Полное решение континуум-проблемы

[rishelie]

Инт в сообщении #232977 писал(а):

С какой стати Ваши функции должны совпадать с моими. Ведь Вы же конкретный пример просили привести. Я и привёл. Какие должны быть функции $p_n$? Именно такие, чтобы при замене на эквивалентные оказались $p'_n$. Какие интервалы? Такие, какие получились. Вот здесь то и проявляется различие наших подходов. Мой - правильный, поскольку необходимо доказать свойства I и II для любых функций. Конкретные примеры это для любых не доказывают!

ну, во-первых, я просил рассмотреть пример, где $p_n(x)\equiv 1/n$, но раз вам хочется $p_n(x)=x/n$, ради бога, я не против. во-вторых, любое теоретическое построение принято иллюстрировать на примере. вы утверждаете, что "диагональная" функция строится с помощью замены $p_n$ на некие $p'_n$ и выбором произвольных интервалов $(x_n,x_{n+1})$. отсюда у меня и был вопрос - в данном конкретном примере какие вы выберете $p_n'$ и $x_n$? неужели это так сложно - применить собствнные построения на практике?
я ведь не прошу что-то доказывать с помощью примера
на примерах очень хорошо всегда проверять собственные соображения, и чем более разнообразные примеры, тем лучше понимаешь, что творишь. сколько раз бывало так, что в теории все кажется замечательно, а как начнешь придумывать каверзные примеры, выясняется, что напортачил, т.к. при построении общих рассуждений иногда упускаешь некоторые детали.

насчет того, что любой счетный ординал конфинален $\omega$, согласен, проверил. поэтому построения с помощью последовательностей можно осуществлять на всей шкале $\aleph_1$, вот выше уже будут проблемы, т.к. не всякий предельный ординал $\alpha>\aleph_1$ обязан быть конфинальным $\omega$.

[Инт]

rishelie в сообщении #232989 писал(а):

ну, во-первых, я просил рассмотреть пример, где $p_n(x)\equiv 1/n$...

Хорошо. Ваш пример рассмотрим так же. Надо немного времени на написание.

rishelie в сообщении #232989 писал(а):

насчет того, что любой счетный ординал конфинален $\omega$, согласен, проверил. поэтому построения с помощью последовательностей можно осуществлять на всей шкале $\aleph_1$, вот выше уже будут проблемы, т.к. не всякий предельный ординал $\alpha>\aleph_1$ обязан быть конфинальным $\omega$.

Да, но пока я в область несчётных ординалов не захожу. Мало того, считаем, пока, что мощность континуума не известна. Если бы мы могли продолжить последовательность функций как трансфинитную последовательность длины алеф-два, то тем самым уже опровергли бы континуум-гипотезу.

-- Ср авг 05, 2009 18:28:36 --

rishelie в сообщении #232899 писал(а):

Вот вам простой пример (проще нкуда). множество А содержит функцию $f\equiv 0$, множество Б содержит функции $f_n\equiv 1/n$. Как вы строите $q_\omega$, большую функции $f$ и меньшую всех функций $f_n$? замечу, что А и Б удовлетворяют условиям Следствия I, ибо все $f$ сравнимы между собой и А меньше Б для всех соответствующих пар функций из А и Б. Сразу скажу, что искомая $q_\omega$ существует, причем их можно найти очень много, континуум. Мне интересен ваш мыслительный процесс здесь.

Требуемый пример: Берём $x_n=1-1/n$. Составляем кусочно линейную функцию

$$r(x) = q_{\omega}(x) = \frac{\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}}{x_{n+1} - x_{n}}(x-x_n) + \frac{1}{n}$$

для $x \in [x_{n}, x_{n+1}]$, $n = 1, 2, ...$. Считаем, что $q_n = f_n = f'_n = q'_n$.

-- Ср авг 05, 2009 18:58:41 --

P.S. Если в основном тексте нажать кнопку [скачать], то текст появится как документ word на белом фоне обычным чёрным шрифтом.

