Множества и объекты

[Vladimir Pliassov]

1.

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Значит ли это, что речь здесь идет о двух одинаковых объектах $c, d$?

Предположение. Нет, речь здесь идет не о двух одинаковых объектах $c, d$, а об одном и том же объекте $\lambda$, который является одновременно элементом $c$ множества $X$ и элементом $d$ множества $Y$.

Относительно $c$ и $d$ выражение $c=d$ значит здесь не "такой же", а "тот же самый", так что, если нет необходимости в противном, лучше заменить обозначение $c$ на $d$ или $d$ на $c$, тогда будет, скажем, $X=\{a, b, c\},\; Y=\{c, e, f, g\}$, из чего видно, что последний элемент из первых скобок и первый элемент из вторых скобок это один и тот же элемент.

Из этого видно также, что $X$ и $Y$ пересекаются в $c$.

Таким образом, не только одно множество не имеет двух одинаковых элементов, но и несколько множеств в совокупности их не имеют [то есть не имеют двух равных элементов, а имеют один и тот же элемент, в котором пересекаются -- если пересекаются].

Как я понимаю, в теории множеств -- в пределах, например, одной задачи -- вообще не может быть одинаковых элементов (если не считать того, что каждый элемент одинаков с самим собой).

2.

Если объединить $M$, то получим множество, элементами которого будут все элементы $X$ и $Y$, за исключением дублирующего элемента (пусть это будет $d$):

$$\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}.$$

Из элементов этого множества можно сконструировать некоторые множества и их совокупности (а также совокупности совокупностей и т.д.), например, совокупность $M$. При этом элемент $c$, в котором пересекаются $X, Y$, можно обозначить $c$ для множества $X$ и $d$ для множества $Y$ (но при этом надо помнить, что он останется одним элементом, а не раздвоится каким-то образом на два элемента $c$ и $d$).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
С трудом понял, о чём Вы здесь пишете. Даже вначале написал пост, что это у Вас какая-то дурная философия и с ней стоит завязывать.

Но наконец понял. Вы имеете в виду, что равенство $c=d$ означает, что объекты $c$ и $d$ не просто одинаковы, а это в точности один и тот же объект. Ну да, верно.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Относительно $c$ и $d$ выражение $c=d$ значит здесь не "такой же", а "тот же самый"

Ну да, так и есть.
Возможно, Вам будет легче, если Вы поймёте, что "$c$" и "$d$" — это не сами объекты, а их имена. Например, в арифметике "$2+3$" и "$5$" — это два имени одного и того же числа. Но ни в коем случае не сами числа. И равенство "$2+3=5$" означает, что "$2+3$" и "$5$" — имена одного и того же числа.
Одного и того же в том смысле, что если мы в любой формуле заменим одно имя на другое, то получится равносильная формула.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1520410 писал(а):

Вы имеете в виду, что равенство $c=d$ означает, что объекты $c$ и $d$ не просто одинаковы, а это в точности один и тот же объект. Ну да, верно.

Да, главное, что это один и тот же объект, я сомневался в этом, и рад, что Вы это подтвердили. Если точнее, то я имел в виду, что

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

речь здесь идет не о двух одинаковых объектах $c, d$,

из которых один является элементом множества $X$, а другой элементом множества $Y$,

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

а об одном и том же объекте $\lambda$, который является одновременно элементом $c$ множества $X$ и элементом $d$ множества $Y$.

Someone в сообщении #1520413 писал(а):

"$c$" и "$d$" — это не сами объекты, а их имена.

Вы имеете в виду, что "$c$" и "$d$" — это имена объектов, которые суть элементы соответственно множеств $X$ и $Y$?

Но если под объектом иметь в виду не элемент множества, а то, что выступает в роли этого элемента?

В ролях элементов "$c$" и "$d$" выступает один и тот же объект, который я обозначил $\lambda$ (этот объект может быть чем угодно: прямой, вектором, орехом, - а здесь он выступает в качестве элемента множеств $X, Y$, где получает имена соответственно "$c$" и "$d$" -- то есть те же имена, что и соответствующие элементы, -- а также множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$).

