Образовательный стандарт: 9 раз по 2 литра ≠ 9 * 2л

[Nemiroff]

RIP в сообщении #705918 писал(а):

Я — нет, ибо я не учитель (да и детей своих у меня нет и не планируется). Это задача преподавателя (и весьма непростая).

Не-не-не. Во-первых, я спрашиваю гипотетически. А во вторых, родитель не в праве скидывать все на педагога.
И всё же: вот ребенок в непонятках (или даже слезах) прибегает и спрашивает: "Ну как же - ну вот всё правильно, а мне всё зачеркнули". Что дальше?
А то теоретизировать про "множимые" - это охрененно круто, конечно.

-- Пт апр 05, 2013 01:22:03 --

RIP в сообщении #705918 писал(а):

Подобные задачи, по-моему, должны разбираться сразу после того, как введено умножение, и до того, как обсуждается его коммутативность.

То есть, нельзя пользоваться знаниями, которых учитель еще не выдал?
Как где-то тут в теме раньше, "мы еще не проходили запятых"?

[Tuttis]

RIP в сообщении #705918 писал(а):

Nemiroff в сообщении #705915 писал(а):

Вы беретесь своему маленькому ребенку объяснить, почему его решение задачи с иным порядком сомножителей считается неверным?

Я — нет, ибо я не учитель (да и детей своих у меня нет и не планируется). Это задача преподавателя (и весьма непростая). Подобные задачи, по-моему, должны разбираться сразу после того, как введено умножение, и до того, как обсуждается его коммутативность. Просто чтобы ребёнок немного освоился с определением. Если быть предельно математически аккуратным, то решение неверное. Ученик зачем-то 9 литров умножает на 2.

ну елки-палки, осталось только обнять и плакать.

Итак, читаем всякие лекции по введению умножения в школе - и знакомимся с методикой представления умножения через сложение.

То есть у нас есть ребенок, который знает сложение (и все его свойства) и которому только что объяснили, что a*b=a+a+a.. (b раз).

Забудем на секунду, что ребенок одновременно зубрит таблицу умножения, из которой собственными глазами натурально видит, что a*b=b*a.

А теперь смотрите внимательно за руками - я вам два фокуса покажу (БЕЗ использования коммутативности умножения).

2л*9=2л+2л+..2л(9 раз)= (2л+2л+2л)+(2л+2л+2л)+(2л+2л+2л)= 2л*3+2л*3+2л*3=6л+6л+6л=6л*3=18 л

2л*9=2л+2л+..2л(9 раз)= (2л+2л+1л)+(2л+2л+1л)+(2л+2л)+(2л+2л)= (5л+4л)+(5л+4л)= 9л+9л=9л*2=18 л

Именно такие операции (судя по специальным материалам для учителей) должен уметь делать ребенок после изучения сложения и введения понятия умножения - до разговора о коммутативности.

Еще есть вопросы?
Отмечу, что с физической точки зрения все эти операции абсолютно осмысленны и имеют право на существование в реальности; так как 9-ти человекам 18 литров - по два каждому - можно раздать по-разному.

Например, всем девяти по литру - раз получится 9 литров. И еще раз девяти по литру - два получится 9 литров=>
вот вам и философская связь с реальностью - 9л*2!!

[RIP]

Гипотетически — попробовал бы объяснить, но не знаю, с каким успехом.

Nemiroff в сообщении #705921 писал(а):

То есть, нельзя пользоваться знаниями, которых учитель еще не выдал?

Это тонкий вопрос. Тут дело не в том, знает ли ребёнок про коммутативность умножения: в решении она не используется (если исходить из того определения умножения, которое они, по-видимому, на тот момент знают). Просто на тот момент детям объяснили, как сколько-то литров брать сколько-то раз, грубо говоря, как литры умножать на разы (именно в таком порядке!). Умножать разы на литры они ещё не умеют: не ввели им ещё такую операцию. Поэтому если ученик пишет $9\cdot2=18(\text{л})$, то, с позиций определения, которое им, видимо, давалось, это означает, что он 9 литров берёт 2 раза. Зачем он это делает? Почему то, что получится, будет ответом к задаче? Объяснения нет, поэтому и решения (правильного и полного) нет. Вот если бы школьник написал $2\cdot9=9\cdot2=\ldots$, то здесь уже трудно придраться (и эта придирка была бы уже сродни тому маразму с запятыми).
Но это всё мои домыслы, ибо всей ситуации я не знаю. Кстати, я помню, что у нас тоже порядок сомножителей имел значение, так что мне проще понять учителя в такой ситуации.
И неизвестно ещё, за что там тройка. Если только за подобные ошибки — на мой взгляд, это слишком жестоко.

