Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

Вобщем, я опять "поплыла" У меня это происходит каждый раз, когда я напряженно пытаюсь найти ответы в такой ситуации. Лучше помолчу дальше

[svv]

horda2501 в сообщении #1688065 писал(а):

Далее в первом уравнении системы после переноса правой части в левую получается $t^2+5t-6=0$. Его решения $-3$ и $-2$.

Неправильно нашли решения.

[wrest]

horda2501
У меня ошибка была.

Да, система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (x+y)^2+5x=6-5y \\ (x-y)^2+x=12+y \\ \end{array} $$

Имеет

horda2501 в сообщении #1688067 писал(а):

ответы из учебника.
$(-5;-1), (-1,5;-4,5), (-1,5;2,5), (2;-1)$

На этот раз в учебнике всё норм.

План решения тут простой
Сперва меняем $(x+y)=t$ в первом уравнении, находим два решения для $t$
Затем меняем $(x-y)=u$ во втором уравнении, находим ещё два решения $u$
Ну и из найденных четырёх решений находим четыре пары $(x,y)$

То есть у вас изначальная система распадается на четыре

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y=t_1 \\ x-y=u_1 \\ \end{array} $$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y=t_2 \\ x-y=u_1 \\ \end{array} $$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y=t_1 \\ x-y=u_2 \\ \end{array} $$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y=t_2 \\ x-y=u_2 \\ \end{array} $$

Графически это выглядит так:

Две синих линии -- это первое уравнение системы (то есть прямые $y=t_1-x$ и $y=t_2-x$) , a две зеленых -- второе (соответсвенно две прямые $y=x-u_1$ и $y=x-u_2$)
Четыре их пересечения -- четыре решения системы из условия задачи.

[horda2501]

svv в сообщении #1688070 писал(а):

horda2501 в сообщении #1688065 писал(а):

Далее в первом уравнении системы после переноса правой части в левую получается $t^2+5t-6=0$. Его решения $-3$ и $-2$.

Неправильно нашли решения.

Проверю чуть позже.

Уважаемый Wrest! Когда я стану такой же умной как и вы?

-- 29.05.2025, 20:39 --

Всё, справилась!

[svv]

Какие у Вас получились решения уравнения $t^2+5t-6=0$ ?

[horda2501]

Здравствуйте! У меня возникло недопонимание вот в каком моменте. Тема "Решение квадратных неравенств". Суть задания "Установите при каких значениях переменной определенно выражение". Изначальное выражение: $\sqrt{10-3b^2-b}$. Ранее я запомнила, что нужно стараться решать квадратные трёхчлены с положительным старшим коэффициентом. Поэтому умножила на $-1$ и решила. Ответ с учебником сошёлся: $-2\leqslant b \leqslant 1\frac{2}{3}$. Однако для решённого мною выражения график ведь получается с ветвями параболы вверх и "чаша" ниже оси абсцисс. Это же значит, что здесь значения отрицательные, что противоречит сути (корень не извлекается). Тем не менее, при изначальном выражении с $-3$ в качестве старшего коэффициента решение верное, так как "чаша" выше оси абсцисс. Как это понимать?

UPD: Кажется, поняла. В принципе данное выражение решается и с отрицательным старшим коэффициентом и нужно было решать именно его, так как такое преобразование как умножение на $-1$ для подкоренного выражение осуществлять нельзя. То есть, я попросту вырвала из подтекста этот трёхчлен. Я правильно всё поняла?

[Dedekind]

horda2501
Все правильно, там, где $(-1)\cdot (10-3b^2-b)$ отрицательно, $10-3b^2-b$ - положительно. А под корнем у Вас стоит именно последнее, а не первое.

-- 26.06.2025, 13:18 --

horda2501 в сообщении #1692363 писал(а):

так как такое преобразование как умножение на $-1$ для подкоренного выражение осуществлять нельзя

Можно, почему нет. Сами же видите, что ответы одинаковые в итоге выходят.

[horda2501]

Как решать неравенства в виде дроби, в которой квадратный трёхчлен в знаменателе? Например: $\frac{2}{15+x-2x^2}$.

(Могу сразу не ответить, так как не буду сегодня и завтра заниматься алгеброй, но эти примеры будут на следующем занятии, поэтому спрашиваю заранее ).

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1692397 писал(а):

Как решать неравенства в виде дроби, в которой квадратный трёхчлен в знаменателе? Например: $\frac{2}{15+x-2x^2}$.

"Например" - не неравенство.

