Множества и объекты

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520646 писал(а):

Чтобы быть уверенным, что число элементов совпадает с числом имен, к $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ должно быть приписано: "$a\ne b,a\ne c,\ldots, f\ne g$",

Примерно так, да.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520646 писал(а):

или $\forall x, y\in X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, x\ne y:\ \neg (x=y).$

Попробуем записать это правильно. Давайте называть элементы множества $X$ по позиции, потому что мы точно знаем, что натуральные числа разные. Что-то типа $\forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}, x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y$.

Вообще-то в математике эта запись широко известна и называется "отображение $\boldsymbol{7}\to X$ инъективно", где $\boldsymbol{7}$ - какое-нибудь множество, где уж точно $7$ элементов. А это по сути и есть определение кардинальности множества, то есть синоним записи $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$ (точнее, инъекция дает $\ge7$, для $=7$ нужна биекция, но сюръективность достаточно очевидна).

Итак, неожиданно выяснилось, что запись $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$ означает в точности $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение $R$ на множестве $X$, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении $R $ с самим собой.

Формально, отношение $R$ рефлексивно, если

$$\forall x\in X:\ (xRx).$$

(Википедия)

Цитата:

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества $X$, говорят, что отношение $R$ нерефлексивно. (Там же)

То есть отношение $R$ нерефлексивно, если

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \exists x\in X: (xRx) \\ \exists y\in X: \neg (yRy) \end{array} \right.$$

Если же

$$\forall x\in X: \neg (xRx),$$

то это антирефлексивность.

Я знаю несколько примеров антирефлексивности:

Цитата:

отношение неравенства (${\displaystyle \neq \;}$);
отношения строгого порядка:
отношение строгого неравенства (${\displaystyle <\;}$);
отношение строгого подмножества (${\displaystyle \subset }$);
отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве (Википедия)

но примеров нерефлексивности не смог найти ни одного. С натяжкой можно было бы предложить такой:

отношение параллельности на множестве прямых и кривых, при том, что параллельными могут считаются только прямые. Тогда каждая прямая параллельна себе, но ни одна кривая не параллельна себе, так как кривая вообще не может быть параллельна (какой-то линии).

Какие еще можно найти примеры нерефлексивности?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Где Вы увидели вот это

Vladimir Pliassov в сообщении #1520654 писал(а):

То есть отношение $R$ нерефлексивно, если

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \exists x\in X: (xRx) \\ \exists y\in X: \neg (yRy) \end{array} \right.$$

в этом тексте:

Vladimir Pliassov в сообщении #1520654 писал(а):

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества $X$, говорят, что отношение $R$ нерефлексивно. (Там же)

?

-- 31.05.2021, 18:02 --

А, понял.
В математике "ни для одного" - это частный случай "не для всех".
Формулировка "не для всех" не предполагает, что это должно быть справедливо хоть для какого-то $x$.
"Не для всех" - это просто отрицание "для всех".
Нерефлексивность - это просто отрицание рефлексивности.
Поэтому, антирефлексивность - частный случай нерефлексивности.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1520650 писал(а):

А это по сути и есть определение кардинальности множества, то есть синоним записи $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$.

Итак, неожиданно выяснилось, что запись $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$ означает в точности $a\ne b,a\ne c,\ldots,f\ne g$.

Спасибо! Значит, кардинальность (во всяком случае конечного) множества это число его элементов.

-- 31.05.2021, 18:23 --

Mikhail_K в сообщении #1520655 писал(а):

Нерефлексивность - это просто отрицание рефлексивности.

Значит, нерефлексивность записывается так:

$$\neg \forall x\in X:\ (xRx)?$$

[tolstopuz]

Тем не менее пример придумать несложно, $aRb$: $a$ бреет $b$.

[Vladimir Pliassov]

То есть: у нас есть такие, которые сами себя бреют (они с собой находятся в рефлексивном отношении), но не все: вот, например, $b$ сам себя не бреет, его бреет $a$, и еще вот этот -- ему только три года.

А из более традиционной математики?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1520650 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520646 писал(а):

или $\forall x, y\in X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, x\ne y:\ \neg (x=y).$

Попробуем записать это правильно. Давайте называть элементы множества $X$ по позиции, потому что мы точно знаем, что натуральные числа разные. Что-то типа $\forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}, x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y$.