(Оффтоп)

longstreet в сообщении #705919 писал(а):

Как, то есть вообще не планируется?

Да.

[Denis Russkih]

RIP в сообщении #705926 писал(а):

Кстати, я помню, что у нас тоже порядок сомножителей имел значение, так что мне проще понять учителя в такой ситуации.

Иными словами, всё дело в своеобразном "импринтинге". :) Теперь понятно. А я-то удивлялся, почему такой умный человек защищает заведомо бредовую точку зрения... Да просто влияние подсознания на процесс мышления нельзя недооценивать. :) Установки, полученные в детстве, пробиваются сквозь любые надстройки разума, как росточки сорняков сквозь асфальт. Отличный пример того, о чём я говорил чуть ранее.

Вас тоже обучали по этой уродской системе, поэтому теперь у Вас нет того внутреннего протеста, который должен возникать у любого мыслящего человека при ознакомлении с ситуацией. Несмотря на то, что Вы мыслящий человек, Вы попросту не испытываете должного возмущения и чувства отторжения. "Ну и что, у меня в детстве тоже такое было, и ничего..." - думаете Вы. Поэтому Вам сложно понять тех, кто думает иначе.

Точно так же в рабовладельческом обществе даже самые хорошие люди не видели ничего зазорного в продаже человека на рынке, потому что с детства наблюдали подобные сценки.

Toucan:

См. post705931.html#p705931

[Tuttis]

Хотела закончить уже на эту тему высказываться - бо нечего тут на самом деле говорить-то.. но удержаться не смогла.

Получила вот такие забавные комментарии насчет логики тех, кто считает, что 9*2 в задаче с литрами неверно, а 2*9 - верно из соображений размерности:

По мнению некоторых видных методистов и заслуженных учителей математики в младших классах:

Если фермер в конце рабочего дня посчитает количество продаж на объем единиц проданного, у него в магазине образуется расчлененка-человечинка. А вот если посчитает наоборот, то бухгалтерия сойдется верным образом!

..главный вопрос в том, что мы умножаем литры на людей, а получаем - литры. куда делись люди? куда смотрит милиция?

..если часы умножить на рубли, то зарплата будет в часах - а если зарплату выдавать в мелких монетах, то ты будешь получать больше, чем твои коллеги!

[Toucan]

Denis Russkih в сообщении #705929 писал(а):

Иными словами, всё дело в своеобразном "импринтинге". :) Теперь понятно. А я-то удивлялся, почему такой умный человек защищает заведомо бредовую точку зрения... Да просто влияние подсознания на процесс мышления нельзя недооценивать. :) Установки, полученные в детстве, пробиваются сквозь любые надстройки разума, как росточки сорняков сквозь асфальт. Отличный пример того, о чём я говорил чуть ранее.

Denis Russkih, предупреждение за переход на обсуждение личности оппонента...

Denis Russkih в сообщении #705929 писал(а):

Точно так же в рабовладельческом обществе даже самые хорошие люди не видели ничего зазорного в продаже человека на рынке, потому что с детства наблюдали подобные сценки.

... и за откровенную демагогию.

[Denis Russkih]

Я приношу собеседнику свои извинения, если сказал что-то неподобающее. Но это было реальное моё мнение. Я действительно считаю, что механизмы образования толерантности к сомнительным вещам одинаковы в обоих случаях, и основываются на некритическом восприятии действительности детским разумом. Ребёнок всё воспринимает как должное, самая первая полученная информация по какому-либо вопросу просто добавляется к существующей картине мира. Вот если позже поступает иная информация, противоречащая уже известному, тогда уже включается критика, и сообщение воспринимается в штыки. Судя по всему, люди, которые придумали данное "правило" умножения, совершенно не знакомы с азами психологии. В стремлении за крохотной пользой они наносят огромный вред.