В общем виде, нужно воспользоваться правилом (оно выводится из аксиом, но, имхо, проще запомнить):
1. Если неравенство умножается на положительное число, то знак неравенства не меняется.
2. Если неравенство умножается на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда ход решения:

1. Берем знаменатель (квадратный трехчлен из знаменателя), приравниваем его у нулю и решаем квадратное уравнение.
2. Зная, как ведет себя функция $f(x) = a x^2 + b x +c$, разбиваем числовую ось на множества:
а) где знаменатель положительный
б) где знаменатель отрицательный
в) где знаменатель равен нулю.

3. Далее решаем для каждого такого множества отдельно:
а) где знаменатель положительный: умножаем обе стороны неравенства на знаменатель, знак неравенства не меняется.
б) где знаменатель отрицательный: умножаем обе стороны неравенства на знаменатель, знак неравенства меняется.
в) где знаменатель равен нулю: одна из частей неравенства не имеет смысла, в ответ входить не может, так как не входит в область определения \ область допустимых значений.

4. В некоторых случаях, какие-то варианты можно сразу отбросить.
Например, пусть неравенство:
$\frac{2}{15+x-2x^2} < -2$

а) Левая часть меньше $2$, значит заведомо меньше $0$, то есть отрицательна.
б) числитель - положительная константа. Значит знак левой части совпадает со знаком знаменателя.
в) а раз так, можем рассматривать только такое множество $x$, на котором знаменатель отрицательный.

[EUgeneUS]

Продемонстрирую, как решается неравенство $\frac{2}{15+x-2x^2} < -2$

1. Двойки таскать лень, умножим обе части неравенства на $0.5$, получаем:

$\frac{1}{15+x-2x^2} < -1$

2. Приравняем знаменатель к нулю: $15+x-2x^2 = 0$
3. Решим квадратное уравнение (решили): $x \in \left\lbrace -2.5, 3 \right\rbrace$
4. Так как коэффициент при $x^2$ отрицатеьный, график функции $f(x) = 15+x-2x^2$ - парабола ветвями вниз.
5. Имеем три случая для левой части:
а) если $x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty)$, то левая часть неравенства меньше нуля.
б) если $x \in \left\lbrace -2.5, 3\right\rbrace$, то левая часть неравенства равна нулю.
в) если $x \in (-2.5, 3)$, то левая часть неравенства больше нуля.

6. Так как левая часть заведомо меньше нуля по условию (так как меньше $-1$), нас будет интересовать только случай 5а.

7. Умножаем обе части неравенства на знаменатель левой части, считая его отрицательным - поэтому должен измениться знак неравенства на противоположный:

$\frac{15+x-2x^2}{15+x-2x^2} > - 1 \cdot (15+x-2x^2)$

8. Сокращаем (так можно, потому что мы считаем знаменатель отрицательным, а значит не равным нулю).

$1 < 2x^2 -x - 15$

9. Прибавляем к обеим частям $-1$
$0 < 2x^2 -x - 16$ (**)

10. И снова решаем квадратное уравнение
$2x^2 -x - 16 = 0$


корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{129}}{4}, x_2 = \frac{1 + \sqrt{129}}{4}$

11. Теперь $g(x) = 2x^2 -x - 16$ - парабола ветвями вверх.
И решением неравенства (**) из пункта 9 будет отрезок: $x \in (\frac{1 - \sqrt{129}}{4}, \frac{1 + \sqrt{129}}{4})$

но это неполный\неверный ответ!
Нужно вспомнить, что мы решаем не на всей числовой прямой, а только на множестве, указанном в пункте 5а!

12. Учитываем это и получаем ответ:
$x \in (\frac{1 - \sqrt{129}}{4}, -2.5) \cup (3, \frac{1 + \sqrt{129}}{4})$

[Mihr]

Можно сделать проще. Переносим всё в левую часть неравенства (в правой при этом остаётся ноль), упрощаем левую часть: приводим всё к общему знаменателю, складываем полученные дроби. Полученное таким образом неравенство решаем методом интервалов. Получается заметно меньше действий и рассуждений, по-моему.

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1692430 писал(а):

Полученное таким образом неравенство решаем методом интервалов. Получается заметно меньше действий и рассуждений, по-моему.

Не думаю, что там будет меньше действий и рассуждений, если их расписывать также подробно.
Но так (методом интервалов), действительно, будет удобнее и нагляднее. Так как работа с интервалами будет в одной части решения, а не в разных, сильно разнесённых.

[horda2501]

В этом учебнике часто практикуется данный приём, не очень хороший, мне кажется. Перед тем как дать удобное решение, дают примеры к которым ученик просто не подготовлен ещё. Объяснений как решать такие вещи не было и очевидно, что большинство учеников сами не выйдут на нужный ход мысли (по крайней мере без ненужного в данном случае перенапряжения). А вот тема "Решение методом интервалов" как раз следующая.