-- Ср авг 05, 2009 20:14:27 --

Некий поясняющий вывод:

Пусть $q << p_{n+1} << p_{n}, x \to 1$. Пусть функции $q$ и $p_{n}$ будут достаточно сложными. Для некоторых $x$, например, будет верно $q(x) > p_{n}(x)$, а для некоторых других будет верно обратное неравенство. Аналогично, пусть для каких-то $x$ выполяется неравенство $p_{n}(x) > p_{m}(x)$, а для других $x$, пусть верно $p_{n}(x) < p_{m}(x)$. Как бы то ни было, всегда верно, что для всех достаточно больших $x < 1$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$. Тогда, очевидно, существует функция $p'_{1}$ эквивалетная функции $p_{1}$ и такая, что для всех $x < 1$ выполняется $q(x)< p'_{1}(x)$. Тогда, очевидно, $q << p_{n} << p'_{1}$ для всех $n > 1$. Предположим, что для натурального $m$ уже доказано существование функицй $p'_{n}$ таких, что $p'_{n}$ эквивалентна $p_{n}$ для $n < m$, и для всех $k \geqslant m$ оказывается поэтому $q << p_{k} << p'_{m-1}$, а для $n < m-1$ и для всех $x < 1$ верно $q(x) < p'_{n+1}(x) < p'_{n}(x)$. Тогда, очевидно, существует функция $p'_{m}$ эквивалетная $p_{m}$ и такая, что верно $q(x) < p'_{m}(x) < p'_{n}(x)$ для $n < m$. По индукции заключаем, что $p'_{m}$ существует при любом натуральном $m$. В итоге, существует последовательность $\{p'_{n}\}$ такая, что при любом натуральном $n$ и при любом $x < 1$ верно $q(x) < p'_{n+1}(x) < p'_{n}(x)$. Функции $q$ и $p'_{n}$ можно отобразить даже на функции $f$ и $f_n$ соответственно, указанные Вами, как множества на множества в результате непрерывной биекции декартовой плоскости на себя, сохраняющей прямые $x = const$ и, следовательно, отношение сравнения на функциях. Соответственно, существует и "диагональная функция" $r$, построенная по этим $p'_{n}$ так, как указывалось выше.

[rishelie]

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Да, но пока я в область несчётных ординалов не захожу. Мало того, считаем, пока, что мощность континуума не известна. Если бы мы могли продолжить последовательность функций как трансфинитную последовательность длины алеф-два, то тем самым уже опровергли бы континуум-гипотезу.

Упс.. а я думал, результат был заявлен именно как ее доказательство?

Инт в сообщении #233129 писал(а):

P.S. Если в основном тексте нажать кнопку [скачать], то текст появится как документ word на белом фоне обычным чёрным шрифтом.

странно, что Вы здесь пользуетесь ТеХом , а статью делаете в ворде
может, как-нибудь доберусь.. я об этом думаю по дороге на работу в метро и иногда днем и поздно вечером.
но пока у нас все свелось, в общем-то, к той же идее, на которой построены гипердействительные числа.

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Берём $x_n=1-1/n$. Составляем кусочно линейную функцию

$$r(x) = q_{\omega}(x) = \frac{\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}}{x_{n+1} - x_{n}}(x-x_n) + \frac{1}{n}$$

для $x \in [x_{n}, x_{n+1}]$, $n = 1, 2, ...$. Считаем, что $q_n = f_n = f'_n = q'_n$.

о, супер. при этом еще и получаем $r(x)=1-x$. А вообще там любая бесконечно малая подойдет в качестве вычитаемого из 1.
Только вот мне казалось, что $r$ должна совпадать на $n$-ом интервале с $q'_n$

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Пусть функции $q$ и $p_{n}$ будут достаточно сложными.

Например, такие?
$p_n(x)=(x/n)\sin^2(1/x)$
Они образуют монотонную последовательность на всем интервале $(0,1)$. Только сразу оговорюсь, что тут я имею ввиду сравнение вблизи нуля, а не единицы. Получаются такие бесконечно сжимающиеся положительные гармошки, сходящиеся в ноль. Забавно было бы на них потренироваться...

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Как бы то ни было, всегда верно, что для всех достаточно больших $x < 1$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$.

Вот это как раз сомнительно, т.к. с ростом $n$ длина интервалов сравнения между функциями может стремиться к нулю, и потом, какой бы мы $x$ ни взяли, он рано или поздно ыввалится из интервала сравнения при достаточно больших $n$. Вместо примера с синусами можно построить специальный набор функций такой, что максимальный интервал $(0,x_n)$, в котором $p_{n+1}<p_n$, будет укорачиваться с любой наперед заданной скоростью относительно $n$.

Но вернемся к синусам. Если мы в качестве $q(x)$ возьмем $-x$, то полагая $p'=p$, получим, что $p'(x)>q(x)$ для всех $x$. И тем не менее, остается ощущение, что для $p'$ нужны более жесткие условия. В идеале им бы придать монотонность, но в случае с синусами это невозможно, т.к. на любом сколь угодно малом интервале $(0,\varepsilon)$ этот синус делает счетное число колебаний.

