Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

Кажется, поняла. Решение первого $x\in [-11;3], а при строгом $x\in (-11;3)$. Правильно?

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1692899 писал(а):

Правильно?

Да, конечно.

[horda2501]

Здравствуйте! В теме "Метод интервалов" столкнулась вот с таким примером.
$\frac{2}{(x-1)}-\frac{1}{(x+1)}+3\geqslant 0$

Ясно, что ОЗ $(x+1)(x-1)$. Далее получается: $\frac{(x+2)+3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$. Не понимаю, что нужно сделать для того, чтобы привести выражение к стандартному для решения неравенств виду, то есть, к набору множителей. Нужна помощь.

[Mihr]

horda2501 в сообщении #1694001 писал(а):

Далее получается: $\frac{(x+2)+3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

Нет, получается не так. Проверьте ещё раз.

horda2501 в сообщении #1694001 писал(а):

Не понимаю, что нужно сделать для того, чтобы привести выражение к стандартному для решения неравенств виду, то есть, к набору множителей.

Раскрыть в числителе скобки, привести подобные. Приравнять поочерёдно к нулю числитель и знаменатель. Решить полученные уравнения. Отметить на одной числовой прямой все нули числителя и все нули знаменателя. Расставить знаки рассматриваемого выражения (плюс или минус) на полученных промежутках.
Выписывать разложение на множители числителя не обязательно, но если хочется, можно записать так: $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a$ - старший коэффициент (коэффициент перед $x^2$), $x_1,x_2$ - корни соответствующего уравнения (того, которое получается при приравнивании к нулю числителя дроби).

[horda2501]

Да, действительно, числитель: $(x+3)+3(x-1)(x+1)$. Я в целом метод интервалов поняла. Не могу именно числитель разобрать. До этого все примеры были только с сочетаниями множителей. Находились значения X при которых эти множители давали бы равенство нулю для выражения. С такими примерами всё более-менее ясно. Этот уже из категории "более сложный" в параграфе идёт. Подразумевается какое-то нетривиальное решение в подтексте параграфа. Если не затруднит, объясните как именно работать с этим числителем для того, чтобы можно было найти все значения Х при которых всё выражение равно 0 будет? Разумеется, затруднение вызывает вот эта скобка слева, где (x+3).

[Dedekind]

horda2501
Так ведь сказали уже:

Mihr в сообщении #1694004 писал(а):

Раскрыть в числителе скобки, привести подобные.

[horda2501]

Кажется, поняла. Там получится квадратное уравнение просто, правильно?

[Dedekind]

horda2501
Да.

[horda2501]

Здравствуйте! Сейчас прохожу темы, связанные с решением дробных алгебраических неравенств. Не даёт покоя один момент. При решении методом интервалов предлагается брать за нужные значения переменных также и такие, в которых в знаменателе получается 0. Однако по принятому ранее правилу (не ясному по своей природе) на ноль делить нельзя.
Вот яркий пример: $\frac{x^2-36}{x}\leqslant 0$.
Если составить графическую модель и расставить знаки, то будет видно, что решения разные в зависимости от того, применяется ли 0 в качестве одного из решений или нет. Почему это противоречие имеет место быть и почему его отдельно не объясняют в учебнике как ни в чём ни бывало?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1695276 писал(а):

Если составить графическую модель и расставить знаки, то будет видно, что решения разные в зависимости от того, применяется ли 0 в качестве одного из решений или нет

Приведите пожалуйста эти разные решения, графическую модель, расставленные знаки -- посмотрим.

-- 24.07.2025, 16:33 --

horda2501 в сообщении #1695276 писал(а):

Однако по принятому ранее правилу (не ясному по своей природе) на ноль делить нельзя.

Это значит что значения переменной, зануляющие знаменатель, не входят в ОДЗ. В вашем случае такое значение одно, $x=0$. Соотаетственно, при $x=0$ получается левая часть $-36/0$ -- не положительна, не отрицательна и не равна нклю. Она просто не существует в нашей математической вселенной.
Что такое "ОДЗ" вы уже в курсе?

[horda2501]

ОДЗ - это область допустимых значений? Тут вопрос в том, почему вообще этот 0 используется на числовой прямой (как место пересечения графика выражения с абсциссой), если на 0 делить нельзя? Получается ведь противоречие этому правилу. Однако в природе (видим по графику) можно делить, если пересекаются. Это вызывает путаницу. Возможно, её нельзя разрешить на данном этапе.

[wrest]

horda2501
Продолжим когда ответите на первый вопрос:

wrest в сообщении #1695277 писал(а):

Приведите пожалуйста эти разные решения, графическую модель, расставленные знаки -- посмотрим.

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1695281 писал(а):

Тут вопрос в том, почему вообще этот 0 используется на числовой прямой

Потому что ноль - это часть числовой прямой. Такая точка на этой самой числовой прямой.

horda2501 в сообщении #1695281 писал(а):

(как место пересечения графика выражения с абсциссой)

Нет.
1. График функции $f(x)$ - это геометрическое место точек (или множество точек, что тоже самое в данном случае), удовлетворяющих равенству $y=f(x)$, где $(x,y)$ - координаты точки.
2. Пересечение с абсциссой - это означает, что $y=0$
В Вашем примере:

horda2501 в сообщении #1695276 писал(а):

$\frac{x^2-36}{x}\leqslant 0$.

пересечение графика с абсциссой происходит в точках $(-6,0)$ и $(6,0)$

И никаких проблем это не вызывает.

А вот пересечения с осью ординат (что означает $x=0$) графиком данной функции не происходит, да. Ноль не входит в ОДЗ.

[Someone]

horda2501 в сообщении #1695276 писал(а):

Однако по принятому ранее правилу (не ясному по своей природе) на ноль делить нельзя.

Природа данного "не ясного по своей природе правила" — мультипликативное свойство нуля: $a\cdot 0=0$ для любого числа $a$; а также определение деления: частное от деления числа $b$ на число $a$ — это такое число $x$, что $a\cdot x=b$. Что тут получится, если $a=0$?

horda2501 в сообщении #1695281 писал(а):

Тут вопрос в том, почему вообще этот 0 используется на числовой прямой (как место пересечения графика выражения с абсциссой)

Не с абсциссой, а с осью абсцисс. И где Вы там увидели пересечение с осью абсцисс? На графике точки с абсциссой $0$ нет. На оси абсцисс эта точка есть, а на графике — нет. Она же не входит в область определения неравенства.

horda2501 в сообщении #1695281 писал(а):

если на 0 делить нельзя?

А кто Вас заставляет делить на $0$? Точка $x=0$ в область определения неравенства не входит, поэтому никаких вычислений с этой точкой делать не требуется.

А Вы понимаете смысл метода интервалов? Почему он работает?

[provincialka]

Someone в сообщении #1695308 писал(а):

А Вы понимаете смысл метода интервалов? Почему он работает?

Так и хечется подсказать ТС. Чтобы расставить знаки функции на числовой прямой, надо найти точки, где эта функция может менять знак. А между точками этот знак постоянный.
Ну и где меняет знак дробь, отношение двух функций?