2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 03:57 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Vladimir Pliassov в сообщении #1520991 писал(а):
Ваша правда! А как написать, что $F$ инъективно?
$\forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne F_j$

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 04:08 


21/04/19
590
Эх, Вы меня опередили на несколько секунд, вот что я хотел послать:

$$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne F_j?$$

и тут пришло Ваше сообщение.

Правда, тут надо еще что-то дописать, наверное:

$$\{1,2,3,4,5,6,7\}\overset{F}{\to } X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne F_j?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 10:22 


21/05/16
4153
Аделаида
А теперь надо сказать, что это утверждение должно выполняться либо для всех таких $F$, либо ни для одного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 11:50 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Vladimir Pliassov в сообщении #1520993 писал(а):
$$\{1,2,3,4,5,6,7\}\overset{F}{\to } X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne F_j?$$
Давайте не упихивать все в одну строку и не использовать неопределенных букв. Выберите какую-нибудь одну букву, смысл которой можно объяснить без упоминания других, и напишите про нее. Потом возьмите следующую и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 12:09 


21/05/16
4153
Аделаида

(Переписанное утверждение, если что-то будет непонятно)

Пусть $Y=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Тогда утверждение $\exists F\colon Y\to X:\;\forall i,j\in Y\;i\ne j\to F(i)\ne F(j)$ эквивалентно утверждению $|X|=7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 12:45 
Аватара пользователя


23/12/18
265
kotenok gav в сообщении #1521019 писал(а):
$\forall F\colon Y\to X\;\forall i,j\in Y\;i\ne j\to F(i)\ne F(j)$

Это утверждение не верно ни при каком $X$, всегда можно взять за $F$ функцию-константу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 13:02 


21/05/16
4153
Аделаида
Да, действительно, не подумал. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 13:33 


21/04/19
590
tolstopuz в сообщении #1521017 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1520993 писал(а):
$$\{1,2,3,4,5,6,7\}\overset{F}{\to } X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, \; \forall i,j\in \{1,2,3,4,5,6,7\}, i\ne j \Rightarrow F_i\ne F_j?$$
Давайте не упихивать все в одну строку и не использовать неопределенных букв. Выберите какую-нибудь одну букву, смысл которой можно объяснить без упоминания других, и напишите про нее. Потом возьмите следующую и так далее.

1.

Вы имеете в виду одну из букв $a,b,c,d,e,f,g$, например, $a$? Тогда единственное, что я могу о ней сказать, это: $a\in X$, -- и то же самое о других: $a,b,c,d,e,f,g\in X$, -- но это ведь то же самое, что $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$?

2.

По-моему, kotenok gav хорошо написал:

kotenok gav в сообщении #1521019 писал(а):

(Переписанное утверждение, если что-то будет непонятно)

Пусть $Y=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Тогда утверждение $\exists F\colon Y\to X:\;\forall i,j\in Y\;i\ne j\to F(i)\ne F(j)$ эквивалентно утверждению $|X|=7$.

Только надо добавить: $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$.

-- 03.06.2021, 13:36 --

kotenok gav в сообщении #1521009 писал(а):
А теперь надо сказать, что это утверждение должно выполняться либо для всех таких $F$, либо ни для одного.

А как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 13:59 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Vladimir Pliassov в сообщении #1521032 писал(а):
Вы имеете в виду одну из букв $a,b,c,d,e,f,g$, например, $a$? Тогда единственное, что я могу о ней сказать, это: $a\in X$, -- и то же самое о других: $a,b,c,d,e,f,g\in X$, -- но это ведь то же самое, что $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$?
То есть вы находитесь в порочном круге и можете определить $a$ и $X$ только друг через друга. Это плохо.

Давайте опять начнем сначала и на этот раз попробуем описать производимые действия словами.

1. Берем произвольную семерку $a,b,c,d,e,f,g$.
2. Составляем из них множество $X$.
3. Теперь возвращаемся к исходной семерке и накладываем на нее условия на неповторяемость элементов.

Вы согласны с этим планом? Если да, попробуем формализовать его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 14:26 


21/04/19
590
Я, конечно, согласен, но у меня возникли некоторые вопросы относительно того, как понимать, что такое эта семерка, так что я на них задерживаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 14:27 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Давайте задержимся на первом элементе семерки и поймем, что такое $a$. У вас есть с этим проблемы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 14:33 


21/04/19
590
Я сейчас об этом думаю, и это может занять некоторое время, но постараюсь думать побыстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 17:40 


21/04/19
590
1.