Пытаюсь разобраться. Не понимаю, что значат $X_x$ и $X_y$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520673 писал(а):

Пытаюсь разобраться. Не понимаю, что значат $X_x$ и $X_y$.

$X_0$ - нулевой элемент в фигурных скобках (то есть $a$), $X_1$ - первый ($b$) и так далее.

[Vladimir Pliassov]

Кажется, понимаю:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}:\; \forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}, \;x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y, \; {X_x, X_y}\in X.$$

(Я-то думал, что $X_x$ это не элемент множества $X$, а само множество $X$, которое каким-то образом рассматривается "через призму" $x$, и аналогично $X_y$.)

Можно было бы написать:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}:\; x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y, \; x,y=\overline {0, 6}, \;{X_x, X_y}\in X.$$

tolstopuz в сообщении #1520650 писал(а):

Вообще-то в математике эта запись широко известна и называется "отображение $\boldsymbol{7}\to X$ инъективно", где $\boldsymbol{7}$ - какое-нибудь множество, где уж точно $7$ элементов. А это по сути и есть определение кардинальности множества, то есть синоним записи $|\{a,b,c,d,e,f,g\}|=7$ (точнее, инъекция дает $\ge7$, для $=7$ нужна биекция, но сюръективность достаточно очевидна).

Наверное, запись "отображение $\boldsymbol{7}\to X$ инъективно" употребляется в общем случае, то есть не только когда число имен элементов в множестве $X$ равно семи, но и когда оно больше (но не меньше) семи, иначе это была запись "отображение $\boldsymbol{7}\to X$ биективно". Правда, если число имен больше, чем число элементов, надо еще определить, какие имена лишние. Как это сделать?

А почему берется $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, а не $\{1,2,3,4,5,6,7\}$? Так ведь тоже можно было бы?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Для меня это тоже выглядит очень странно. Что это за "самое большое число", которое нужно поставить "после всех натуральных чисел"? Откуда Вы это взяли?

Это здесь: https://forany.xyz/a-344?pg=12#n19

Вам же рекомендовали эту бяку руками не трогать не читать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Он мог ведь и не быть ни элементом множества $X$, ни элементом множества $Y$

Это как-нибудь влияет на его имена? Имена придумываем мы сами, сообразуясь со своими потребностями.
Если же речь идёт о формальной теории, то там схема образования имён (они называются термами) заложена в синтаксис языка теории.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

он был просто прямой, или вектором, или орехом -- безотносительно к этим множествам, -- но так получилось, что ему пришлось стать и тем и другим, то есть выступить сразу в двух ролях: в роли элемента "$c$" множества $X$ и в роли элемента "$d$" множества $Y$.

Кроме того, он ещё является элементом "сто тыщ пиццот" множеств, которые Вы не упомянули. Более того, совокупность множеств, которым принадлежит этот пресловутый элемент, столь велика, что даже не является множеством. Как это влияет на его имена?

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Более того, после этого ему пришлось выступить также в роли элемента

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$).

Он первичен, а эти множества вторичны: он уже был, когда их еще не было. Я обозначил его $\lambda$, чтобы не идентифицировать его с этими его тремя ролями, а подчеркнуть его изначальную самостоятельность.

Это непонятно. Что значит "был" или "не были"? Попал или не попали с сферу ваших интересов? Элемент попал в сферу ваших интересов раньше, чем содержащие его множества? А если случится наоборот: некое множество окажется в сфере ваших интересов раньше, чем составляющие его элементы? Какое отношение это имеет к теории множеств?

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

какие объекты он имеет в виду -- элементы "$c$" и "$d$" множеств $X, Y$? Это ведь тоже объекты.

Строки "$c$" и "$d$" не являются элементами множеств $X$ и $Y$. Эти строки, конечно, являются объектами, но совершенно другой теории (метатеории).

(Почему вы называете $c$" и "$d$" строками?)

