажете, что теорема о вполне упорядочении идёт лесом.

[Инт]

А теорема о существовании линии и есть вывод опровержения вполнеупорядочения континуума. Т.е. в частности из равенства $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$ указанный вывод даёт требуемое. И если формальное доказательство Цермело правильно, то тем более существует какая-то глубокая ситуация в этом вопросе, до конца пока не прояснённая. К тому же, можно сначала не рассматривать моё полное доказательство, т.е. вывод аксиом I-III как теорем, а понять хотя бы аксиомы I, II, III, и выводы из них следующие. Уже они не совместимы с выводом о вполнеупорядочнии, будучи геометрически очевидными. В частности, в одной из аксиом утверждается, что между парой точек можно провести линию, соединяющую эту пару (другое дело, между какой парой).

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #234893 писал(а):

В доказательстве Цермело нет никакой формальной (или неформальной) ошибки. Никакого противоречия в ZFC нет. Доказательство Цермело неконструктивно без всякого минимума. Но поскольку Droog_Andrey мне разрешил использовать его выражение «идти лесом», то имеет смысл разговаривать о Вашей линии только после того, как Вы докажете, что теорема о вполне упорядочении идёт лесом.

Инт в сообщении #234900 писал(а):

А теорема о существовании линии и есть такой вывод. Т.е. в частности из равенства $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$ указанный вывод идёт в нужном направлении. И если формальное доказательство Цермело правильно, то тем более существует какая-то глубокая ситуация в этом вопросе, до конца пока не прояснённая. К тому же, можно сначала не рассматривать моё полное доказательство, т.е. вывод аксиом I-III как теорем, а понять хотя бы аксиомы I, II, III, и выводы из них следующие. Уже они не совместимы с выводом о вполнеупорядочнии, будучи геометрически очевидными. В частности, в одной из аксиом утверждается, что между парой точек можно провести линию, соединяющую эту пару (другое дело, между какой парой).

Уважаемый Инт! У меня незаконченное среднее образование, поэтому до предъявления Вами ошибки в доказательстве Цермело, я из общения выпадаю.

[Инт]

Ну хорошо, могу заявить, что если ошибки в выводе Цермело не содержится, но тогда, приходим к противоречию в ZFC, на что не раз указывал.

Два вывода могут быть формально правильными, но противоречить друг другу. Отсюда обычно делают вывод о несовместимости исходных посылок, на которых они основаны. Если эти поссылки одинаковы, то признаётся, что они противоречивы, в частности, если их несколько, то они не совместимы друг с другом. Предпочтение, затем, будет отдано наиболее ясному выводу, с посылками, где устранены возникшие противоречия. Такая ситуация и возникает в случае с моими выводом при взаимодействии с выводом Цермело.

[AD]

То есть уже третье отозванное заявление об ошибке. Любопытно, ждём продолжение.

[Инт]

Никакого однозначного заявления по поводу правильности формального вывода Цермело я не делал. А указывал, см. http://dxdy.ru/post224743.html#p224743 и http://dxdy.ru/post224883.html#p224883, в точности, что либо в доказательстве Цермело есть ошибка, либо AC противоречит ZF, поскольку даю вывод того, что $2^{\aleph_{\nu}} = 2^{\aleph_0} > \aleph_{\nu}$. Вне зависимости от того, есть ли ошибка в выводе Цермело или нет, мои выводы остаются правильными. И вне зависимости от того будет ли ZFC непротиворечива или противоречива, континуум невозможно вполнеупорядочить. Так как ясно, что предпочтение должно отдаваться именно моим выводам.

[shwedka]

Инт в сообщении #234900 писал(а):

теорема о существовании линии и есть вывод опровержения вполнеупорядочения континуума.

Нет такой теоремы. По Вашему счету, там указано 200 пробелов, которые Вы не можете заполнить. У Цермело Вы не можете указать ни одного.