Если бы мы могли помещать в фигурных скобках не знаки (например, буквы), которые обозначают объекты, а сами объекты!

К сожалению, это невозможно, но есть объекты, по обозначениям которых мы можем видеть, что это за объекты, то есть какой объект скрывается за данным обозначением.

Если поместить цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ в соответствующих упорядоченных сочетаниях в фигурные скобки вместе с сопутствующими знаками, такими как $+$ и $-$, то, как бы ни было выражено некоторое число: например, как $5$, или как $2+3$, или как $-8+13$, при любом выражении мы видим (или можем вычислить) какое это число.

Таким образом, с точки зрения опознавания, числа представляют собой идеальные объекты, имея их обозначения в фигурных скобках, мы как бы имеем там их самих.

Это не то, что когда в фигурных скобках стоят буквы, и мы не знаем, какой объект скрывается за какой буквой.

В случае с числами мы это знаем (конечно, если допустить называние обозначения чисел буквами).

2.

Давайте разделять понятия множества и записи множества (хотя здесь я, разумеется, призываю Вас делать то, что Вы и так делаете).

В выражении $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ в скобках стоит семь букв, но сколько элементов они означают? Как я теперь понимаю, тоже семь. Правда некоторые из них могут быть равны друг другу.

А раньше (то есть еще сегодня утром) я думал, что при $a=b=c$ в скобках стоит семь букв, но при этом они означают только пять элементов.

Пусть при $a=b=c=1, \; d=4,e=5, f=6, g=7$ (то есть элементами множества $X$ пусть будут натуральные числа, которые мы можем без проблем опознавать).

Я предлагаю, чтобы было правило, что запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ может заменяться на запись $\{1,1,1,4,5,6,7\}$, но не на запись $\{1,4,5,6,7\}$, то есть записи могут заменяться друг на друга, только если они содержат одинаковое число элементов.

Чтобы отличить равенство записей множеств от равенства самих множеств, давайте для равенства записей употреблять знак тождества $\equiv $ и называть это равенство тождеством, а для равенства множеств -- знак равенства $=$.

Тогда $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$ и $\{a,b,c,d,e,f,g\}\equiv \{1,1,1,4,5,6,7\}$, но

$\{1,1,1,4,5,6,7\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$ и $\{a,b,c,d,e,f,g\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$.

Нетождественные записи могут быть записями равных множеств.

3.

Так вот, как я теперь понимаю, если у нас есть произвольная семерка $a,b,c,d,e,f,g$, то у нас есть семь объектов, из которых некоторые могут быть равны друг другу, то есть представлять собой один и тот же объект, взятый несколько раз.

И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.

Цитата:
Мультимножество - это множество с повторяющимися элементами https://sci.house/diskretnaya-matematik ... 87700.html

Цитата:
Мультимножество -- модификация понятия множества, допускающая включение одного и того же элемента в совокупность по нескольку раз. (Википедия)

Так что в теории множеств все-таки имеются мультимножества, правда, они заменяются множествами, в которых из их элементов остаются только неповторяющиеся.

Но они в теории множеств есть, так как в ней есть выражение $\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$, которое включает в себя $\{1,1,1,4,5,6,7\}$.

Другое дело, что мультимножество и множество это не одно и то же. Как я уже написал в связи с нетождественностью записей:

$$\{1,1,1,4,5,6,7\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$$
(то есть последнее выражение можно применять не только к нетождественности записей, но и к нетождественности мультимножества и множества.) (Здесь $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ -- мультимножество, а $ \{1,4,5,6,7\}$ -- множество.)

При этом $\{1,1,1,4,5,6,7\}= \{1,4,5,6,7\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17734
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1521079 писал(а):
И запись $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например, $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$, то есть $\{1,1,1,4,5,6,7\}$ это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.
Вот объясняли-объясняли человеку, и опять двадцать пять.
Как я и подозревал в начале темы, это просто валяние дурака, то есть, троллинг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология, первое знакомство.
Сообщение03.06.2021, 18:24 


21/05/16
4153
Аделаида
Vladimir Pliassov в сообщении #1521032 писал(а):
Только надо добавить: $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$.

Да, надо, иначе получится утверждение $|X|\geq7$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 273 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group