Someone в сообщении #1520413 писал(а):

Например, в арифметике "$2+3$" и "$5$" — это два имени одного и того же числа. Но ни в коем случае не сами числа. И равенство "$2+3=5$" означает, что "$2+3$" и "$5$" — имена одного и того же числа.
Одного и того же в том смысле, что если мы в любой формуле заменим одно имя на другое, то получится равносильная формула.

Это очень интересно. А что же такое число "$5$"?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

Вы имеете в виду, что "$c$" и "$d$" — это имена объектов, которые суть элементы соответственно множеств $X$ и $Y$?

Нет, я имею в виду, что мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами. Каким множествам принадлежат элементы, не играет никакой роли. Также мы можем не знать, относятся ли эти имена к одному и тому же объекту.
Например, в арифметике имена "$2+3$" и "$5$" обозначают некоторые числа. Тот факт, что это имена одного и того же числа, является некоторой теоремой арифметики, и пока мы её не доказали, мы не знаем, действительно ли это так.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

В ролях элементов "$c$" и "$d$" выступает один и тот же объект, который я обозначил $\lambda$

То есть, присвоили объекту ещё одно имя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

Это очень интересно. А что же такое число "$5$"?

Это, в некотором роде, бессмысленный вопрос. Число $5$ — это то самое число, которому мы присвоили имя "$5$". Оно является некоторой логической конструкцией, существующей в нашей психике.

Вопрос становится осмысленным, если у нас есть некоторая модель арифметики. Тогда мы можем выяснить, какой конкретно элемент этой модели сопоставлен числу $5$.

Возьмём, например, стандартную аксиоматику арифметики Пеано (с нулём). Тогда у нас есть константный символ "$0$", который обозначает число $0$, и функция "следующее число", которую я буду обозначать штрихом. Тогда число $1$ обозначается $0'$, число $2$ — $0''$, число $5$ — $0'''''$.

Мы можем рассмотреть, например, модель, в которой натуральное число $n$ отождествляется со строкой символов "$0'''\ldots''$", содержащей ровно $n$ штрихов (многоточие в этой записи является метасимволом и обозначает невыписанные штрихи). Тогда число $5$ является вот этой строкой символов с пятью штрихами.
Можем ввести записи чисел в двоичной системе счисления, и тогда число $5$ будет строкой символов $101$.
В теории множеств ZFC можно придумать много разных моделей арифметики Пеано, в том числе и нестандартных. Общепринятым является отождествление натуральных чисел с элементами минимального индуктивного множества, то есть, с конечными ординалами. Тогда у нас будет $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}$, $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, $4=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}$, $5=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}\}$, где $\varnothing=\{\}$ — пустое множество. Короче это выглядит так: $0=\varnothing$, $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}$, $3=\{0,1,2\}$, $4=\{0,1,2,3\}$, $5=\{0,1,2,3,4\}$.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Я уже пробовал читать об этом, хотя это сейчас для меня не приоритетное направление, но вот, например:

Цитата:

Первый ординал — это $\varnothing$. Потом идет $1$. Следующий ординал — это $2$, потом $3$, и т. д. Дальше идет ординал "натуральные числа", который обозначают $\omega$. Если после всех натуральных чисел поставить самое большое число ...

Для непосвященного последнее предложение странно.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

Вы имеете в виду, что "$c$" и "$d$" — это имена объектов, которые суть элементы соответственно множеств $X$ и $Y$?

Это просто буквы (но лучше было бы сказать символы). Это не сами элементы (в общем случае, если Вы не алфавит изучаете). Это могут быть яблоки, например, или бозоны. Или иная неведомая сущность. Но нам это не важно. Важно только то, что этих сущностей три (четыре). И мы можем установить биекцию между множеством из трёх различных букв латинского алфавита и рассматриваемым множеством. При этом, мы можем для разных множеств использовать одни и те же буквы (но так никто не делает - оооочень неудобно), и можем для одного множества использовать несколько наборов букв (так делают, но только по существенной необходимости).

-- 30.05.2021, 01:00 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1520439 писал(а):

Для непосвященного последнее предложение странно.

Это из Ленга или Кэлли цитата? Или это у кого-то третьего вместо азов постоянные скачки?

