Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

Рассмотрел всё же более детально мою попытку доказательства моих же аксиом как теорем ZFC. Всё же нет там у меня полного доказательства, используются моменты, которые сами требуют доказательства. По-видимому, это окончательное заключение. Придётся надолго призадуматься. Кроме того, тема уже несколько перегружена, и её стоит завершить. Моя позиция (и если хотите предположение) в отношении следущих шагов такова: безусловное математическое знание возможно, возможно полное различение, не зависящее ни от каких теорий. В частности, возможно такое уточнение понятия множества, которое позволит безусловно доказать аксиомы в интерпретации ZF, причём так, что построение линий, постулируемых в аксиомах, окажется полностью конструктивным. Рабочая гипотеза, которая давно мною рассмативается, и которую здесь выскажу, такова: по-видимому, некоторые объекты, "расположенные в мире множеств", похожи на множества, и могут рассматриваться как множества. Эти объекты так же конкретны как и известные множества. Объекты, "похожие на множества", по-видимому, имеет смысл иногда называть "полумножествами", когда их желательно отличать от "заведомых множеств". "Полумножества" термин, заимствованный у Вопенки. Белякин подсказал мне, что целесообразно именно исследование полумножеств. Он пришёл к этим идеям, исходя из своих соображений. Я использовал несколько другую терминологию, исходя из своих. Хотя набрёл на похожие идеи. Моё предположение таково, что некоторые "множества" являются "потенциальными", а некоторые "актуальными". Потенцальные множества это такие совокупности, которые можно неограниченно продолжать, но нельзя завершить. Т.е. предположение об их завершении приводит к противоречию. Вместе с тем, абсурдно отрицать наличие таких потенциальных множеств. При некоторой аксиоматике потенциальные множества можно переводить в мир актуальных множеств, актуализировать. Тогда, некоторые актуальные множества, не совместимые с первыми, переводятся в потенциальные. Чтобы было понятно, ряд ординалов можно считать "полумножеством". Однако, я нашёл геометрические примеры (не связанные с моими аксиомами), которые позволяют указать "счётные потенциальные множества", т.е. такие "множества", которые на каждом шагу состоят из конечного количества элементов, всегда продолжаемы до большего числа элементов, но завершение таких "множеств" приводит к противоречию. Явный пример подобного "множества" выразим, к сожалению, только через некоторое предварительное демонстрирующее построение и некоторую аксиому, выходящую за рамки обсуждаемой темы. Я надеюсь сделать такой пример более конструктивным. Ещё раз отмечу, что мои аксиомы сильнее чем гипотеза Лузина, и по существу всё же разрешают и расшифровывают континуум-проблему, пусть даже и вне рамок ZFC. Они достаточно конструктивны и существенно отличаются от простых гипотез о равенстве некоторых мощностей.

[rishelie]

А какое отношение Ваши рассуждения имеют к ZF? В ней нет никаких объектов, кроме множеств, и быть не может по определению.
Представьте себе, что ZF - это некий механизм, работающий по заранее заданной схеме, например, ламповый телевизор :)
Как бы Вы ни пытались воткнуть в него Ethernet-кабель, показывать сайт dxdy.ru он не будет.
Точно так же, любые попытки "прикрутить" к ZF потусторонние соображения о неких таинственных полумножествах или множествах, существующих во времени (с неким процессом завершенности) - это абсурд. Вы просто выпадаете из номенклатуры ZF.
Нет, конечно, в ZF можно придумать разные вещи, опираясь на построенную модель действительных чисел. Но тогда Вы окажетесь в рамках действительных чисел, и тут уже вообще будет не о чем говорить в плане больших кардиналов, ибо дальше континуума просто не прыгнете.

[Инт]

rishelie в сообщении #336659 писал(а):

А какое отношение Ваши рассуждения имеют к ZF? В ней нет никаких объектов, кроме множеств, и быть не может по определению...Точно так же, любые попытки "прикрутить" к ZF потусторонние соображения о неких таинственных полумножествах или множествах, существующих во времени (с неким процессом завершенности) - это абсурд.

Идеи, изложенные в моём последнем посте, на который Вы ссылаетесь, не привязаны к ZF. Это очевидно. Это лишь некая возможная программа исследований.