Мне кажется, что мой пример с последовательностями $0$ и $f^{(k)}_n=2^{-k-n}$, бесконечно приближающимися к $q_n=2^{-n}$, снимает ряд конструктивных трудностей при построении и избавляет от возни с непрерывностью, особенно при переходе на предельных ординалах. Интересно, что для больших предельных ординалов $\alpha\in\aleph_1$ эти последовательности $f^{(\alpha)}$ уже невозможно записать формулой, т.к. поиск конфинального характера $\alpha$ неконструктивен.

При этом на КГ это не оказывает никакого влияния.

[conviso]

Цитата:

conviso в сообщении #232543 писал(а):
Уважаемый Инт , чтобы мне осмысленно, в моем понимании, отвечать "да - нет", я должен вполне отдавать себе отчет в том, о чем меня спрашивают.
Вроде бы не давал повода к тому, чтобы Вы подумали, что отосланы читать что-либо в грубой форме. Хотя Вам полезно. Прошу тогда конкретней указать в чём загвоздка. В определении континуума я думаю.

Уважаемый Инт, поверите ли, я с сожалею, что недостаток моего воспитания проявился на Форуме в таком виде, что вынудил Вас на подобное замечание мне.
Поверите ли, я Вам за это замечание благодарен.

Цитата:

Определим математический континуум так: это множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Элементы последовательности обозначаются как б, б =1 или б=0. Последовательности сравниваются в лексикографическом порядке.

После такого определения легко установить следующие свойства математического континуума:

(i)Между двумя элементами континуума всегда можно найти третий.

(К сожалению дельты у меня почему-то не копируются...)
Возможно я беспросветно туп, но я не понимаю, что здесь написано:"это множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Элементы последовательности обозначаются как б, б =1 или б=0."
Если "только 0 и 1" суть "элементы последовательности", то что между ними может быть найдено?
Если "элементы континуума"суть сами последовательности из этих "б-элементов",
то почему можно найти "третий" элемент? Ведь Вы же не задаете связи между этими "всеми последовательностями". Если бы Вы, например, стали их "всех" пересчитывать, пусть и бесконечно много последовательностей, как члены натурального ряда, то где бы Вы нашли место для выполнения Вашего предложения (i)?
Раз не так Вы задаете "множество всех бесконечных последовательностей", то Вы для их фактического перечисления используете что-то вроде "действительной прямой"..., которая будет областью изменения функции, подходящей для этого самого пересчета. Саму же прямую (область изменения) можно таким же способом (равномощным действительной прямой) препарировать на куски и сращивать эти куски (пусть и гладким образом) тоже "столько же "раз", как и в действительной прямой"... И кто здесь предел этому делу может положить...?
Но ведь свойства именно этой самой прямой Вы через слово "континуум" и хотите продемонстрировать?
Что-то на "круг" похоже...
Похоже, что я не смогу преодолеть "на веру" "естественность" перехода счета с конечного множества на счет "бесконечного" множества. Едва ли я смогу понять даже превращение трех отношений между двумя числами (больше, меньше, равно) в сохранение двух отношений (больше, меньше) + сращивание двух чисел в некий "один и тот же объект". Едва ли смогу принять и то, что в самой первой аксиоме "о равенстве" еще до всяких определений чисел упоминается слово "два" и "один".
Поверьте, я Вам искренне благодарен за Ваше участие.

[Someone]

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Для того, чтобы выразить аксиому как теорему канонической теории множеств, доказывается эквивалентная ей теорема.

Теорема 1. Пусть $\lambda$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, а $\mu$ пробегает или множество всех конечных и счётных ординалов, или только множество всех конечных ординалов. И пусть $\lambda$ и $\mu$нумеруют линии $l_{\lambda}$ и $m_{\mu}$ в множестве $HC$ так, что если $\lambda$, $\alpha$, $\mu$, $\beta$ – ординалы, $\lambda < \alpha$ и $\mu < \beta$, то $l_{\lambda}$ —< $l_{\alpha}$ —< $m_{\beta}$ —< $m_{\mu}$. Тогда, существует линия $k$, для которой $l_{\lambda}$ —< $k$ —< $m_{\mu}$ при любых $\lambda$ и $\mu$.

Из этой аксиомы, если её добавить к ZFC, действительно следует отрицание континуум-гипотезы. Ну и что? Таких аксиом можно придумать воз и маленькую тележку. Теоремой ZFC Ваша аксиома совершенно точно не является.

