Множества и объекты

[Sinoid]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1520520 писал(а):

Sinoid в сообщении #1520519

писал(а):
из которого видно, что $\aleph_{0}$ - не множество

Ну, здесь дело обстоит так же, как с числами. Можно сказать, что $3$ - это не множество, а число - и если нам не нужно определять, что такое натуральное число, если мы считаем это понятие интуитивно ясным и этого нам достаточно, то мы так и можем дальше говорить. Если же хочется натуральные числа определить, то можно это сделать по описанной выше схеме; так, по ней будет $3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$. Так и с $\aleph_0$. Можно ввести понятие множеств одинаковой мощности (для которых найдётся взаимно однозначное отображение одного на другое), а потом сказать, что множествам, равномощным множеству натуральных чисел, мы припишем мощность $\aleph_0$. Но отсюда непонятно, что это за объект - мощность - здесь определено лишь, что такое множества одинаковой мощности. И можно на это закрыть глаза, но если хочется чтобы всё было строго, придётся $\aleph_0$ определять как множество (и оно будет совпадать с множеством натуральных чисел, включая нуль), просто потому, что теория множеств не допускает вообще никаких объектов, кроме множеств.

А у Верещагина, Шена же $\aleph_0$ - не мнжество?

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1520544 писал(а):

А у Верещагина, Шена же $\aleph_0$ - не мнжество?

Вы имеете в виду книгу "Начала теории множеств"? Посмотрел её. Ну, там просто нет строгого определения $\aleph_0$ и вообще понятия мощности. И об этом прямым текстом сказано в конце параграфа 1.5:

Цитата:

Заметим, что мы уже долго говорим о сравнении мощностей, но воздерживаемся от упоминания «мощности множества» как самостоятельного объекта, а только сравниваем мощности разных множеств. В принципе можно было бы определить мощность множества $A$ как класс всех множеств, равномощных $A$. Такие классы для множеств $A$ и $B$ совпадают в том и только том случае, когда $A$ и $B$ равномощны, так что слова «имеют равную мощность» приобрели бы буквальный смысл. Проблема тут в том, что таких множеств (равномощных множеству $A$) слишком много, поскольку всё на свете может быть их элементами. Их насколько много, что образовать из них множество затруднительно, это может привести к парадоксам (см. раздел 1.6, с. 33).

Из этой ситуации есть несколько выходов. Самый простой - по-прежнему говорить только о сравнении мощностей, но не о самих мощностях. Можно также ввести понятие «класса» - такой большой совокупности объектов, что её уже нельзя считать элементом других совокупностей («если вы понимаете, о чём я тут толкую» - добавила бы Сова из книжки о Винни-Пухе), и считать мощностью множества $A$ класс всех множеств, равномощных $A$. Ещё один выход - для каждого $A$ выбрать некоторое «стандартное» множество, равномощное $A$, и назвать его мощностью множества $A$. Обычно в качестве стандартного множества берут минимальный ординал, равномощный $A$, - но это построение уже требует более формального (аксиоматического) построения теории множеств. <...> Так или иначе, мы будем употреблять обозначение $|A|$ для мощности множества $A$ хотя бы как вольность речи

Именно последний выход я и имел в виду. Если хочется строго определить мощность, в частности $\aleph_0$, приходится определять её как множество или как класс. Удобнее всего определить как множество. Но можно закрыть глаза на этот вопрос и вообще никак строго не определять, положиться на интуитивное понимание. Что и делается и в этой книге, и во многих других.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1520515 писал(а):

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Что это за "самое большое число", которое нужно поставить "после всех натуральных чисел"? Откуда Вы это взяли?

Это одна из двух причин, по которым, насколько я понимаю, натуральное число $n$ определяется как мощность множества $\left\{ 0,\,1,\,2,\ldots,n-1\right\} $, а не как мощность множества $\left\{ 1,\,2,\ldots,n\right\} $: нужно, чтобы при определении натурального числа как мощности некоторого множества это натуральное число не принадлежало этому множеству.

Не вижу никакой связи между таким определением натуральных чисел и мифическим "самым большим числом", которое к тому же "после всех натуральных чисел".