Теперь насчёт "абсурда". Как бы Вы не говорили, что "множества всех ординалов" не существует, очевидно, что оно существует. Хотя бы потому, что существуют все ординалы. Вот Вам пример "таинственного" потенциального множества, которое игнорируется логикой ZF. Очевидно, это множество нельзя завершить. Хотя бы это есть основание к тому, чтобы подозревать, что существуют и другие потенциальные множества. Почти не сомневаюсь, что Вы, например, верите в "нестандартные множества", ни одного конкретного примера которых привести нельзя. Просто потому, что верите авторитетам. Я лишь обращаю внимание на вопрос для тех, кому интересно исследование множеств. Раскрыть некоторые технические детали готов теперь лишь в личном обсуждении с тем, кто заинтересуется, поскольку, многое ещё не доведено до завершения.

[rishelie]

Инт в сообщении #336768 писал(а):

Идеи, изложенные в моём последнем посте, на который Вы ссылаетесь, не привязаны к ZF.

так а к чему же они тогда привязаны? сами по себе множества не существуют, т.к. это понятие каждой формальной теорией задается индивидуально.
дайте тогда свое определение понятия множества, только вопрос - на каком языке? он тоже должен быть выбран и фиксирован :)

Инт в сообщении #336768 писал(а):

Как бы Вы не говорили, что "множества всех ординалов" не существует, очевидно, что оно существует.

Вот сразу видно, что Вы не математик. Ну поймите, наконец, что понятие "множество", вводимое ZF, таково, что не существует множества ординалов, в противном случае получается противоречие аксиомам, которые как раз и являются определением понятия множества. И вообще, в математике понятия не существуют в некоем абстрактном безвоздушном пространстве, они всегда четко определены. Хочется Вам эксплуатировать идею совокупности ординалов как единого целого - пожалуйста, берите аксиоматику GB, например. Там есть класс ординалов.
Не знаю, как еще втолковать элементарные вещи... Ну, представьте, что у вас есть компьютер, который умеет по алгоритму что-то там строить в своей памяти, например, вычислять простые числа, заполняя их цифрами оперативную память, т.е. некую микросхему.
Допустим, что эта микросхема - аналог понятия множества, если понимать множество как контейнер элементов.
Допустим также, что получаемые простые числа - это ординалы. Так вот, какова бы ни была память вашего компьютера, рано или поздно ее не хватит для работы такого алгоритма. Иначе говоря, какое множество вы бы не взяли, его будет недостаточно, чтобы разместить в нем все ординалы.
Вы же предлагаете ввести понятие некого резинового множества (=микрочипа), которое может растягиваться в зависимости от работы компьютера.
Но это - уже совсем другое понятие. Это уже не чип, а файл подкачки, который может размещаться на потенциально бесконечном массиве, включающем неограниченное количество жестких дисков. И то, если уж продолжать аналогию до конца, всех атомов Вселенной будет недостаточно, чтобы с их помощью создать массив, в котором бы уместились все простые числа.
Мало того, Вы же еще пытаетесь тут фактор времени использовать, т.е. якобы множество может пухнуть со временем неограниченно. Но это просто уже за рамками математики! Любое множество в ZF, да и вообще во всей математике - это величина постоянная, не меняющаяся ни при каких условиях или желаниях человека. Переменны только переменные :) И то лишь в голове математика, ибо сама математика - это некий набор символов, игра в буквы и цифры. Если хотите что-то видеть в динамике, задавайте последовательность или, в общем случае, функцию. Тогда у Вас значения функции будут представлять это якобы меняющееся множество, хотя на самом деле, это будет просто ряд разных множеств, составляющих множество-функцию. А вся динамика происходит только в голове человека.

Инт в сообщении #336768 писал(а):

Почти не сомневаюсь, что Вы, например, верите в "нестандартные множества", ни одного конкретного примера которых привести нельзя. Просто потому, что верите авторитетам.