[Vladimir Pliassov]

Там дальше я написал еще:

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

Но если под объектом иметь в виду не элемент множества, а то, что выступает в роли этого элемента?

В ролях элементов "$c$" и "$d$" выступает один и тот же объект, который я обозначил $\lambda$ (этот объект может быть чем угодно: прямой, вектором, орехом, - а здесь он выступает в качестве элемента множеств $X, Y$, где получает имена соответственно "$c$" и "$d$" -- то есть те же имена, что и соответствующие элементы, -- а также множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$).

"$c$" и "$d$" это имена одного и того же объекта $\lambda$ (в котором пересекаются множества $X, Y$), а Someone написал:

Someone в сообщении #1520413 писал(а):

"$c$" и "$d$" — это не сами объекты, а их имена.

поэтому я и спросил, какие объекты он имеет в виду -- элементы "$c$" и "$d$" множеств $X, Y$? Это ведь тоже объекты.

Об ординалах это небольшое отступление, без этого тоже нельзя.

Someone в сообщении #1520428 писал(а):

Например, в арифметике имена "$2+5$" и "$5$" обозначают некоторые числа. Тот факт, что это имена одного и того же числа, является некоторой теоремой арифметики, и пока мы её не доказали, мы не знаем, действительно ли это так.

Вы хотите сказать, что эта теорема об именах чисел еще не доказана?

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1520428 писал(а):

Короче это выглядит так: $0=\varnothing$, $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}$, $3=\{0,1,2\}$, $4=\{0,1,2,3\}$, $5=\{0,1,2,3,4\}$.

А ещё короче это можно записать так: $0=\varnothing, 1=0\cup\{0\}, 2=1\cup\{1\}, 3=2\cup\{2\}, 4=3\cup\{3\}, 5=4\cup\{4\}$.

-- 30 май 2021, 17:41 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

Вы хотите сказать, что эта теорема об именах чисел еще не доказана?

Доказываю: $2+3=(1+1)+(1+1+1)=1+1+1+1+1=5$.

[Vladimir Pliassov]

То есть имелось в виду доказательство для каждого конкретного случая.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520439 писал(а):

Спасибо! Я уже пробовал читать об этом, хотя это сейчас для меня не приоритетное направление, но вот, например:

Цитата:

Первый ординал — это $\varnothing$. Потом идет $1$. Следующий ординал — это $2$, потом $3$, и т. д. Дальше идет ординал "натуральные числа", который обозначают $\omega$. Если после всех натуральных чисел поставить самое большое число ...

Для непосвященного последнее предложение странно.

Для меня это тоже выглядит очень странно. Что это за "самое большое число", которое нужно поставить "после всех натуральных чисел"? Откуда Вы это взяли?

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

Вы хотите сказать, что эта теорема об именах чисел еще не доказана?

В арифметике нет теорем об именах, там есть только теоремы о числах. Объектами арифметики являются натуральные числа, а не их имена. Разумеется, равенство $2+3=5$ в арифметике Пеано доказывается (прошу прощения, в моём сообщении была опечатка, которую я сейчас исправил). Имена являются объектами метатеории.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Значит ли это, что речь здесь идет о двух одинаковых объектах $c, d$?

Предположение. Нет, речь здесь идет не о двух одинаковых объектах $c, d$, а об одном и том же объекте $\lambda$, который является одновременно элементом $c$ множества $X$ и элементом $d$ множества $Y$.

Это неверное предположение. На самом деле мы имеем один объект, которому мы по какой-то причине присвоили два разных имени "$c$" и "$d$", и только что Вы придумали для него ещё одно имя "$\lambda$", так что теперь у нас $c=d=\lambda$. Смысл этого равенства состоит в том, что мы во всех формулах можем свободно заменять имена "$c$", "$d$" и "$\lambda$" друг на друга, не меняя смысла и логического значения формул. В частности, имеем полное право написать $X=\{a,b,d\}$ или $X=\{a,b,\lambda\}$. При этом множество $X$ во всех трёх случаях будет одно и то же.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

Но если под объектом иметь в виду не элемент множества, а то, что выступает в роли этого элемента?

