2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 10:35 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
Теорема Ферма (частные случаи).

Теорема Ферма

Дано: Если $a$,$b$,$c$ целые числа, для уравнения: $a^2+b^2=c^2$ (1),
то при любых целых $k$ и $n=2$ значения $a$, $b$, $c$ для (2) и (3) те же, что и в (1):
$$(a/k)^2+(b/k)^2=(c/k)^2$$ (2)
$$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$$ (3)
Аналогично при $n$ больше 2 для уравнений: $a^n+b^n=c^n$ (4) $(a/k)^n+(b/k)^n=(c/k)^n$ (5) $(ak)^n+(bk)^n=(ck)^n$ (6)

Доказательство ВТФ для $n=3$:

Требуется доказать,что для системы из уравнений (7) и (8) при $n=3$ значения $a$,$c$,$m$ не являются целыми числами,
принадлежащими к одной и той же числовой последовательности,
а уравнение (7) является неравенством для целых $a$, $b$, $c$.

Доказательство:
Предположим (методом от обратного), что $a$,$b$,$c$ ,$m$ целые (натуральные) числа для системы из двух уравнений (7-8)
$$a^3+b^3=c^3$$ (7)
$$a+b=c+m$$ (8),
где, $m=2k$ - целое четное число (это следует из системы 7-8 по результатам исследования сочетаний «чет-нечет»), а $k$- любое целое число.
Возведем в куб обе части уравнения (8) и преобразуем, вычтя при этом (7) из (9)
$$a^3+3(a+b)(ab-mc)+b^3=c^3+m^3$$ (9)
$$3(a+b)(ab-mc)=(2^3)(k^3)$$ (10)
$$3(a/k+b/k)(a/k\cdot b/k - m/k \cdotc/k)=8$$ (11)
Разделим обе части уравнения (11) дополнительно на $k$:
$$3\cdot1/k \cdot(a\cdot1/k + b\cdot1/k)(a\cdot1/k\cdotb\cdot1/k - m\cdot1/k\cdotc\cdot1/k)=8\cdot1/k$$ (12)
$1/k$ примем за общую «единицу измерения» для целых чисел данного уравнения (размерность числовой последовательности) и согласно (1- 6), уравнение (12) запишем в виде:
$$3(a+b)(ab-mc)=8$$ (13)
Но равенство не возможно, если $a$,$b$,$c$ и $m$ натуральные числа,потому что натуральное составное число 8 при разложении не имеет нечетного множителя.
Следовательно, выражение (13) является неравенством.
Но тогда неравенством для целых $a$,$b$, $c$ при $n=3$ является и «уравнение» (7), изъятое из (9), что и требовалось доказать.

Следствия: Из доказательства автоматически следует:
1) выражение (4) при степени $n$ кратной 3 (например, 6, 9, 12 и т.д.) есть неравенство при любых целых $a$, $b$, $c$;
2) при $n=2$выражение (4) может быть равенством при целых $a$, $b$, $c$, что следует из $2(ab-cn)=2^2$;
3) исходя из бинома Ньютона и треугольника Паскаля, алгоритм доказательства применим для простых значений $n=5,7,...$ и кратным им,
поскольку натуральное составное число $2^n$ в правой части выражения, как и в (13), не имеет при разложении нечетных множителей,
которые выделяются в его левой части (см. треугольник Паскаля).
Для $n=4$ доказательства других авторов уже имеются. А чтобы доказать теорему,
достаточно доказать ее для $n=4$ и всех простых нечетных значений $n$, т.к. они образуют все остальные показатели степеней.
P.S. Внимание! Выражение (13) сложно по смысловому содержанию.
Писков Евгений Стефанович.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.09.2013, 11:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Выпишите явно доказательство ВТФ для $n=3$.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.09.2013, 14:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
формулы поправил и вернул

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
У Вас в пунктах 10 и 11 теряются буквы. После cdot без пробела допускается цифра, но не буква: $a\cdot1$ , но $a\cdotb$
Код:
[math]$a\cdot1$[/math] , но  [math]$a\cdotb$[/math]

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 14:42 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
Да, к сожалению, в (11) и (12) пропущен множитель "с", но я не решился (хотя и пытался) редактировать с надеждой, что мне простят.
$3(a/k+b/k)(a/k b/k - m/k c/k)=8$ (11)
$3 1/k (a 1/k + b 1/k)(a 1/k b 1/k - m 1/k c 1/k)=8 1/k$ (12)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Да это не важно. Важен переход от 12 к 13. Ведь Вашим способом можно показать, что все натуральные числа равны $1$:

Пусть $i$ и $j$ произвольные натуральные числа. Их произведение тоже натурально. Обозначим его через $m$.

$i\cdot j=m$. Запишем в виде $i/m\cdot j/m=1/m$. Отсюда $i\cdot1/m\;\cdot\; j\cdot1/m=1\cdot1/m$ и $ij=1$, что возможно, только если $i=j=1$

Физик сразу увидит причину: если числа поименовать, скажем, метрами, то мы увидим, что безболезненно умножать на поименованную единичку не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 15:16 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
$k$ не может равняться $ab$ поскольку $k$ равняется $m/2$, а $m$ меньше $a,b,c$ см. (8). Следует добавить в текст, что $k$ не "любое" целое число, а меньше $m$.

-- 15.09.2013, 15:27 --

gris в сообщении #764103 писал(а):
Да это не важно. Важен переход от 12 к 13. Ведь Вашим способом можно показать, что все натуральные числа равны $1$:

Пусть $a$ и $b$ произвольные натуральные числа. Их произведение тоже натурально. Обозначим его через $k$.
$a\cdot b=k$. Запишем в виде $a/k\cdot b/k=1/k$. Отсюда $a\cdot1/k\;\cdot\; b\cdot1/k=1\cdot1/k$ и $ab=1$, что возможно, только если $a=b=1$

Физик сразу увидит причину: если числа поименовать, скажем, метрами, то мы увидим, что безболезненно умножать на поименованную единичку не получится.