...Хотя, конечно, в сравнении с тем, какой вред наносят современные телевизионные мультики, это вообще ничто. :)

[RIP]

Denis Russkih в сообщении #705929 писал(а):

Вас тоже обучали по этой уродской системе

Она не уродская, а математически грамотная. Вы, видимо, не математик, поэтому не можете понять, в чём эта грамотность заключается. Другое дело, нужно ли это в школе. Не знаю.
Просто Вы уже давно привыкли, что от порядка сомножителей произведение не зависит, и Вам всё равно, в каком порядке умножать. И детей этому в своё время научат, но пока что они только начинают знакомиться с умножением, а тут порядок сомножителей играет роль.
Вернусь к тому, что я уже писал выше. Если взять учебник по теории множеств и посмотреть, как определяется произведение ординалов, то можно понять, что, по сути, они так и определяются, как учат в школе ("множимое умножаем на множитель"). Для конечных ординалов (т.е. для натуральных чисел) это сводится к тому, чему учат в школе. Оказывается, для натуральных чисел умножение коммутативно, но это нам просто крупно повезло, потому что если допускать бесконечные ординалы, то коммутативность теряется.
Что я хочу сказать? В определении умножения сомножители имеют разный смысл, поэтому важно, в каком порядке их писать. И детей просто учат грамотно переводить условие задачи на математический язык, исходя из определения. Другое дело, что, возможно, не каждый учитель это осознаёт, а учит просто потому, что так написано в книжке/его так учили…

[Denis Russkih]

RIP

Получается, что не дети, а я был введён в заблуждение?.. :) Любопытно. Я действительно не математик, поэтому не могу ничего возразить по существу. Допускаю, что Вы по-своему правы.

Но всё равно, мне кажется, что несправедливо рассматривать использование коммутативности как ошибку ученика. Он не должен страдать из-за того, что знает предмет чуть лучше, чем полагается. (Но ещё недостаточно хорошо, чтобы сделать круг и вернуться к тому же самому на более высоком уровне понимания. :))

[Neloth]

Denis Russkih в сообщении #705929 писал(а):

Вас тоже обучали по этой уродской системе, поэтому теперь у Вас нет того внутреннего протеста, который должен возникать у любого мыслящего человека при ознакомлении с ситуацией. Несмотря на то, что Вы мыслящий человек, Вы попросту не испытываете должного возмущения и чувства отторжения. "Ну и что, у меня в детстве тоже такое было, и ничего..." - думаете Вы. Поэтому Вам сложно понять тех, кто думает иначе.

Странно. Меня по этой методике не учили, но она вовсе не кажется мне такой уж уродской.

Может быть она реализована и не лучшим образом, но в основе определенно лежали более правильные соображения, чем те, которые здесь излагает разгневанная публика.
Во-первых, авторы пытаются разделить определение операции и ее свойства. О том, что умножение коммутативно, ученик еще стопицот раз услышит, да и сам сможет догадаться, а вот о том, что коммутативность не является чем-то само собой разумеющимся, сам он точно не догадается, а объяснить это подробнее на данном этапе невозможно.
Во-вторых, они как бы намекают ученику, что менять местами множители, конечно, можно, и при вычислениях в уме иногда даже полезно, но без особой необходимости в письменном виде этого делать не следует.

Не думаю, что обучение по такой методике отбило бы у меня способность пользоваться коммутативностью операций, а вот без привычки игнорировать порядок сомножителей было бы однозначно лучше.

Что касается самой методики — она, кажется, реализует не очень удобный вариант. Безразмерные множители все же идут вначале и в устной речи, и в общепринятой форме записи. Единственный вариант, при котором описанный в методике порядок согласуется с общепринятым — это если считать, что оба множителя имеют размерность. Множитель, размерность которого имеет вид дроби, числитель которой совпадает с размерностью результата, а знаменатель — с размерностью другого множителя, как правило, действительно ставится вначале, но в этом случае приведенное пояснение ошибочно.

Самой существенной ошибкой является то, что ради достижения полезного результата, авторы методики предлагают прибегать к временной дезинформации.

[RIP]

Вообще, надо знать всю ситуацию целиком. Я считаю, что до того, как переместительный закон умножения был разобран на занятии, подобные исправления правильны (однако я не уверен, что нужно снижать оценку, особенно сразу на 2 балла). После того, как детям рассказано про коммутативность умножения, запрещать им пользоваться, на мой взгляд, нелепо, и снижение оценки за неправильный порядок сомножителей неправильно, я считаю (но факт, что порядок не тот, можно подчеркнуть). Нужно ли откладывать знакомство с переместительным законом или лучше сразу с ним познакомиться и после этого не обращать внимание на порядок сомножителей (и не забивать голову детям подобными мелочами)? Не знаю — педагогам виднее.

