Откуда берется формула центра масс?

[Geen]

Pphantom в сообщении #956297 писал(а):

Вы, по-видимому, просто ошиблись разделом.

В физике запрещено рассмотрение замкнутых пр-в? Извините.

[Oleg Zubelevich]

Geen в сообщении #956290 писал(а):

А меня интересует, всего лишь, ЦМ для системы тел в $S^1$. А е

ну вот Вас интересует, а других нет. ни ктоже не обязан развивать Ваши идеи

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #956314 писал(а):

Geen в сообщении #956290 писал(а):

А меня интересует, всего лишь, ЦМ для системы тел в $S^1$. А е

ну вот Вас интересует, а других нет. ни ктоже не обязан развивать Ваши идеи

Совершенно верно. Можем просто согласиться, что ответ на вопрос темы если и дан, то очень частный, и закрыть обсуждение.

[fronnya]

provincialka в сообщении #956027 писал(а):

fronnya
Вы на даты смотрите?

[manul91]

Хотелось бы ответить Geen.

На замкнутых/кривых метрических пространств, можно обобщить понятия центра масс как такую точку на многообразии, из которой сумма длин геодезических до остальных точек (с соответных весовых коеффициентов масс) - минимальна.

Для плоских/незамкнутых пространств - это совпадает с центра масс из стандартного определения.

На сфере например, если тела "скучены по одной стороны" - есть две точки для которых данная сумма имеет экстремум - "внутри скопления", и с противоположной стороны - разумеется берем первую, потому что минимум.

В неких ситуаций - можно иметь много локальных минимумов-кандидатов на центр масс - берем абсолютный минимум.

Худшее будет, когда рассматриваем симметрично/равномерные распределения в замкнутом многообразии - где несколько одинаковых минимумов.
Например две одинаковые тела на противоположных точек сферы (кандидат на центр масс - все точки "экватора"), тела в вершин вписанного куба, или тетраэдра соответно и т.д.
Тогда по-моему, взять за "центра масс" - можно любого из этих равноценных минимумов - в силу симметрии распределения, имхо большинство хороших свойств понятия "центра масс" возможно, сохранятся.

[Sicker]

manul91 в сообщении #957092 писал(а):

из которой сумма длин геодезических до остальных точек (с соответных весовых коеффициентов масс) - минимальна.

и где будет центр масс у одномерной системы из двух одинаковых масс?

[manul91]

Sicker в сообщении #957096 писал(а):

и где будет центр масс у одномерной системы из двух одинаковых масс?

Н-да - с двух одинаковых масс что-то не так не только в одномерном, а и в многомерном... да и для n-сферы с двух одинаковых масс в двух противоположных точек - не экватор, а все точки сферы - я почему-то напутал.

Наверное, правильнее потребовать чтобы минимизировалась сумма квадратов длин, типа для одномерном: $m_1(x-x_1)^2 + m_2(x-x_2)^2$
Во всяком случае, в плоском п-ве это сводится к тем же самым (экстремум суммы квадратов расстояний, при приравнении частных производных к нулю - дает то же среднее для точке центра масс - чисто аналитически). Тогда будет правильно и для плоского случая любого к-ва масс, и для сферического с двух масс ; )

Короче идею предложил, хотя и не формализировал строго...
Но из вырождений (множественных одинаковых минимумов) по-любому, полностью избавиться нельзя.

[Munin]

manul91 в сообщении #957092 писал(а):

имхо большинство хороших свойств понятия "центра масс" возможно, сохранятся.

Имхо, тут нужно начать с явного выписывания списком этих "хороших свойств". А потом уже предлагать конструкции, их сохраняющие или теряющие.

И механика вам здесь уже не поможет.

[Geen]

Munin в сообщении #957179 писал(а):

Имхо, тут нужно начать с явного выписывания списком этих "хороших свойств".

Это трудно

Все тела считаются материальными точками. Для ЦМ используется словосочетание "конфигурация ЦМ" (поскольку пока неясно, что это должна быть одна точка).
1. Для статической конфигурации тел, конфигурация ЦМ также статична.
2. Малые изменения конфигурации тел должны приводить к малому изменению конфигурации ЦМ.

У меня всё
Т.е. хотелось бы ещё как-то "момент импульса" приплести... Но на 2-сфере даже с обычным импульсом трудно.

Можно бы ещё попробовать отказаться от глобального определения и ограничиться "одной картой", но не понятно как тогда быть с "дырявыми картами" (типа Шварцшильда).

[Oleg Zubelevich]

а всего более непонятно, накой хрен оно надо

[Munin]

В такой постановке это больше всего смахивает на проблему дифференциальной геометрии.

[manul91]

Munin в сообщении #957179 писал(а):

И механика вам здесь уже не поможет.

Можно было бы рассмотреть движение тел например на сфере - и то как движется центр масс...

Munin в сообщении #957179 писал(а):

Имхо, тут нужно начать с явного выписывания списком этих "хороших свойств". А потом уже предлагать конструкции, их сохраняющие или теряющие.

Несколько подумавши на досуге - эти "хорошие свойства", вроде стремятся к нулю ; )

Если рассмотреть те же две одинаковые тела на сфере, движущиеся равномерно по геодезическим.
Пусть они обе стартируют из северного полюса, и "катятся" по разным меридианам с одинаковой линейной скорости - это так же означает, что их угловая координата широты меняется равномерно (обе тела всегда на одной и той же широтой). Из соображений симметрии - их "центр масс" будет лежать на "среднего меридиана" (среднего арифметического их углов долготы).
Точка которая "катится вместе с тел" равномерно по среднего меридиана - будет равномерно менять широту с той же скорости - и иметь ту же самую широту как и тела.
Т.е. две катящиеся тела будут лежать на одного параллеля с равномерно катящейся по "среднего меридиана точкой" (все с одной и той же линейной скорости).
Но параллели - не геодезические - а мною определенный "обобщенный центр масс" в каждый момент будет лежать на геодезической (большой окружности) проходящей через двух тел.

Следовательно, для двух равномерно катящихся тел на сфере - их "центр масс" равномерно катиться не будет.

Даже казалось бы, скромное требование 2) Geen ("Малые изменения конфигурации тел должны приводить к малому изменению конфигурации ЦМ") - также не выполняется - достаточно закрепить одно из тел на южном полюсе сферы, а другого покрутить в непосредственной близости вокруг северного полюса - "центр масс" будет перебегать весь экватор.

Так что мое "обобщение" по-видимому, бесполезно.

[Munin]

Пример хороший.

[unistudent]

Если предположить, что ни формула центра масс ни само понятие центра масс нам не известны, то желаемым свойством нужно было бы наделить некую точку, лежащую на центральной оси, т.е. оси, вдоль которой уравновешивается система точечных масс, находящихся в однородном силовом поле заданного направления. Понятно, что меняя направления поля, мы получаем разные центральные оси. Остается доказать, что все они пересекаются в одной точке. Для одной точечной массы это очевидно, не сложно доказать для двух. По индукции доказыватся справедливость утверждения для любого количества точек.

[Munin]

unistudent в сообщении #958936 писал(а):

вдоль которой уравновешивается система точечных масс

А это что такое?

unistudent в сообщении #958936 писал(а):

в однородном силовом поле

А это что такое?

Слишком сложным путём идёте, и не общим.