Mikhail_K в сообщении #1520552 писал(а):

Именно последний выход я и имел в виду. Если хочется строго определить мощность, в частности $\aleph_0$, приходится определять её как множество или как класс. Удобнее всего определить как множество. Но можно закрыть глаза на этот вопрос и вообще никак строго не определять, положиться на интуитивное понимание. Что и делается и в этой книге, и во многих других.

В общем, так дело и обстоит. На начальной стадии изучения действительно можно обойтись интуитивным представлении о мощности как некоем общем свойстве (кардинале, кардинальном числе) всех равномощных множеств (фактически свойства — это классы). Однако потом хочется иметь для каждой мощности некое эталонное множество. Например, для счётной мощности таким эталоном может быть натуральный ряд, для континуальной — множество действительных чисел, для конечных — начальные отрезки натурального ряда (включая пустой отрезок для нулевой мощности).
Можно расширить идею натуральных чисел на ординалы, которые являются вполне упорядоченными множествами. Конечные ординалы отождествляются с натуральными числами. Среди бесконечных ординалов выделяются так называемые начальные — это бесконечные ординалы, мощность которых больше мощности любого меньшего ординала. Первый бесконечный ординал обозначается $\omega_0$ (индекс "$0$" часто не пишут), фактически это натуральный ряд. Первый несчётный ординал обозначается $\omega_1$, первый ординал, мощность которого больше мощности ординала $\omega_1$, обозначается $\omega_2$, и так далее по всем ординалам.
Мощности бесконечных вполне упорядоченных множеств называются алефами, и алефы находятся во взаимно однозначном соответствии с начальными ординалами: $\lvert\omega_{\alpha}\rvert=\aleph_{\alpha}$ для любого ординала $\alpha$. Так что для вполне упорядоченных множеств эталонными множествами могут быть начальные ординалы, и иногда вместо $\aleph_{\alpha}$ пишут $\omega_{\alpha}$.
Если мы принимаем аксиому выбора, то каждое множество может быть вполне упорядочено, и проблем нет. Но надо сказать, что указать место континуальной мощности в ряду алефов без дополнительных аксиом невозможно. Известно только, что континуум нельзя представить как сумму счётного множества меньших алефов.
Если же аксиомы выбора у нас нет, то теория кардинальных чисел становится весьма запутанной. Мощность множества, которое нельзя вполне упорядочить, не является алефом. Множество действительных чисел может оказаться объединением счётного множества своих счётных подмножеств, с соответствующими последствиями для континуума, который, однако, остаётся несчётным. В этих условиях выбор эталона для каждого кардинала без дополнительных аксиом становится неосуществимым.
По этому пути пошли К. Куратовский и А. Мостовский в своей книге "Теория множеств". Аксиому выбора они используют, но тщательно следят за её применением и отмечают специальным значком каждое утверждение, доказанное с помощью аксиомы выбора. (По непонятной причине они полностью отказались от использования аксиомы регулярности, написав при этом, что безусловно считают её истинной.) Чтобы определить эталонное множество для каждой мощности, они вводят понятие реляционной системы и её реляционного типа, и формулируют специальную аксиому реляционных типов, которая и позволяет им определить кардинальное число множества $X$ как реляционный тип реляционной системы $(X,X\times X)$.
У меня это вызывает некоторое недоумение, поскольку аксиома реляционных типов состоит в том, что для каждой реляционной системы вида $X,R$, где $X$ — множество, а $R$ — бинарное отношение на множестве $X$, существует единственный объект, который является реляционным типом этой реляционной системы. Что это за объект, остаётся совершенно непонятным. Ясно только, что это какое-то множество, поскольку никаких других объектов нет.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1520572 писал(а):

Не вижу никакой связи между таким определением натуральных чисел и мифическим "самым большим числом", которое к тому же "после всех натуральных чисел".

Ну, как же? Наивно говоря, тут получается та же самая аналогия: "самое большое число" не принадлежит множеству натуральных чисел, только не нужно делать второй шаг в рассуждениях...