А чем же ещё мне их называть? Мы их пишем на бумаге (или на экране, или ещё где-нибудь.
Если же речь идёт о формальной теории, то для неё определён алфавит (набор символов), синтаксис (правило образования правильных строк; в частности, определены термы, которые являются именами объектов теории, и формулы, которые являются "утверждениями"), правила вывода (правила образования новых формул из имеющихся), аксиомы (набор формул, которые являются исходными для вывода новых формул). Теорема — это формула, а доказательство теоремы — это текст, то есть, последовательность строк, в которой каждая строка является формулой, причём, эта формула является либо аксиомой, либо ранее выведенной формулой, либо получается из предыдущих строк с помощью одного из правил вывода.
Если формула имеет такое доказательство, то она называется выводимой.
Понятие истинности появляется, если есть какая-нибудь интерпретация теории, то есть, каждому терму сопоставлен какой-нибудь объект, и как-то интерпретированы остальные элементы теории (отношения, функции, предикаты). В таком случае каждая формула может "выполняться" (тогда она считается истинной в данной интерпретации) или "не выполняться" (тогда она считается ложной).
Интерпретация называется моделью теории, если в ней все аксиомы являются истинными, а правила вывода преобразуют истинные формулы в истинные. Тогда все выводимые формулы являются истинными в данной модели, однако вполне могут быть истинные (в данной модели), но невыводимые формулы. Следовательно, все выводимые формулы истинны в любой модели.
Но это так, "на пальцах". Слишком серьёзно об этом не думайте, иначе Вы до своего Ленга никогда не доберётесь, да и до топологии тоже. Вообще, Вам следовало бы просто посмотреть минимальную информацию по тому примеру, который Вы увидели у Ленга, и двигаться дальше. А то от топологии плавно перешли к теории множеств, потом к математической логике… Этот путь бесконечен и к Ленгу не ведёт.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Ранее Вы написали:

Someone в сообщении #1520413 писал(а):

Возможно, Вам будет легче, если Вы поймёте, что "$c$" и "$d$" — это не сами объекты, а их имена.

Я не понял, почему вы говорите: "их имена", -- ведь это один объект с двумя именами, -- и стал строить предположения, какие объекты здесь Вы могли иметь в виду: может быть, элементы $c$" и "$d$" множеств $X, Y$ -- абстрагируясь от того, что они являются одним и тем же объектом?

Это была просто общая фраза, безотносительно к равенству $c=d$ или $c\neq d$. В любом случае, если некий объект $a$ принадлежит множеству $X$, то его имя существует вне рассматриваемой теории и потому никак не может принадлежать никакому множеству рассматриваемой теории. В частности, "$a$"$\notin X$ (кавычки означают, что то, что между ними заключено — строка символов).

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Главное, что я понял за эти несколько дней, это то, что множество не имеет повторяющихся элементов.

Это следует из аксиомы объёмности: множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы. Формальная запись: $X=Y$ означает, что $\forall t(t\in X\Longleftrightarrow t\in Y)$. По этой причине, если $a=b$, то $\{a,b\}=\{a\}=\{b\}=\{a,a\}=\{b,b\}$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

не только когда число имен элементов в множестве $X$ равно семи

Во множестве нет никаких имен элементов. Они есть в записи $\{a,b,c,d,e,f,g\}$, значением которой является некоторое множество, зависящее от значений переменных. Например, если $a=c=e=g=2$, $b=d=7$, $f=3$, то $X=\{2,3,7\}$. Но это не значит, что запись $X=\{2,7,2,7,2,3,2\}$ неверна. Она тоже верна, как и запись $X=\{2,7,2,2,3,3\}$. Просто $\{2,3,7\}$ - самая короткая и в некотором смысле удобная запись.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

Правда, если число имен больше, чем число элементов, надо еще определить, какие имена лишние. Как это сделать?

Так что этот вопрос не имеет смысла.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

А почему берется $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, а не $\{1,2,3,4,5,6,7\}$? Так ведь тоже можно было бы?

Конечно, можно. Я просто взял семь простейших объектов, про которые можно доказать, что они не равны попарно. Можно взять и $\{\text{``a'', ``b'', ``c'', ``d'', ``e'', ``f'', ``g''}\}$, если вначале добавить к символам теории латинский алфавит. Давайте все-таки для определенности считать с единицы, в математике такая традиция.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

Кажется, понимаю:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}:\; x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y, \; x,y=\overline {0, 6}, \;{X_x, X_y}\in X.$$

Не совсем. Я тут назвал одной буквой две вещи - множество $X$ и его конкретное представление в правой части.

