Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[vorvalm]

Батороев
Я высказал свое мнение, а соглашаться с ним или нет ваше право.Но мультипликативность вашей функции надо все-таки доказать.
Разъясните,правильно ли я понимаю ваши определения.Число 18 - "простое", т.к.17 и 19 простые.
К какому праймориалу они относятся. Из ваших определений получается $p_i\leqslant \sqrt{18}$,т.е. 3.
Или я чего-то не понял?

-- Сб июл 02, 2011 10:18:54 --

[Батороев]

Я работаю только "по крупному". "Мелочами" типа "мульти-" не занимаюсь. :))
А если серьезно, то сегодня у меня метка на мониторе встала "колом". Думал "мышка сдохла", купил новую. Не помогло. Вот и маюсь кнопочками. На днях куплю новый ноутбук и подумаю над док-вом.
Насчет Вашего второго вопроса, то Вы все поняли правильно. Примориал в данном случае будет равен $p_i\#=2\cdot 3=6$. Поэтому для $n=18$ вовсе не требуется считать $b_s$. Достаточно того, что $\phi (18)=3\phi (6)=3(2-1)(3-2)=3$. Соответственно, имеем три числа $6;12;18$ "взаимнопростых" $3\#$. Т.к. $18<p_{i+1}^2=25$, то эти числа "простые", т.е. для них $n^2-1=(n-1)(n+1) $ является произведением простых чисел.

[vorvalm]

Батороев
В теории чисел нет "мелочей". Здесь каждая единица на учете.

[Батороев]

Вновь вернемся к рис. 1 и рассмотрим, что произойдет, если "включить" "решето" по гипотезе Гольдбаха.
Для удобства опишу его вновь:
Если четное число $N=2m$ имеет остатки по основанию простых чисел $N\equiv a_j\pmod p_j$, то из чисел, непревосходящих число $N$, вычеркиваем числа, имеющие остатки $0, a_j$ по основанию всех простых чисел, непревосходящих $\sqrt N$. При этом, если число $N$ кратно какому-либо простому числу из указанного ряда, то вычеркивается только нулевой остаток. Оставшиеся невычеркнутыми числа будут являться простыми и в паре с другим простым, симметричным относительно $m$, будут давать в в сумме само число $N$ (потому, что вычеркивались также симметричные числа, т.к. $N-a\equiv 0\pmod {p_i}$;$N-0\equiv a_i\pmod {p_i}$).
Таким образом, можно сделать промежуточный вывод о том, что меньшее количество пар простых, в сумме дающих четное число, может быть у четных чисел, являющихся степенями двойки, а также у четных чисел вида $2^kP$ (где $P$ - простое число, превышающее $\sqrt N$, $k$ - натуральное). Поэтому для простоты исследования рассмотрим только эти числа.

В соответствии с "работой решета" произойдут изменения и на рис. 1, связанные с тем, что наряду с нулевыми остатками в желтый цвет необходимо будет закрасить еще по одному остатку для каждого простого числа. Следовательно, уменьшится количество светло-коричневых клеток, а соответственно, и розовых.

Введем для данного рассмотрения новые определения:

Число $n$ назовем "взаимнопростым" по отношению к примориалу $p_j\#$, если число $n$ имеет только остатки, отличные от $0, a_j$ по основанию всех простых, от которых данный примориал получен.
Число $n$ назовем "простым" по отношению к примориалу $p_i\#$, полученному от произведения всех простых, непревосходящих $\sqrt N$, если число $n$ имеет только остатки, отличные от $0, a_i$ по основанию всех указанных простых чисел.
Количество чисел $n$, не больших натурального числа $s$ и "взаимнопростых" с ним, назовем "функцией Эйлера" $\phi (s)$.

Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_i\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Тогда среднее количество чисел $n$, "взаимнопростых" с примориалом $p_i\#$ и расположенных на интервалах длиной $p_i$, равно:

$h_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$.

После сокращения чисел в числителе и знаменателе, получим выражение, как произведение дробей: $ h_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$, каждая из которых за исключением первой больше единицы. Т.к. число простых чисел бесконечно, то бесконечно и число таких дробей. Следовательно, $h_s$ стремится к бесконечности.

На интервалах длиной $p_i$ на участке от $p_i$ до $p_{i}^2$ все числа, "взаимнопростые" с примориалом $p_i\#$, являются "простыми". Количество таких интервалов с ростом простого $p_i$, а соответственно, и с ростом числа $N$, увеличивается и также стремится к бесконечности.

Таким образом, показано, что при бесконечном росте четных чисел бесконечно растет и количество пар простых, в сумме дающих эти четные числа.

В некоторый момент это количество становится больше 1.

p.s. При данном рассмотрении не учитываются пары, в которых могут участвовать простые, непревышающие $\sqrt N$.

[vorvalm]

Батороев
Давайте вернемся к истокам. Вы не определили, какие числа считать принадлежащими праймориалу. Дайте четкое определение этим числам.

[Батороев]

Как определен примориал, так я его и использовал.

[vorvalm]

Праймориал- произведение простых чисел. А что дальше?
Вы же используете в рамках праймориала какие-то другие числа, кроме тех , которые составляют праймориал.
Что это за числа? Как их определить? Вот в чем вопрс.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #466036 писал(а):

Праймориал- произведение простых чисел. А что дальше?
Вы же используете в рамках праймориала какие-то другие числа, кроме тех , которые составляют праймориал.
Что это за числа? Как их определить? Вот в чем вопрс.

И я использую примориал, как произведение простых чисел.
Допустим $p_i\#=11\#=2310$. Рассчитываем количество чисел до $2310$, взаимнопростых всем простым до $11$. Затем определяем сколько в среднем приходится таких чисел на каждый интервал, равный $11$. Далее по тексту.

[vorvalm]

Но это же приведенная система вычетов по модулю 2310.
Зачем изобретать велосипед?

[Батороев]

Я книг по математике не читаю (это нарушает принцип моего увлечения математикой (хобби) - дойти до чего-нибудь своим умом, т.е. "изобрести велосипед"). Какие понятия почерпнул из обсуждений на форуме, те и применяю. Теперь буду применять и понятие "приведенная система вычетов". Мерси!

[vorvalm]

Батороев
А праймориал тоже придумали сами?

[Батороев]

vorvalm в сообщении #466582 писал(а):

Батороев
А праймориал тоже придумали сами?

Батороев в сообщении #466459 писал(а):

Какие понятия почерпнул из обсуждений на форуме, те и применяю.

В чем суть Ваших вопросов?! Мне уже начинает напоминать сказку про белого бычка.
В дальнейшем буду отвечать только на вопросы, касающиеся непосредственно выкладок данной темы.

[vorvalm]

Батороев
Извините.Это у меня такие шутки (идиотские). Хотя, если вспомнить Янковского-Мюнхаузена, то он говорил:"улыбайтесь, господа, улыбайтесь"...и т.д.
А если серьезно, то меня заинтриговала постановка вопроса в названии темы. Что входит по вашему в понятие распределение взаимно простых чисел?

[Батороев]

Кое-что о распределении взаимнопростых чисел в пределах примориала (от 1 до примориала) я попытался отразить в своем пилотном сообщении данной темы.
Помимо этого, также хотелось бы найти ответы и на другие вопросы, в частности, на какое максимальное количество интервалов можно разбить числа от 1 до примориала, чтобы в каждом из этих интервалов было равное количество взаимнопростых чисел?

[vorvalm]

Батороев
Как вы определяете взаимно простые числа (по теории чисел - вычеты ПСВ) с праймориалом? Ведь если праймориал достатачно большой, то это представляет определенные трудности.