[Tuttis]

мдааа.. это чудовищно, извините.

Вопрос: вот дано - скорость 100 кмч; еду - 8ч; какая разница - умножу я 100кмч на 8ч или 8ч на 100кмч? все равно получится, что я проехал за 8 часов 800 км ведь?

Ответ: Разница большая! каждый раз, когда ты умножаешь второе на первое, а не первое на второе - в мире умирает щеночек.

[AndrewN]

Tuttis в сообщении #705941 писал(а):

мдааа.. это чудовищно, извините

Естественно чудовищно. Получается, что детей надо спасать от учителей математики в том числе...

Я не понимаю, что происходит. Прозвучало мнение, что младшеклассникам при изучении умножения надо бы сначала намекнуть, что вообще-то алгебраическое умножение некоммутативно, т.е. _буквально_ начальное изучение _арифметики_ заменить введением в _общую алгебру_. Это педагогический вздор, блажь и чушь. Или эстетство - большинство этих милых школьничков все равно даже таблицу умножения до конца не выучат. Если есть математический кружок, или специальный класс, тогда там можно и алгебру, усвоят любые правила - до этого они вообще никаких правил не знают :)

Естественно, что вначале изучается арифметическое умножение скаляров (т.е. чисел, детям про скаляры не надо пугать). И тут же сообщается коммутативный закон. Или переместительный. И всё это с лёгкостью проделывается на обычных счётных палочках. А уж потом, когда на безразмерных числах (а можно и в процессе) таблицу умножения заучили, можно и к размерным величинам переходить. И объяснять, как формируется размерность результата, с учётом уже введённой коммутативности умножения.

RIP в сообщении #705934 писал(а):

Что я хочу сказать? В определении умножения сомножители имеют разный смысл, поэтому важно, в каком порядке их писать.

Пардон, вдалбливать маленьким детям, что размерность (или что, смысл?) результата меняется от перестановки множителей (не может никогда) - это педагогическое шаманство и вуду. И каннибализм. И не надо про нетривиальные коммутаторы.

[Александрович]

Скорость (в км/ч) это расстояние (в км) пройденное за 1 ч. Расстояние, пройденное за $t$ часов записывают в виде $s=v \cdot t $. Если вы запишите (не посчитаете, считайте как вам удобнее, а именно запишите) $s=8\cdot 100$, нормальные люди поймут что вы ехали 100 часов со скоростью 8 км/ч.

[RIP]

Про размерность не хочу рассуждать, ибо считаю, что это какая-то ненужная муть в данном вопросе. А смысл от перестановки сомножителей действительно меняется: $ab=\underbrace{a+\ldots+a}_{\text{$b$ слаг.}}$, $ba=\underbrace{b+\ldots+b}_{\text{$a$ слаг.}}$. Видно, что это разные выражения, хотя как числа они и совпадают (но это не очевидно).
Я не против того, чтобы детям сразу объяснялась коммутативность (хотя не уверен, что они поймут объяснения, пока немного не поработают с определением) и в дальнейшем на порядке сомножителей не акцентировалось внимание, но и другой подход не считаю ошибочным. Никто не предлагает говорить детям о некоммутативности умножения. Вообще, ничего не надо про это упоминать. Можно порешать немного задач, чтобы они освоились с определением. Затем обратить внимание на несколько конкретных примеров выполнения равенства $ab=ba$ и объяснить наглядно, почему это всегда так. После этого уже на порядке сомножителей не стоит особо акцентировать внимание. Я не знаю, что фактически происходит в школе.
Дело, видите ли, в чём. Произведение — это компактная форма записи для $\underbrace{a+\ldots+a}_{\text{$b$ слаг.}}$. В этой записи участвуют два числа $a,b$, причём они играют совершенно разные роли. Чтобы отличать это выражение от $\underbrace{b+\ldots+b}_{\text{$a$ слаг.}}$, люди договорились, что первым пишут число $a$, а вторым $b$. Можно было бы наоборот. Можно было бы отличать эти числа другими средствами (например, число $a$ обводить в кружочек). Но какая-то договорённость должна быть.