Индекс в математике - это просто другое обозначение для вычисления функции. Где программист скажет "массив из $n$ целых чисел", математик скажет $\{1\cdots n\}\to\mathbf{Z}$.

Мы имеем последовательность из семи элементов, это функция $f: \{1\cdots 7\}\to U$, где $U$ - множество возможных значений наших переменных. Тогда $f_1=f(1)$ - просто первый элемент последовательности.

Потом мы делаем из них множество $X=\operatorname{Im}f$.

Теперь $|X|=|\operatorname{Im}f|\le|\{1\cdots 7\}|=7$, так что проверка того, что $|X|=7$, сводится к $|X|\ge7$, то есть к инъективности $f$.

Но мыслить так совершенно не нужно, достаточно интуитивно понимать, что $\{2,2,3\}=\{3,2,3,2\}$, и отличать имена переменных от их значений.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Он мог ведь и не быть ни элементом множества $X$, ни элементом множества $Y$

Это как-нибудь влияет на его имена? Имена придумываем мы сами, сообразуясь со своими потребностями.

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

он был просто прямой, или вектором, или орехом -- безотносительно к этим множествам, -- но так получилось, что ему пришлось стать и тем и другим, то есть выступить сразу в двух ролях: в роли элемента "$c$" множества $X$ и в роли элемента "$d$" множества $Y$.

Кроме того, он ещё является элементом "сто тыщ пиццот" множеств, которые Вы не упомянули. Более того, совокупность множеств, которым принадлежит этот пресловутый элемент, столь велика, что даже не является множеством. Как это влияет на его имена?

Здесь я не хотел сказать, что важно то, какие имена ему дали, или то, что ему дали какие-то имена. Я имел в виду совсем другое: то, что орех может быть одновременно и плодом, и элементом множества. Наверное, лучше было бы сказать так: "ему пришлось выступить в роли элемента множества $X$ и в роли элемента множества $Y$." В виде дополнительной информации можно было бы добавить, что в этих множествах ему дали имена, соответственно, "$c$" и "$d$", но можно было бы этого и не делать.

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Более того, после этого ему пришлось выступить также в роли элемента

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$).

Он первичен, а эти множества вторичны: он уже был, когда их еще не было. Я обозначил его $\lambda$, чтобы не идентифицировать его с этими его тремя ролями, а подчеркнуть его изначальную самостоятельность.

Это непонятно. Что значит "был" или "не были"? Попал или не попали с сферу ваших интересов? Элемент попал в сферу ваших интересов раньше, чем содержащие его множества? А если случится наоборот: некое множество окажется в сфере ваших интересов раньше, чем составляющие его элементы? Какое отношение это имеет к теории множеств?

Можно все полагать в неразрывной взаимосвязи, но вместе с тем у нас есть способность к абстрагированию: я имел в виду, что мы можем рассматривать орех безотносительно к тому, что он принадлежит некоторому множеству. В этом смысле "он первичен, а эти множества вторичны" и "он уже был, когда их еще не было".

Хотя мне кажется, я начинаю понимать: в теории множеств, в отличие от ботаники, орех не рассматривается безотносительно к тому, что он принадлежит некоторому множеству, в теорию множеств он может попасть только в качестве элемента множества, так же как вектор, функция или прямая, и смотреть на него не как на элемент, а как на что-то другое, можно только пока он еще не попал в эту теорию.

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

В любом случае, если некий объект $a$ принадлежит множеству $X$, то его имя существует вне рассматриваемой теории и потому никак не может принадлежать никакому множеству рассматриваемой теории. В частности, "$a$"$\notin X$ (кавычки означают, что то, что между ними заключено — строка символов).

Мне кажется, у Вас создалось впечатление, что я думаю, будто в качестве элемента множества в него может входить не только сам объект, но вместе с объектом и его имя как еще один элемент этого множества. Я так не думаю, если не считать какого-то особого случая, когда по условию элементом множества является не только сам объект, но и его имя (однако в таком случае этому имени надо дать какое-то имя, отличающееся от него самого, чтобы не спутать с объектом), то есть при этом имя объекта само рассматривается как некий объект. (А имя имени объекта в множество уже не входит.)