INT писал(а):

Свойство I. Любое не пустое и не более чем счётное множество точек базы ограничено слева и справа точками базы, не принадлежащими этому не более чем счётному множеству. Бесконечно удалённые элементы есть пределы несчётных последовательностей.

Свойство II. Пусть $L$ и $M$ - не пустые не более чем счётные множества, составленные из точек базы так, что все элементы $L$ меньше всех элементов $M$. Тогда, найдётся $q\in B$ который расположен строго между множествами $L$ и $M$, т.е. любой элемент из $L$ будет $<q$, а любой элемент из $M$ $>q$.

...

Утверждение 2. Пусть $S$ - непустое частично упорядоченное множество, обладающее свойствами I и II, и существуют два бесконечно удалённых элемента, не принадлежащих $S$, т.е. когда один из бесконечно удалённых элементов больше каждого элемента $S$, а второй - меньше каждого элемента $S$. Тогда, в $S$ можно выделить подмножество $A$, изоморфное множеству $B$.

Утверждение 2 выглядит сомнительным (контрпримера не имею). Охарактеризовать столь сложный порядок двумя такими простыми свойствами вряд ли возможно. И доказательство Вы не предъявили, несмотря на заявление, что в http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm имеются полные доказательства.

INT писал(а):

3.3. Сформулируем аксиому, которую далее естественно выдвинуть:

Аксиома I. Существует трансформация $W$, проводимая вдоль дуг $r=const<1$ над областью $D$, в результате которой, концы каждых двух линий $l$ и $m$, взятых в множестве $HQ$, разводятся на дуге $C$. При этом, если $l-<m$, то после трансформации (деформации) оказывается: $\mathop{\text{деф}}l-<\mathop{\text{деф}}m$ и $L<M$ ($L$ - конец линии $l$, $M$ - конец линии $m$); трансформированная область $D$ оказывается гомеоморфной открытой евклидовой области.

Ох уж зти Ваши трансформации... Это всё только наглядные образы в Вашей голове, которые Вы не умеете формализовать. Раз уж Вы начали использовать топологические методы, надо общую топологию поподробнее изучить, в особенности - методы построения расширений топологических пространств.

Как я понял, Вы хотите "приклеить" Вашу гиперпрямую к сектору вместо дуги $C$.
Предположим, что Теорема 1 (не та Теорема 1, которая сформулирована в Вашем первом сообщении и процитирована выше, а та, которая сформулирована в http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm) действительно верна, и на самом деле существует некое множество дуг $HQ$, подобное множеству $B$. Зафиксируем такое подобие $F\colon HQ\to B$.

Тогда окрестности элементов $S\in C_1$ определяются двумя элементами $P,Q\in B$, $P<Q$, и числом $\varepsilon>0$ как объединение интервала $(P,Q)\subseteq C_1$ и множества точек $(r,\varphi)$ сектора $D$, лежащих между дугами $F^{-1}P$ и $F^{-1}Q$ (там, где $F^{-1}P-<F^{-1}Q$) и удовлетворяющих условию $r>1-\varepsilon$.

При таком определении топологии каждая дуга $l\in HQ$ будет "оканчиваться" в соответствующей точке $L=Fl$, но именно здесь, видимо, находится Ваша главная ошибка. Вы, опираясь на геометричесую "очевидность", полагаете, что и для каждой точки гиперпрямой существует "оканчивающаяся" в ней дуга, и формулируете это в виде Аксиомы II. Доказательства Теоремы 7, которая должна оправдать эту аксиому, у Вас нет. Никакого "эффективного построения линии $k$" здесь не может быть, поскольку при $2^{\aleph_1}>2^{\aleph_0}$ Ваша "аксиома" заведомо неверна. Основным препятствием является несчётность необходимого построения (то обстоятельство, что многие построения легко осуществимы в счётном случае и невозможны в несчётном, академик П.С.Александров называл "паразитом счётности").

Ещё маленькое замечание.

INT писал(а):

Множество $C_1$ включает в себя подмножество, которое будем называть (гиперрациональной) базой. База обозначается, как $B$ и содержит все вышеупомянутые бесконечные выражения, суммирование в которых обрывается на конечном или счётном ординале. Это означает, что если $x$ принадлежит $B$ и равен $\pm n,d_1d_2\ldots d_{\omega}\ldots$, то для некоторого $\beta<\omega_1$ будет $d\beta=1$ и $\forall\alpha>\beta$ $d\alpha=0$, или же, сразу после запятой идут одни нули, но ординал $\nu$ не является предельным.

