Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

Мне кажется, что если это произнести аккуратно, то будет далеко не так впечатляюще. Например, если мы работаем с пределом функции двух переменных, то не можем фиксировать $x_0$, мы должны устремлять и $x_1$, и $x_0$ к какому-то $x$. При этом функция пока не определена при $x_1=x_0$. Тогда вопрос, по каким направлениям мы можем рассматривать пределы? Например, можем ли рассмотреть предел по кривой, касающейся прямой $x_1=x_0$? И т. д.

Разумеется, проблемы снимаются, если мы рассматриваем продолжение непрерывной функции из $\mathbb R^2$ с выкинутой прямой на $\mathbb R^2$ по непрерывности, а потом результат сужаем на эту прямую. Но это требует дифференцируемости исходной функции и непрерывности производной сразу на всём $\mathbb R$.

Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще? Если уж мы умеем работать с непрерывными функциями двух переменных, то, может быть, и с классическим определением производной функции одной переменной справимся?

[Munin]

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Например, если мы работаем с пределом функции двух переменных, то не можем фиксировать $x_0$, мы должны устремлять и $x_1$, и $x_0$ к какому-то $x$.

Можэм фыксировать, можэм нэ фыксировать. Какая нам разница, если результат одинаков?

g______d в сообщении #875857 писал(а):

При этом функция пока не определена при $x_1=x_0$.

Нет, уже доопределена.

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Разумеется, проблемы снимаются, если мы рассматриваем продолжение непрерывной функции из $\mathbb R^2$ с выкинутой прямой на $\mathbb R^2$ по непрерывности, а потом результат сужаем на эту прямую.

Именно об этом и речь.

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Но это требует дифференцируемости исходной функции и непрерывности производной сразу на всём $\mathbb R$.

В окрестности точки дифференцирования. Зачем нам за тридевять земель?

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще?

Если не произносить слова "кольцо", то сильно :-) Очень наглядно, по крайней мере.

-- 16.06.2014 02:36:45 --

P. S. Самое главное!

Естественно определять производную, а потом, по факту её существования - дифференцируемость.

И неестественно, имхо, наоборот: давать определение дифференцируемости, и дальше, там где она есть, - производной.

Логика такая: "вот, есть такая полезная штука... а, подождите, вот не всегда она есть." Идёт от мотивации и пользы. Сначала суть, потом ограничения, и можно давать контрпримеры и "патологии". И наоборот - неправильно: сначала долго ходить вокруг да около, накручивать ограничения, и только потом сказать, для чего это всё.

Понятно, что здание нужно строить по кирпичику снизу вверх. Но полезно перед этим показать план здания: это будет дом, или дворец. Иначе по кирпичику можно слепить чёрт знает что.

-- 16.06.2014 02:37:46 --

Это всё к тому же разговору о том, что понятие - это не определение. Они как раз соотносятся между собой примерно как план здания, и его "наполнение" конкретными кирпичами.

[g______d]

Munin в сообщении #875858 писал(а):

Нет, уже доопределена.

Нет, конечно, если непрерывное продолжение на $\mathbb R^2$ нам дано свыше, то всё замечательно. Проблема в том, как узнать, есть ли такое продолжение, если оно не дано? Классический подход сразу даёт ответ: сосчитали один предел в каждой точке, получили производную, потом проверили, непрерывна ли она.

А если продолжение не дано, то у нас есть непрерывная функция на $\mathbb R^2$ без прямой, и попытаться построить продолжение можно 1000 способов, и поди потом проверяй, совпадут ли они все между собой и дадут ли непрерывную функцию.

-- Вс, 15 июн 2014 15:42:24 --

Munin в сообщении #875858 писал(а):

Естественно определять производную, а потом, по факту её существования - дифференцируемость.

Так в классическом анализе и происходит, или я чего-то не понимаю? Производная определяется как предел, а факт существование этого предела – дифференцируемость.

[Munin]

g______d в сообщении #875862 писал(а):

Проблема в том, как узнать, есть ли такое продолжение, если оно не дано?

Проблема в том, а есть ли такая проблема? Скажем, с тем же примером $(x^2\sin x^{-1})'_{x=0}$ я могу взять производную алгебраически (то есть высказать гипотезу о том, чему она равна), а потом исследовать окрестность точки $x_0=x_1=0,$ и убедиться, что гипотеза верна. Не так ли устроено, например, нахождение максимумов и минимумов?

[g______d]

Munin в сообщении #875858 писал(а):

И неестественно, имхо, наоборот: давать определение дифференцируемости, и дальше, там где она есть, - производной.

Ну я, вообще-то, где-то здесь выше говорил, что не считаю правильным искусственно сужать класс функций до введения понятий, для существования которых эти сужения нужны.

[Munin]

g______d в сообщении #875862 писал(а):

Так в классическом анализе и происходит, или я чего-то не понимаю?

Мне на минуту показалось, что вы говорите о том, чтобы давать их в другом порядке.

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Если уж мы умеем работать с непрерывными функциями двух переменных, то, может быть, и с классическим определением производной функции одной переменной справимся?

Фишка здесь в том, что понятия непрерывности и предела разводятся в стороны (классическая связь между ними не излагается), и центральным (и первичным) становится понятие непрерывности, более интуитивно очевидное. Поэтому мы легко можем работать с непрерывными функциями двух переменных, но не думать о пределах вообще, и не пытаться с ними "справляться".

[g______d]

Munin в сообщении #875868 писал(а):

Поэтому мы легко можем работать с непрерывными функциями двух переменных, но не думать о пределах вообще, и не пытаться с ними "справляться".