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520581 писал(а):

Главное, что я понял за эти несколько дней, это то, что множество не имеет повторяющихся элементов.

Это следует из аксиомы объёмности: множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы. Формальная запись: $X=Y$ означает, что $\forall t(t\in X\Longleftrightarrow t\in Y)$. По этой причине, если $a=b$, то $\{a,b\}=\{a\}=\{b\}=\{a,a\}=\{b,b\}$.

Это понятно.

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Но это так, "на пальцах". Слишком серьёзно об этом не думайте, иначе Вы до своего Ленга никогда не доберётесь, да и до топологии тоже. Вообще, Вам следовало бы просто посмотреть минимальную информацию по тому примеру, который Вы увидели у Ленга, и двигаться дальше. А то от топологии плавно перешли к теории множеств, потом к математической логике… Этот путь бесконечен и к Ленгу не ведёт.

Я сейчас приобретаю базовые знания, правда, по книге, которая называется "Топология" (в общем), но по самому ее началу, где, как сам автор (Келли) говорит, даются как раз базовые знания. Пока я их не освоил, дальше не иду. Сейчас занимаюсь отношениями: что это такое, какие они бывают, то есть элементарными вещами.

Без начальных понятий из теории множеств тоже ведь нельзя, и из логики.

Someone в сообщении #1520770 писал(а):

Вам же рекомендовали эту бяку руками не трогать не читать.

Я же не знал, что это бяка, пока Вы не сказали. Вообще, если кроме самых уважаемых учебников, ничего не читать, то тоже далеко не уйдешь, потому что, как я уже говорил, еще не было ни одного учебника, где мне все было бы понятно, так что приходится искать информацию везде, где только можно. Но если информация ложная, это довольно быстро выясняется, и это тоже может быть полезно, например, как в этом случае: увидел, что слова

Цитата:

Если после всех натуральных чисел поставить самое большое число

вызывают удивление не только у меня.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520439 писал(а):

Первый ординал — это $\varnothing$. Потом идет $1$. Следующий ординал — это $2$, потом $3$, и т. д. Дальше идет ординал "натуральные числа", который обозначают $\omega$. Если после всех натуральных чисел поставить самое большое число ...

На самом деле это просто вольность речи. Более строго это звучит примерно так: дополним упорядоченное множество натуральных чисел новым элементом, положив, что он больше любого натурального числа.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

не только когда число имен элементов в множестве $X$ равно семи

Во множестве нет никаких имен элементов. Они есть в записи $\{a,b,c,d,e,f,g\}$, значением которой является некоторое множество, зависящее от значений переменных.

Я имел в виду: "число имен элементов множества $X$" -- то есть не то, что имена элементов множества входят в множество в качестве его элементов, а то, сколько имеется в сумме всех имен всех элементов множества.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

Правда, если число имен больше, чем число элементов, надо еще определить, какие имена лишние. Как это сделать?

Так что этот вопрос не имеет смысла.

Должно быть, ввиду моей предыдущей реплики вопрос имеет смысл, но, наверное, ответ на него может даваться только в зависимости от конкретных обстоятельств.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520691 писал(а):

Кажется, понимаю:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}:\; x\ne y \Rightarrow X_x\ne X_y, \; x,y=\overline {0, 6}, \;{X_x, X_y}\in X.$$

Не совсем.

Что не так? То, что вместо $\forall x,y\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ я взял $x,y=\overline {0, 6}$? (Ведь то, что ${X_x, X_y}\in X$, верно?)

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Я тут назвал одной буквой две вещи - множество $X$ и его конкретное представление в правой части. Индекс в математике - это просто другое обозначение для вычисления функции. Где программист скажет "массив из $n$ целых чисел", математик скажет $\{1\cdots n\}\to\mathbf{Z}$.

$\{1\cdots n\}\to\mathbf{Z}$ это последовательность целых чисел.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Мы имеем последовательность из семи элементов, это функция $f: \{1\cdots 7\}\to U$,

$\{1\cdots 7\}\to U$ уже не обязательно последовательность целых чисел, так как $U=\{a,b,c,d,e,f,g\}$, а $a,b,c,d,e,f,g$ это не обязательно числа.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

где $U$ - множество возможных значений наших переменных.