[Someone]

Sinoid в сообщении #1520574 писал(а):

Наивно говоря, тут получается та же самая аналогия: "самое большое число" не принадлежит множеству натуральных чисел

Нет никакой аналогии, потому что нет никакого "самого большого числа".

[Vladimir Pliassov]

1.

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Для меня это тоже выглядит очень странно. Что это за "самое большое число", которое нужно поставить "после всех натуральных чисел"? Откуда Вы это взяли?

Это здесь: https://forany.xyz/a-344?pg=12#n19

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

В ролях элементов "$c$" и "$d$" выступает один и тот же объект, который я обозначил $\lambda$

Это просто один и тот же объект, и он выступает в роли самого себя.

Он мог ведь и не быть ни элементом множества $X$, ни элементом множества $Y$, он был просто прямой, или вектором, или орехом -- безотносительно к этим множествам, -- но так получилось, что ему пришлось стать и тем и другим, то есть выступить сразу в двух ролях: в роли элемента "$c$" множества $X$ и в роли элемента "$d$" множества $Y$. Более того, после этого ему пришлось выступить также в роли элемента

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

множества $\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}$, где ему, кстати, можно было бы дать третье имя, например, $m$, чтобы показать, что он является элементом еще одного множества, тогда было бы $\{a, b, m, e, f, g\}$).

Он первичен, а эти множества вторичны: он уже был, когда их еще не было. Я обозначил его $\lambda$, чтобы не идентифицировать его с этими его тремя ролями, а подчеркнуть его изначальную самостоятельность.

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520417 писал(а):

а здесь он выступает в качестве элемента множеств $X, Y$, где получает имена соответственно "$c$" и "$d$" -- то есть те же имена, что и соответствующие элементы

Что за "соответствующие элементы"?

Возьмем множество $X=\{a, b, c\}$. Мы знаем о нем только то, что оно состоит из трех элементов, которые называются $a, b, c$. Теперь наполним представление о нем более конкретным содержанием: пусть $a$ будет монета, $b$ -- кубик, $c$ -- орех. То есть орех выступает в качестве элемента $c$ множества $X$, где получает имя "$c$".

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Имя элемента не должно зависеть от того, в каком множестве он содержится.

Имя может даваться произвольно, это знак, который может быть чем угодно, лишь бы было договорено, какой объект с ним связывают. Но иногда бывает целесообразно давать имя в зависимости от чего-то, например, элементы множества $X$ часто называют $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Someone в сообщении #1520496 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1520448 писал(а):

какие объекты он имеет в виду -- элементы "$c$" и "$d$" множеств $X, Y$? Это ведь тоже объекты.

Строки "$c$" и "$d$" не являются элементами множеств $X$ и $Y$. Эти строки, конечно, являются объектами, но совершенно другой теории (метатеории).

(Почему вы называете $c$" и "$d$" строками?)

Ранее Вы написали:

Someone в сообщении #1520413 писал(а):

Возможно, Вам будет легче, если Вы поймёте, что "$c$" и "$d$" — это не сами объекты, а их имена.

Я не понял, почему вы говорите: "их имена", -- ведь это один объект с двумя именами, -- и стал строить предположения, какие объекты здесь Вы могли иметь в виду: может быть, элементы $c$" и "$d$" множеств $X, Y$ -- абстрагируясь от того, что они являются одним и тем же объектом?

2.

Главное, что я понял за эти несколько дней, это то, что множество не имеет повторяющихся элементов.

Вот это слово "повторяющиеся" мне почему-то не приходило, я писал: "одинаковые", "равные", -- но надо было говорить "повторяющиеся элементы" - их нет в множестве.

А также то, что и в объединении совокупности множеств нет повторяющихся элементов, потому что она представляет собой множество.

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Если объединить эту совокупность, то получится множество не из семи, а только из шести элементов, потому что $c$ и $d$ повторяются.

Другими словами, их только шесть, потому что множества $X, Y$ пересекаются в их общем элементе, который в множестве $X$ называется $c$, а в множестве $Y$ -- $d$, то есть в некотором элементе объединения совокупности $M$.