С трудом, на самом деле; существенная разница с одномерным случаем в том, что направлений вместо двух становится бесконечно много, и a priori не понятно, как связаны непрерывность по каждому направлению и непрерывность по двум переменным в совокупности. Особенно когда речь идёт о "следе" на прямой. В теории гармонических и субгармонических функций потом возникнут нетангенциальные пределы, где этот момент очень по существу.

Если человек хорошо понимает непрерывность функции двух переменных, то никаких проблем с понятием предела у него не возникнет.

Munin в сообщении #875864 писал(а):

Проблема в том, а есть ли такая проблема? Скажем, с тем же примером $(x^2\sin x^{-1})'_{x=0}$ я могу взять производную алгебраически (то есть высказать гипотезу о том, чему она равна), а потом исследовать окрестность точки $x_0=x_1=0,$ и убедиться, что гипотеза верна.

В чём здесь гипотеза? Если в возможности деления в кольце непрерывных функций, то она как раз неверна.

[Munin]

Я думал, что прикинул, как и что, но нашёл у себя ошибку. И даже пример воспроизвёл неправильно: там $(x^2\sin x^{-2})'_{x=0}$ всё-таки.

[g______d]

Munin в сообщении #875878 писал(а):

И даже пример воспроизвёл неправильно: там $(x^2\sin x^{-2})'_{x=0}$ всё-таки.

Всё равно не понял; в частности, чем этот пример отличается от предыдущего.

[Munin]

Секущая ведёт себя хуже, не мала в любой окрестности $(0,0).$

[g______d]

Munin в сообщении #875890 писал(а):

Секущая ведёт себя хуже, не мала в любой окрестности $(0,0).$

В обоих примерах. И я по-прежнему не понимаю, почему эти примеры не являются иллюстрациями того, что классическая производная работает, а деление непрерывных функций – нет.

[Munin]

g______d в сообщении #875892 писал(а):

В обоих примерах.

Вроде, там, где $x^{-1},$ она стремится к горизонтали. Или я совсем уже ничего не понимаю.

g______d в сообщении #875892 писал(а):

И я по-прежнему не понимаю, почему эти примеры не являются иллюстрациями того, что классическая производная работает, а деление непрерывных функций – нет.

Вот второй - является.

[g______d]

Munin в сообщении #875895 писал(а):

Вроде, там, где $x^{-1},$ она стремится к горизонтали. Или я совсем уже ничего не понимаю.

Нет, потому что $(x^2\sin(1/x))'=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ при $x\neq 0$, и второе слагаемое будет обеспечивать осцилляции угла наклона секущей в любой окрестности нуля. Разница только в том, что во втором примере диапазон углов наклона будет расти при приближении к нулю.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875847 писал(а):

К сожалению только, я не представляю себе, как дать определение непрерывности без предела

Это совсем простая задачка для тех, кто только начинает знакомиться с эпсилонизмом-дельтоизмом. Рекомендую её решить и убедиться, что полученное определение проще, чем определение предела функции в точке. По слухам, Чех, который придуумал свои когомологии, сначала определял непрерывность, когда он преподавал в Чикагском университет, а пределы определял через непрепывность.

-- 15.06.2014, 22:41 --

Munin в сообщении #875847 писал(а):

Если мы имеем непрерывность, то можем просто продолжить $\Delta f/\Delta x$ в точку $\Delta x=0$ по непрерывности. (Надо понимать, что $\Delta f/\Delta x\equiv\bigl(f(x_1)-f(x_0)\bigr)/(x_1-x_0)$ - функция двух переменных, разумеется.)

Именно так и дифференцируют многочлены, и эта идеология описана на четвёртой страничке книжки Германа Вейля "Классические Группы, их Инварианты и Представления."

-- 15.06.2014, 22:53 --

g______d в сообщении #875862 писал(а):

А если продолжение не дано, то у нас есть непрерывная функция на $\mathbb R^2$ без прямой, и попытаться построить продолжение можно 1000 способов, и поди потом проверяй, совпадут ли они все между собой и дадут ли непрерывную функцию.

Но если дадут, то такое продолжение единственно, и продолжать надо по непрерывности. Этот погход к непрерывной дифференцируемости используется в недавней книжке по Анализу http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitl ... 92306.html Её автор, правда, по образованию алгебраист.

-- 15.06.2014, 22:56 --

V_I_Sushkov в сообщении #875702 писал(а):

Вот эта ссылка. http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... /plan.html

Интересная программа, а что из этого получилось? Какие были результаты? И что с этой программой стало?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):

Именно так и дифференцируют многочлены, и эта идеология описана на четвёртой страничке книжки Германа Вейля "Классические Группы, их Инварианты и Представления."

Этот подход может быть идеологически правильным, если все функции (бесконечно) дифференцируемы. Например, $C^{\infty}$, многочлены, аналитические функции. Т. е. когда дифференцирование действует из кольца в то же кольцо и определено везде. По-моему, у Гротендика что-то было на эту тему, про бесконечно малую (в схемном смысле) окрестность диагонали. Кажется, ключевым словом было "$D$-модули", могу поискать. Это чисто алгебраический подход к дифференциальному исчислению, и у него есть свои достоинства.

Оттуда же – определение дифференцирования и дифференциальных операторов в произвольном кольце.

Но все эти конструкции подразумевают, что оператор определён на всём кольце и действует из кольца в себя. Если он действует в другое кольцо или не везде определён, алгебраический подход, думаю, будет работать очень плохо. Не знаю.