Что за "ординал $\nu$? Он нигде не встречался.
Здесь явно пропущен случай "гипердействительных чисел" вида $0,\underbrace{1010\ldots}_{\omega}0000\ldots$ и $0,\underbrace{1010\ldots}_{\omega}1111\ldots$. В связи с этим нуждается в редактировании и следующий текст, а также, вероятно, нужно проверить последующие рассуждения.

INT писал(а):

Точки базы являются аналогом рациональных точек действительной прямой. Точка из $B$ считается заданной двумя двоичными выражениями, подобно двоично-рациональным числам, и поэтому может считаться "гиперрациональной". Если в первой записи "гиперрационального числа $x$" после запятой встречаются как нули, так и единицы, то в записи, задающей "гиперчисло $x$" уже вторым способом, левее $\beta$-ого места нули и единицы стоят в прежнем порядке, однако, на $\beta$-м месте стоит нуль, а все остальные места, расположенные правее, занимают единицы. Если же, в первой записи сразу после запятой идут одни нули, т.е. она имеет вид $\pm n,000\ldots$ то вторая запись имеет вид $\pm n - 1, 111\ldots$, т.е. после запятой встречаются только единицы. Точки, не принадлежащие множеству $B$, представимы только одной записью.

[Инт]

Ответ rishelie

rishelie в сообщении #233186 писал(а):

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Пусть функции $q$ и $p_{n}$ будут достаточно сложными.

Например, такие? $p_n(x)=(x/n)\sin^2(1/x)$Они образуют монотонную последовательность на всем интервале $(0,1)$. Только сразу оговорюсь, что тут я имею ввиду сравнение вблизи нуля, а не единицы. Получаются такие бесконечно сжимающиеся положительные гармошки, сходящиеся в ноль. Забавно было бы на них потренироваться...

Эти "гармошки" не сравнимы. Так как совпадают на последовательности $x$-ов, сходящейся к нулю. На других "гармошках" потренироваться можно, но это довольно простая рутина. "Гармошки" вытягиваем в более хорошие функции, раз уж они окажутся сравнимыми, и далее употребляем прежнюю процедуру.

rishelie в сообщении #233186 писал(а):

Инт в сообщении #233129 писал(а):

Как бы то ни было, всегда верно, что для всех достаточно больших $x < 1$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$.

Вот это как раз сомнительно...

Это не может быть сомнительным, поскольку условие для всех достаточно больших $x < 1$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$ формулировалось именно как условие для проделываемых далее выводов, т.е. в равносильной ему форме $q(x) << p_{n+1} << p_{n}$.

rishelie всообщении #233186 писал(а):

При этом на КГ это не оказывает никакого влияния.

Согласен, не оказывает. Но пока за КГ мы ещё по-настоящему не взялись.

-- Чт авг 06, 2009 12:05:00 --

Ответ Someone

Someone в сообщении #233215 писал(а):

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б...

Из этой аксиомы, если её добавить к ZFC, действительно следует отрицание континуум-гипотезы. Ну и что? Таких аксиом можно придумать воз и маленькую тележку.

Уважаемый Someone насчёт "воза и тележки" это шапкозакидательство. Придумайте хотя бы одну аксиому, только Вашу, оригинальную, а не взятую от кого-нибудь. Кроме того, моя аксиома сильнее простого отрицания континуум-гипотезы. Проста ли она, сложная, неважно. Она разешает континуум-проблему по существу. В геометрическом варианте её вообще невозможно отрицать. Хорошая теория проходит две стадии (по Пуанкаре) первая стадия: теория нелепа и абсурдна, вторая стадия: теория тривиальна. Неужели переходим ко второй?

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Теоремой ZFC Ваша аксиома совершенно точно не является

Совершенно точно, что Вы не подумали, прежде чем написать эту фразу. Ваше утверждение ложно. Моя аксиома уж теоремой ZFC является точно.

-- Чт авг 06, 2009 12:28:45 --

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Утверждение 2 выглядит сомнительным (контрпримера не имею). Охарактеризовать столь сложный порядок двумя такими простыми свойствами вряд ли возможно. И доказательство Вы не предъявили, несмотря на заявление, что в http://sibmathnet.narod.ru/art_001.htm имеются полные доказательства.