Число элементов объединения совокупности множеств равно числу всех элементов всех множеств этой совокупности минус число повторений, мы видим это здесь:

$$\bigcup M=X\cup Y=\{a, b, c, e, f, g\}.$$

[tolstopuz]

А еще может оказаться, что $X=\{a,b,c\}$ и при этом $a=c$...

[Vladimir Pliassov]

Да, правильно, это я забыл написать.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1520519 писал(а):

я изъясняюсь в рамках книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств" (с другим изложением пока незнаком). Так вот, там есть, к примеру такое место:

, из которого видно, что $\aleph_{0}$ - не множество, хотя бы потому, что в данной книге не определено сложение множеств. Нет, оно определено, но в связи с другим, не с этим.

Последнее неверно: произведение кардиналов определяется совсем не так, как сумма. В частости, без аксиомы выбора можно доказать, что произведение двух счётных множеств счётно, но нельзя доказать, что объединение счётного множества счётных множеств счётно. Поэтому без аксиомы выбора равенство $\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0$ верно, а равенство $\sum\limits_{k\in\mathbb N}\aleph_0=\aleph_0$ недоказуемо и может быть неверным.

[Padawan]

Someone в сообщении #1520606 писал(а):

Поэтому без аксиомы выбора равенство $\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0$ верно, а равенство $\sum\limits_{k\in\mathbb N}\aleph_0=\aleph_0$ недоказуемо и может быть неверным.

Не понимаю, почему без аксиомы выбора дизъюнктное объединение множеств $A_i$, равномощных $\mathbb N$, и занумерованных индексами $i\in \mathbb N$, может быть не равномощно множеству $\mathbb N\times\mathbb N$. Биекция задается формулой $(i,j)\mapsto \varphi_i(j)$, где $\varphi_i$ -- биекция между $A_i$ и $\mathbb N$. Где тут аксиома выбора?

[xagiwo]

Padawan
Я тоже был удивлён :) Переход от "для каждого $i$ существует биекция $\varphi: \mathbb{N} \to A_i$" к "существует функция, которая для каждого $i$ даёт биекцию $\varphi_i$" требует аксиомы выбора

[mihaild]

Padawan в сообщении #1520624 писал(а):

Где тут аксиома выбора?

В существовании функции $i \to \varphi_i$, которое вы неявно предположили, введя обозначение $\varphi_i$.

[Padawan]

xagiwo
mihaild
Спасибо, понял.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520602 писал(а):

Да, правильно, это я забыл написать.

То есть нельзя сказать с уверенностью, что во множестве $\{a,b,c\}$ три элемента, может оказаться и меньше. Так же как и нельзя в общем случае сказать, имеет ли значение выражение $\frac1{a-b}$ при $a,b\in\mathbb{R}$, ибо может оказаться $a=b$ - это вас не удивляет?

Запись $\{a,b,c\}\cup\{d,e,f,g\}=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ абсолютно корректна во всех случаях, а вот сколько элементов в каждом из этих множеств - уже другой вопрос. Может, вообще по одному.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1520634 писал(а):

То есть нельзя сказать с уверенностью, что во множестве $\{a,b,c\}$ три элемента, может оказаться и меньше. Так же как и нельзя в общем случае сказать, имеет ли значение выражение $\frac1{a-b}$ при $a,b\in\mathbb{R}$, ибо может оказаться $a=b$ - это вас не удивляет?

Нет, это не удивляет.

tolstopuz в сообщении #1520634 писал(а):

Запись $\{a,b,c\}\cup\{d,e,f,g\}=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ абсолютно корректна во всех случаях, а вот сколько элементов в каждом из этих множеств - уже другой вопрос. Может, вообще по одному.

То есть $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ это множество элементов, число которых неизвестно, так как в скобках помещаются их имена, а каждый элемент может иметь более одного имени.

Чтобы быть уверенным, что число элементов совпадает с числом имен, к $\{a,b,c,d,e,f,g\}$ должно быть приписано: "$a\ne b,a\ne c,\ldots, f\ne g$", или $\forall x, y\in X=\{a,b,c,d,e,f,g\}, x\ne y:\ \neg (x=y).$

(Не знаю, правильно ли я записал последнее отношение.)