Что значит "выступает в роли"? Если я говорю о числе $5$, то я имею в виду именно число $5$, а не нечто, "выступающее в роли числа $5$". И даже не строку "$5$", которая является одним из имён числа $5$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

В ролях элементов "$c$" и "$d$" выступает один и тот же объект, который я обозначил $\lambda$

Это просто один и тот же объект, и он выступает в роли самого себя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

а здесь он выступает в качестве элемента множеств $X, Y$, где получает имена соответственно "$c$" и "$d$" -- то есть те же имена, что и соответствующие элементы

Что за "соответствующие элементы"? Имя элемента не должно зависеть от того, в каком множестве он содержится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

а также множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$

По-моему, уже не третье, а четвёртое. Зачем размножать имена без необходимости? Вы хотите окончательно запутаться во всех этих многочисленных именах?

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

какие объекты он имеет в виду -- элементы "$c$" и "$d$" множеств $X, Y$? Это ведь тоже объекты.

Строки "$c$" и "$d$" не являются элементами множеств $X$ и $Y$. Эти строки, конечно, являются объектами, но совершенно другой теории (метатеории).

У меня сложилось впечатление, что Вы не понимаете разницу между объектом и его именем. Надеюсь, хотя бы разницу между самим собой и своим именем Вы понимаете…

[Sinoid]

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Что это за "самое большое число", которое нужно поставить "после всех натуральных чисел"? Откуда Вы это взяли?

Это одна из двух причин, по которым, насколько я понимаю, натуральное число $n$ определяется как мощность множества $\left\{ 0,\,1,\,2,\ldots,n-1\right\} $, а не как мощность множества $\left\{ 1,\,2,\ldots,n\right\} $: нужно, чтобы при определении натурального числа как мощности некоторого множества это натуральное число не принадлежало этому множеству.

(Оффтоп)

Может, выразился не совсем точно. Но это то, как мне видится.

-- 30.05.2021, 18:12 --

И точно так же $\aleph_{0}$ не будет принадлежать множеству натуральных чисел - множеству, уже построенному к моменту его ввода.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1520515 писал(а):

И точно так же $\aleph_{0}$ не будет принадлежать множеству натуральных чисел - множеству, уже построенному к моменту его ввода.

$\aleph_{0}$ и есть множество натуральных чисел (при вышеописанной схеме построения), поэтому множество натуральных чисел не может быть уже построено к моменту ввода $\aleph_{0}$.
И хотя "на пальцах" тут всё просто - индуктивно определили натуральные числа, затем определили множество натуральных чисел - но на самом деле для этого перехода требуется специальная аксиома бесконечности, без неё его сделать не получается.

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1520517 писал(а):

$\aleph_{0}$ и есть множество натуральных чисе

Нет, погодите, я изъясняюсь в рамках книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств" (с другим изложением пока незнаком). Так вот, там есть, к примеру такое место:

, из которого видно, что $\aleph_{0}$ - не множество, хотя бы потому, что в данной книге не определено сложение множеств. Нет, оно определено, но в связи с другим, не с этим.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1520519 писал(а):

из которого видно, что $\aleph_{0}$ - не множество

Ну, здесь дело обстоит так же, как с числами. Можно сказать, что $3$ - это не множество, а число - и если нам не нужно определять, что такое натуральное число, если мы считаем это понятие интуитивно ясным и этого нам достаточно, то мы так и можем дальше говорить. Если же хочется натуральные числа определить, то можно это сделать по описанной выше схеме; так, по ней будет $3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$. Так и с $\aleph_0$. Можно ввести понятие множеств одинаковой мощности (для которых найдётся взаимно однозначное отображение одного на другое), а потом сказать, что множествам, равномощным множеству натуральных чисел, мы припишем мощность $\aleph_0$. Но отсюда непонятно, что это за объект - мощность - здесь определено лишь, что такое множества одинаковой мощности. И можно на это закрыть глаза, но если хочется чтобы всё было строго, придётся $\aleph_0$ определять как множество (и оно будет совпадать с множеством натуральных чисел, включая нуль), просто потому, что теория множеств не допускает вообще никаких объектов, кроме множеств.