Утверждение 2 настолько тривиально, что доказательства, сводящиееся к примитивному трансфинитному процессу сопоставления точек множеств $S$ и $B$ я опустил. Замените в свойствах I и II счётность не конечность и убедитесь, что столь сложный порядок после такой замены приводит к выделению в множестве $S$ подмножества изоморфного множеству рациональных чисел. Аналогично, когда в свойствах I и II стоит всё же счётность, то в $S$ выделяется множество гиперрациональных чисел $B$ весьма просто. Я не отказываюсь пояснять такие моменты, но хотелось бы их быстро проходить. Здесь я надеюсь, что читатели сходу их будут схватывать и обращать внимание на главные моменты.

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Ох уж эти Ваши трансформации....

Эмоции к делу отношения не имеют. Идею трансформаций прочитали математики самой высокой квалификации в теории множеств. Возражений не последовало. Математикам надо уметь не формализовывать что-то - это черезчур тривиально и ничего не решает - а уметь по существу разрешать задачи. Вы же поняли о чём речь? Этого достаточно. Многие научились говорить академическим языком, но толку от этого - никакого.

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Как я понял, Вы хотите "приклеить" Вашу гиперпрямую к сектору вместо дуги $C$.....

Я исследую то, что есть, без хотений. А гиперпрямая сама изящно приклеивается к указанной Вами дуге. Это просто математический факт. Кстати, замеченное Вами является, действительно, важным моментом, по делу. Я рад, что Вы дошли до этого пункта.

На остальное напишу ответ несколько позже.

-- Чт авг 06, 2009 12:54:01 --

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Доказательства Теоремы 7, которая должна оправдать эту аксиому, у Вас нет. Никакого "эффективного построения линии $k$" здесь не может быть, поскольку при $2^{\aleph_1}>2^{\aleph_0}$ Ваша "аксиома" заведомо неверна.

- Прямая ложь с Вашей стороны. Доказательство теоремы я привёл. А неравенство $2^{\aleph_1}>2^{\aleph_0}$ неверно и взято Вами из ниоткуда.

Someone в сообщении #233215 писал(а):

INT писал(а):

Множество $C_1$ включает в себя подмножество, которое будем называть (гиперрациональной) базой. База обозначается, как $B$ и содержит все вышеупомянутые бесконечные выражения, суммирование в которых обрывается на конечном или счётном ординале. Это означает, что если $x$ принадлежит $B$ и равен $\pm n,d_1d_2\ldots d_{\omega}\ldots$, то для некоторого $\beta<\omega_1$ будет $d\beta=1$ и $\forall\alpha>\beta$ $d\alpha=0$, или же, сразу после запятой идут одни нули, но ординал $\nu$ не является предельным.

Что за "ординал $\nu$? Он нигде не встречался.

А Вы скопировали ссылку неверно, или браузер другой берите, в оригинальном тексте стоит не $\pm n,d_1d_2\ldots d_{\omega}\ldots$, а $\pm \nu, \delta_1\delta_2\ldots \delta_{\omega}\ldots$

-- Чт авг 06, 2009 13:07:26 --

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Здесь явно пропущен случай "гипердействительных чисел" вида $0,\underbrace{1010\ldots}_{\omega}0000\ldots$ и $0,\underbrace{1010\ldots}_{\omega}1111\ldots$. В связи с этим нуждается в редактировании и следующий текст, а также, вероятно, нужно проверить последующие рассуждения...

Случай действительно важен. Но он не упущен, так как у меня говориться, что для некоторого $\beta$ должно быть $\delta_{\beta} = 1$ и для всех $\alpha > \beta$ должно быть $\delta_{\alpha} = 0$, т.е. должен существовать такой $\beta$, а этого в отмеченных Вами примерах нет.

Хочу отметить Someone, что Вы продвинулись в понимании текста успешнее всех участников, высказывающихся по теме.

-- Чт авг 06, 2009 13:27:22 --
Ответ conviso

conviso в сообщении #233191 писал(а):

Ведь Вы же не задаете связи между этими "всеми последовательностями"...

Задаю связь между последовательностями. Это лексикографический порядок. Можно проверить, что он является линейным порядком, т.е. любые два элемента сравнимы, один больше другого или равны, других вариантов нет. Из этого же порядка извлекается, что любая последовательность интервалов (несколько необычно, но интервал состоит из двоичных последовательностей. а каждая такая двоичная последовательность объявляется точкой) вложенных друг в друга имеет общую точку (общую двоичную последователность). Может быть спрошено почему такой объект, составленный из двоичных последовательностей, называется континуумом? Это из-за того, что существует некое естественное представление о континууме, и как минимум в этом естественном представлении наблюдаются некие свойства, без которых континуум не будет континуумом. Например, если пересечение вложенных интервалов не содержит общую точку, то в континууме - дырка, и тогда он никакой не континуум, т.е. не непрерывен. Если все такие естественные свойства выполняются на математической модели континуума (в качестве точек которого берутся двоичные последовательности), то такая модель объявляется истинным континуумом, т.е. собственно континуумом.