Да-да! Именно на этом основано доказательство: "два целых дюйма не равны двум целым метрам". Потому и неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 16:04 


27/03/12
411
г. новосибирск
VXV! Почему Вы считаете, что K - любое целое число?

1. K -произведение делителей чисел А.В и С.

2. K кратно как минимум $3^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение15.09.2013, 17:27 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
[quote="vasili в сообщении #764140"]VXV! Почему Вы считаете, что K - любое целое число?

$k$ равняется $m/2$, а $m$ меньше $a,b,c$ см. (8). Следует добавить в текст, что $k$ не "любое" целое число, а меньше $m$ (и только предположительно, потому что доказательство идет методом "от обратного"). Согласно доказательству, $m$ и $k$ не являются целыми числами(как я считаю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение17.09.2013, 08:44 


31/03/06
1384
vxv,

Число $k$, которое входит в (10) равно $m/2$. Чтобы вывести (13), нужно доказать, что $k=1$.
Вы этого не делаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение17.09.2013, 20:47 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
Мне есть, что сказать, но отвечу в течении нескольких дней (неотложная работа).
Нижеследующее утверждение содержит ошибку, исправление которой все и прояснит (возможно).

gris в сообщении #764103 писал(а):
Да это не важно. Важен переход от 12 к 13. Ведь Вашим способом можно показать, что все натуральные числа равны $1$:

Пусть $i$ и $j$ произвольные натуральные числа. Их произведение тоже натурально. Обозначим его через $m$.

$i\cdot j=m$. Запишем в виде $i/m\cdot j/m=1/m$. Отсюда $i\cdot1/m\;\cdot\; j\cdot1/m=1\cdot1/m$ и $ij=1$, что возможно, только если $i=j=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение19.09.2013, 11:19 


10/08/11
671
vxv в сообщении #764041 писал(а):
$$a^3+b^3=c^3$$ (7)
$$a+b=c+m$$ (8),

Достаточно в (8) перебросить $c$, в левую часть, а затем возвести в куб, чтобы получить известную степень

$(a+b-c)^3$

было бы меньше ошибок, и обсуждение закончилось бы быстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение19.09.2013, 18:52 


10/08/11
671
vxv в сообщении #764788 писал(а):
Мне есть, что сказать, но отвечу в течении нескольких дней

Ваши утверждения распространяются и на квадраты, там также по Вашему не должно быть целочисленных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение20.09.2013, 04:46 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
vxv в сообщении #764788 писал(а):
Нижеследующее утверждение содержит ошибку, исправление которой все и прояснит (возможно).

gris в сообщении #764103
писал(а):
Да это не важно. Важен переход от 12 к 13. Ведь Вашим способом можно показать, что все натуральные числа равны $1$:

Пусть $i$ и $j$ произвольные натуральные числа. Их произведение тоже натурально. Обозначим его через $m$.

$i\cdot j=m$. Запишем в виде $i/m\cdot j/m=1/m$. Отсюда $i\cdot1/m\;\cdot\; j\cdot1/m=1\cdot1/m$ и $ij=1$, что возможно, только если $i=j=1$
Мне есть, что сказать, но отвечу в течении нескольких дней (неотложная работа).
Нижеследующее утверждение содержит ошибку, исправление которой все и прояснит (возможно).

gris в сообщении #764103 писал(а):
Да это не важно. Важен переход от 12 к 13. Ведь Вашим способом можно показать, что все натуральные числа равны $1$:

Пусть $i$ и $j$ произвольные натуральные числа. Их произведение тоже натурально. Обозначим его через $m$.

$i\cdot j=m$. Запишем в виде $i/m\cdot j/m=1/m$. Отсюда $i\cdot1/m\;\cdot\; j\cdot1/m=1\cdot1/m$ и $ij=1$, что возможно, только если $i=j=1$






Правильнее было бы так (по моему скромному мнению):
$ab=k$
$ab=k\cdot1$
$a/k\cdot b/k=1\cdot1/k$
$a/k\cdot b/k=k/k\cdot1/k$
или
$a\cdot1/k\cdot b\cdot1/k=k\cdot1/k\cdot1/k$
или
$ab=k$
т.е. натуральные $a$,$b$,$k$ могут все-таки (согласно методу доказательства теоремы) быть не только равны но и отличаться от $1$.
Нужно соблюдать размерность натуральных чисел (либо только в "1", либо в "1/k").
А у Griss все перемешалось.









-- 20.09.2013, 05:00 --

lasta в сообщении #765438 писал(а):
vxv в сообщении #764788 писал(а):
Мне есть, что сказать, но отвечу в течении нескольких дней

Ваши утверждения распространяются и на квадраты, там также по Вашему не должно быть целочисленных решений.



Это мои утверждения (Вы, видимо, их не дочитали):
2) при $n=2$выражение (4) может быть равенством при целых $a$, $b$, $c$, что следует из $2(ab-cn)=2^2$;

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма (частные случаи)
Сообщение20.09.2013, 08:09 


10/08/11
671
vxv в сообщении #765611 писал(а):
2) при $n=2$выражение (4) может быть равенством при целых $a$, $b$, $c$, что следует из $2(ab-cn)=2^2$;

Повторите все Ваши преобразования, начиная с (8) для квадратов. Только не забывайте про
$k$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 169 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group