Что вы называете переменными?

Это ведь не $a,b,c,d,e,f,g\in U$, верно? А $1,2,3,4,5,6,7$ разве можно назвать переменными? Может быть, вы имели в виду: "множество значений $f$ от $\alpha$, где $\alpha\in \{1\cdots 7\}$"? То есть переменная здесь одна -- $\alpha$.

Или это все же $a,b,c,d,e,f,g$? То есть под именами $a,b,c,d,e,f,g$ могут скрываться какие угодно объекты, то есть речь идет о переменных объектах.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Тогда $f_1=f(1)$ - просто первый элемент последовательности.

$f_1=f(1)=a$

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Потом мы делаем из них множество $X=\operatorname{Im}f$.

то есть называем $\operatorname{Im}f=U$ именем $X$.

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Теперь $|X|=|\operatorname{Im}f|\le|\{1\cdots 7\}|=7$, так что проверка того, что $|X|=7$, сводится к $|X|\ge7$, то есть к инъективности $f$.

то есть к проверке того, что никакие два из элементов множества $\{1\cdots 7\}$ не отображаются в один и тот же элемент множества $X$. Что же касается сюръективности, то в данном случае при наличии инъективности она неизбежна, поскольку в множестве $X$ нет ни одного элемента, который не был бы образом некоторого элемента множества $\{1\cdots 7\}$.

(В данном контексте термин "отображаются" употребим? Спрашиваю, потому что не всякая функция есть отображение, так что, может быть, для функции следовало бы употреблять не слово "отображаются", а какое-нибудь другое?)

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Но мыслить так совершенно не нужно, достаточно интуитивно понимать, что $\{2,2,3\}=\{3,2,3,2\}$, и отличать имена переменных от их значений.

Нет, я хотел бы мыслить именно так, а не только интуитивно понимать.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

сколько имеется в сумме всех имен всех элементов множества.

Я не понимаю смысла этой фразы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

(Ведь то, что ${X_x, X_y}\in X$, верно?)

Я в прошлом сообщении объяснил, что не так: если буквой $X$ обозначено множество, мне нельзя было писать $X_x$, это можно писать, только если $X$ - функция.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

$\{1\cdots n\}\to\mathbf{Z}$ это последовательность целых чисел.

Это последовательность из $n$ целых чисел, программист бы назвал ее массивом.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

так как $U=\{a,b,c,d,e,f,g\}$

Я этого не говорил. $U$ - это множество всех значений, которые могут принимать $a,b,c,d,e,f,g$. Как вы выразились, множество всех "каких угодно объектов". Может, вообще цветов или звезд.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

Или это все же $a,b,c,d,e,f,g$? То есть под именами $a,b,c,d,e,f,g$ могут скрываться какие угодно объекты, то есть речь идет о переменных объектах.

Вы занимались раньше какой-нибудь математикой, например, в школе? Что там называли переменными? Насколько я помню, как раз буквы, вместо которых могут быть подставлены значения. Это то, что вы называете именами.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

$f_1=f(1)=a$

Да. Я заменил вашу конструкцию $a,b,c,d,e,f,g$ на функцию $f$, оставив тот же смысл - последовательность из семи произвольных объектов. Фактически вместо семи переменных в выражении осталась одна, но теперь это переменная функция :)

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1520781 писал(а):

Потом мы делаем из них множество $X=\operatorname{Im}f$.

то есть называем $\operatorname{Im}f=U$ именем $X$.

Скорее всего, $\operatorname{Im}f\ne U$. См. выше.
Раньше вы брали семь переменных $a,b,c,d,e,f,g\in U$, составляли из них множество и называли его $X$. Теперь я беру одну функцию $f:\{1\cdots7\}\to U$ (другое обозначение $f:U^7$), беру ее образ и даю ему имя $X$. Смысл не меняется, потому что $\operatorname{Im}f=\{f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7\}$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520886 писал(а):

Что же касается сюръективности, то в данном случае при наличии инъективности она неизбежна

Отображение $f: \{1\cdots7\}\to U$ совершенно необязательно сюръективно, $U$ может быть любым. А вот его сужение $\tilde{f}:\{1\cdots7\}\to\operatorname{Im}f$, естественно, сюръективно, причем независимо от инъективности.