Уважаемый conviso. Поскольку в бои включились большие корабли, то Вы теперь как маленькое судёнышко может быть затёрты среди них. Это означает, что я, конечно буду стараться отвечать на Ваши вопросы, но вопросы других участников темы теперь для меня важнее, так что может такое оказаться, что я не буду уделять Вам достаточно внимания.

Чтобы набрать $\delta$, набирите: 1) \delta; 2) выделите мышкой эту \delta и нажмите кнопку [math]; 3) нажмите кнопку [отпавить]. Всё.

[rishelie]

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Эти "гармошки" не сравнимы. Так как совпадают на последовательности $x$-ов, сходящейся к нулю.

да, надо было вычесть из них $2^{-n}$. Впрочем, это действительно не так важно.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

"Гармошки" вытягиваем в более хорошие функции, раз уж они окажутся сравнимыми, и далее употребляем прежнюю процедуру.

Что будет, если растягивание придется применить счетно число раз? К тому же, их сколько ни растягивай, а монотонности им возле нуля это не прибавит Они все равно останутся гармошками.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

условие для всех достаточно больших $x < 1$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$

но это условие формально выглядит так:
существует $x_0<1$ такой, что для всех $x\in(x_0,1)$ выполняется $q(x) < p_{n+1}(x) < p_{n}(x)$.
если к тому же предположить, что оно верно и для любого $n$, то это означает сравнимость всех $p_n$ на одном и том же интервале!

если мы пишем: для любого $n$ существует $x_0$ такой, что ..., то $x_0$ для каждого неравенства $p_n(x)<p_{n+1}(x)$ свой собственный
если пишем: существует $x_0$ такое, что для любого $n$..., то у нас один и тот же интервал для всех сравнений.

[Инт]

Отвечаю быстро, так как надо убегать. Не означает, что функции сравнимы на одном и том же интервале. Можно считать, что для каждого конкретного $n$.

Применение растягивания счётное число раз вполне допустимо, если оно "сходится" в итоге. А другого способа и нет. Количество функций счётно.

-- Чт авг 06, 2009 17:25:00 --

Уточняю. Подразумевалось, что функции последовательности $p_n$ сравниваются между собой и функцией $q$ вообще говоря на разных интервалах, примыкающих к 1. Иными словами, тот $y$, для которого оказывается, что для всех $x \in [y, 1)$ верно $p_n(x) > p_m(x)$ или верно $p_n(x) > q(x)$ зависит от $n$ и $m$.

[rishelie]

Так теперь можно ваш главный тезис сформулировать в терминах непрерывных функций? А еще того лучше - в последовательностях. А то я там в этих линиях и деформациях ничего не могу понять. Пока читаешь текст, забываешь понятия, и наоборот.

[Инт]

Можно. Но в терминах линий удобнее формулировать геометрические аксиомы. Например, Аксиому III. А потом удобно проводить окончательные доказательства. Функции теория множеств отождествляет с графиками этих функций на декартовой плоскости. Линии располагаются на той же декартовой плоскости, и не хуже.

-- Чт авг 06, 2009 18:05:25 --

Деформации, о которых я пишу весьма необходимы. И они настолько просты, что понимать там почти нечего. Их суть в том, что с некоторой другой точки зрения представляется картинка в секторе $D$.

[nikov]

Инт в сообщении #222006 писал(а):

Цитата:

Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым.

Это из википедии. Интересно, кто-нибудь может пояснить.

Могу пояснить. Это я написал. Полностью цитата звучит так:

Цитата:

В 1940 году Курт Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZFC) аксиомы о непротиворечивости ZFC, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC; а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал в той же теории, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC. Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым.

Источником для этого утверждения служит книга Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза". Из нее хорошо видно, что Коэн доказывал независимость континуум гипотезы от аксиом ZFC в предположении непротиворечивости этой системы (при этом неизвестно доказательство непротиворечивости ZFC в ZFC, и как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, такое доказательство невозможно, если ZFC непротиворечива). Таким образом, доказательство Коэна проводится в расширенной системе, состоящей из аксиом ZFC + "ZFC непротиворечива". Эта одна из тех систем, которые Коэн называет естественными расширениями ZFC. На стр. 153 написано так:

Цитата:

Эти аксиомы служат примерами того, как мы можем естественным образом расширять аксиомы ZF, присоединяя интуитивно истинные суждения. Теорема о неполноте показывает нам, что один из способов расширения системы аксиом состоит в присоединении теоретико-числового суждения, выражающего непротиворечивость этой системы. Если выполнять такие расширения последовательно в виде трансфинитного процесса, это дает нам неограниченный запас новых аксиом.