да я и в ZF не верю :) вера - понятие нематематическое. пожалуй, я верю в правила вывода, в логику.
а ZF - это одна из многих игр в символы. как можно верить в игру?
авторитет - это что такое?
если Коэн, например, собрал в своей монографии итоги многолетних трудов сотен математиков, да еще добавил свои результаты, то я верю в то, что в его монографии почти нет ошибок, разве что есть опечатки. и верю в то, что могу проверить любой из результатов этой книги. вера эта основывается на собственном опыте получения аналогичных результатов и на том, что я понимаю как формулировки результатов, так и все цепочки доказательств. понимаю - значит соотношу с готовыми фрагментами в моей собственной памяти.
ваши же выкладки местами я так и не смог сопоставить со своим опытом математических умозаключений.
впрочем, это уже психология, которая говорит нам, что если Вы хотите, чтобы Вас понимали, излагайте мысли на понятном языке и по его правилам.
иначе говоря, соблюдайте правила игры :)
пока все, что я видел, я не могу назвать исследованием множеств, скорее, это Ваши собственные не очень удачные попытки научиться играть в игру ZF.

ps. не знаю, удалось ли мне объяснить проблемы моего понимая Ваших текстов на Вашем языке :) Но это уже точно находится за гранью математики.

[Someone]

Инт в сообщении #336768 писал(а):

Как бы Вы не говорили, что "множества всех ординалов" не существует, очевидно, что оно существует. Хотя бы потому, что существуют все ординалы. Вот Вам пример "таинственного" потенциального множества, которое игнорируется логикой ZF.

Вы не правы. Совокупность всех ординалов (обычно используется термин "класс") не игнорируется в теории ZF. Если Вы хотите говорить о таких совокупностях, то язык ZF можно немного расширить так, что 1) в нём можно будет формулировать и доказывать утверждения о классах; 2) все утверждения о множествах, которые можно сформулировать и доказать в расширенном языке, так же можно сформулировать и доказать в исходном языке ZF (другими словами, это расширение консервативно). Однако считать класс ординалов множеством нельзя, так как мгновенно получается противоречие: если $X$ - любое множество ординалов, то $\bigcup X+1$ - ординал, который строго больше всех ординалов, входящих в $X$; если вместо $X$ сюда подставить "множество" всех ординалов, то немедленно получим ординал, который больше всех ординалов (в том числе, больше самого себя).
Либо, как написал rishelie, можно работать в теории GB, в которой классы являются основными объектами. В этой теории множества определяются как классы, которые являются элементами (других) классов: класс $X$ - множество, если существует такой класс $Y$, что $X\in Y$. Однако здесь также класс всех ординалов существует, но не является множеством.

Инт в сообщении #336768 писал(а):

Очевидно, это множество нельзя завершить. Хотя бы это есть основание к тому, чтобы подозревать, что существуют и другие потенциальные множества.

Ну, это философствования насчёт актуальной и потенциальной бесконечности. Это к математике отношения не имеет. Правда, конструктивисты толкуют о том, что у них, дескать, в отличие от классической математики, бесконечные множества не являются завершёнными объектами. Однако, если посмотреть, как они с этими бесконечными множествами работают, то никаких отличий обнаружить не удаётся. Отличия связаны с тем, что вместо классической логики используется интуиционистская, а в советской школе конструктивизма, кроме того, конструктивность понимается более ограниченно - как алгоритмическая вычислимость.

Вообще, Ваша идея множеств, расширяющихся со временем, весьма странна. Предположим, мне в рассуждениях потребовался некий очень большой ординал. Могу я его использовать или не могу? Это самое растущее множество всех ординалов уже доросло до него или ещё нет? И если ещё не доросло, то когда дорастёт? Через месяц или через сто лет? Мне доказательство теоремы придётся отложить до тех пор? А вдруг это множество никогда не дорастёт до нужного мне ординала?

[rishelie]

о, я кажется понял, что здесь под временем понимается - количество написанных исследователем символов :) чем дольше возишься с теоремой, тем больше нужное множество :) взяли "множество всех ординалов", объединили, и в этот момент оно и распухло, став само ординалом, затем прибавили единицу, оно опять распухло, включив в себя новый элемент :) и так далее. иначе говоря, "все ординалы" - это те, которые исследователь знал до того момента, как ему пришла идея построить их объединение :) прям квантовая механика какая-то. результат измерения зависит от процесса измерения.

[Droog_Andrey]

Просто не нужно путать существование правил, классифицирующих объекты, и существование классов объектов, на которые они подразделяются этими правилами.

Фишка в том, что понятие "все объекты" не может быть определено.