Так как этот процесс расширения можно продолжать неограниченно (и при этом, по словам Коэна, получаются интуитивно истинные системы аксиом), нет никаких оснований предполагать, что в одном из таких расширений не обнаружится доказательство континуум-гипотезы (или ее отрицания).

[Инт]

Понял информацию.

[Инт]

Ещё раз про

rishelie в сообщении #233363 писал(а):

Так теперь можно ваш главный тезис сформулировать в терминах непрерывных функций? А еще того лучше - в последовательностях.

Вводим следующее отношение сравнения на функциях, отображающих натуральный ряд в натуральный ряд: Если $f$ и $g$ такие функции, то считаем $f << g$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n} \frac{f(n)}{g(n)} = 0$. Если предел $\frac{f(n)}{g(n)}$ есть не нулевое конечное число, то функции считаются эквивалентными. Тогда, для указанного множества функций верны свойства I и II.

С другой стороны, для последовательностей обычных действительных чисел можно ввести сравнение следующего рода: Пусть $\bar x$ и $\bar y$ - две последовательности действительных чисел, т.е. это функции от натурального аргумента. Тогда, считается, что $\bar x < \bar y$, если для всех достаточно больших $n$ оказывается $\bar x(n) < \bar y(n)$. Последовательности эквивалентны, если для всех достаточно больших $n$ верно $\bar x(n) = \bar y(n)$, хотя можно, и интереснее иногда, применять более грубое отношение эквивалентности. Такого рода последовательности интерпретируем как гипердействительные числа, с одной стороны, и как способы образования обычных действительных чисел, с другой стороны. Такие способы образования обычных действительных чисел можно складывать и умножать. Точнее: на их множестве выполнены все аксиомы поля действительных чисел, кроме аксиомы Ахимеда, в силу свойства II. В частности, два споcоба образования, способ $\bar x$ и способ $\bar x'$ для одного и того же действительного числа $x$, если составить между ними разность, дают не тождественный ноль, а гиперчисло $\bar \epsilon = \bar x - \bar x'$, которое в указанном порядке меньше, чем любое конечное число, т.е дают бесконечно малую, т.к. $\bar \epsilon$ есть способ образования нуля. В каком-то смысле $\bar \epsilon$ это актуально бесконечно малая величина, а в каком-то - потенциальная бесконечно малая. Можно считать, что обычные числа лежет среди гипердействительных, если под обычными понимать стационарные последовательности.

Среди гипердействительных чисел (синонимы: нестандартных чисел, неархмедовых чисел, существенных чисел) в данной интерпретации можно найти несравнимые. Например, последовательность на чётных номерах равная $+1$, а на нечётных $-1$ есть число $j$, которое не равно $1$, но квадрат $j$ равен $1$. Отсюда, например, можно построить ненулевые числа, которые являются делителями нуля. В самом деле, $(1-j)(1+j)=0$. Термин существенные числа (видимо, по аналогии с вещественными) использует Ревуженко. Он же указал этот и другие примеры чисел, не использующиеся в обычном анализе.

[Alexey Romanov]

Инт в сообщении #233654 писал(а):

Точнее: на их множестве выполнены все аксиомы поля действительных чисел, кроме аксиомы Ахимеда, в силу свойства II.

Инт в сообщении #233654 писал(а):

Среди гипердействительных чисел (синонимы: нестандартных чисел, неархмедовых чисел, существенных чисел) в данной интерпретации можно найти несравнимые.

Эти два утверждения противоречат друг другу. Поскольку не выполняется ни $j < 0$, ни $j = 0$, ни $j > 0$, то не выполняется аксиома $\forall x, y ~ x < y \vee x = y \vee x > y$.

[Инт]

Наверное надо сделать оговорку насчёт упорядочения поля. Можете считать, что в аксиомы поля аксиомы порядка не входят. Если же рассматривать только сравнимые числа, то вообще всё нормально.

-- Сб авг 08, 2009 15:18:19 --

Ещё добавлю к характеристике гипердействительных чисел: Бесконечный малый сдвиг $\bar \epsilon$ как актуальную величину можно интерпретировать как переопределение числа, т.е. как переход от способа определения $\bar x'$ для числа $x$ к способу определения $\bar x$ для этого же числа.