Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[vicvolf]

Батороев в сообщении #1699311 писал(а):

Аналогично, количество пар простых чисел-близнецов:

$$\pi_{2} (p_{s}^2)\approx L_{s+1}\cdot p_{r}\#+v-1$$

где:
$p_{s}$ - максимальное простое число, квадрат которого не превышает $p_{r}\#$;
$v$ - количество пар простых чисел-близнецов, не превышающих $s$;
$L_{s+1}=\dfrac {\varphi_{2} (p_{s+1}\#)}{p_{s+1}\#}$;
$\varphi_{2} (p_{s+1}\#)$ - функция Эйлера второго рода.

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.

Вычисление по данной формуле количества простых близнецов для малых значений $ r $

Случай $ r = 3 $
- $ p_3 = 5 $, $ p_3\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $
- Находим $ p_s $:
$ 2^2 = 4 \leq 30 $, $ 3^2 = 9 \leq 30 $, $ 5^2 = 25 \leq 30 $, $ 7^2 = 49 > 30 $
⇒ $ p_s = 5 $, $ s = 3 $
- $ v = 1 $ (пара $ (3, 5) $)
- $ p_{s+1} = p_4 = 7 $, $ p_4\# = 210 $
- Вычисляем $ \varphi_2(210) $:
Условия: $ a \not\equiv 0, -2 \pmod{2,3,5,7} $
⇒ $ \varphi_2(210) = 15 $, $ L_4 = \dfrac{15}{210} = \dfrac{1}{14} $
- Приближённое значение:
$ \pi_2(25) \approx \frac{1}{14} \cdot 30 + 1 - 1 \approx 2.14 $
- Точное значение: $ \pi_2(25) = 4 $
Относительная ошибка:
$ \frac{4 - 2.14}{4} \approx 0.465 \quad \Rightarrow \quad 46.5\% $

Случай $ r = 4 $
- $ p_4 = 7 $, $ p_4\# = 210 $
- Находим $ p_s $:
$ 13^2 = 169 \leq 210 $, $ 17^2 = 289 > 210 $
⇒ $ p_s = 13 $, $ s = 6 $
- $ v = 3 $ (пары $ (3,5), (5,7), (11,13) $)
- $ p_{s+1} = p_7 = 17 $, $ p_7\# = 510510 $
- Вычисляем $ \varphi_2(510510) $:
$ \varphi_2(510510) = 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 15 = 22275 $
$ L_7 = \frac{22275}{510510} \approx 0.04365 $
- Приближённое значение:
$ \pi_2(169) \approx 0.04365 \cdot 210 + 3 - 1 \approx 11.17 $
- Точное значение: $ \pi_2(169) = 12 $
Относительная ошибка:
$ \frac{12 - 11.17}{12} \approx 0.0695 \quad \Rightarrow \quad 6.95\% $

Случай $ r = 5 $
- $ p_5 = 11 $, $ p_5\# = 2310 $
- Находим $ p_s $:
$ 47^2 = 2209 \leq 2310 $, $ 53^2 = 2809 > 2310 $
⇒ $ p_s = 47 $, $ s = 15 $
- $ v = 6 $ (пары $ (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) $)
- $ p_{s+1} = p_{16} = 53 $, $ p_{16}\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 53 $
- Вычисляем $ L_{16} $:
$ L_{16} = \frac{1}{2} \prod_{\substack{3 \leq p \leq 53 \\ p \text{ prime}}} \left(1 - \frac{2}{p}\right) \approx 0.024535 $
- Приближённое значение:
$ \pi_2(2209) \approx 0.024535 \cdot 2310 + 6 - 1 \approx 61.68 $
- Точное значение: $ \pi_2(2209) \approx 62 $
Относительная ошибка:
$ \frac{62 - 61.68}{62} \approx 0.00516 \quad \Rightarrow \quad 0.516\% $

3: Вывод об относительной ошибке

С ростом $ r $ точность формулы увеличивается:

- $ r = 3 $: ошибка ≈ 46%
- $ r = 4 $: ошибка ≈ 7%
- $ r = 5 $: ошибка ≈ 0.5%

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Точное значение: $ \pi_2(2209) \approx 62 $

Точное значение: $ \pi_2(2209) = 67 $.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1699391 писал(а):

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Точное значение: $ \pi_2(2209) \approx 62 $

Точное значение: $ \pi_2(2209) = 67 $.

Значит относительная ошибка при $r=5$ значительно больше. Если сравнить с формулой Харди-Литтлвуда, то она при тех же значениях точнее.

[Dmitriy40]

Что-то и остальные значения у вас не слишком верные:

(Данные вычисления уже удалены)

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Интеграл $\int_{2}^{25} \frac{dt}{(\ln t)^2} \approx 5.947$ (вычислен методом трапеций с неравномерными отрезками).

? intnum(t=2,25,1/log(t)^2)
%1 = 5.5864960759817508642617741600839206849

ВольфрамАльфа подтверждает.

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Интеграл $\int_{2}^{169} \frac{dt}{(\ln t)^2} \approx 4.76$ (вычислено с использованием асимптотического разложения).

? intnum(t=2,169,1/log(t)^2)
%2 = 13.145046101059302971653158021259005270

ВольфрамАльфа подтверждает.

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Интеграл $\int_{2}^{2209} \frac{dt}{(\ln t)^2} \approx 50.73$ (вычислено с использованием асимптотического разложения).

? intnum(t=2,2209,1/log(t)^2)
%3 = 57.092922396172187448549547005638222428

ВольфрамАльфа подтверждает.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1699393 писал(а):

Что-то и остальные значения у вас не слишком верные

Да, я обратил внимание, поэтому убрал.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

Относительная ошибка:
$ \frac{62 - 61.68}{62} \approx 0.00516 \quad \Rightarrow \quad 0.516\% $

$\frac{61.68}{67}-1 \approx -7.94\%$.
Не уменьшается она. Скорее даже растёт. С 7% до 8%.

-- 22.08.2025, 21:14 --

vicvolf в сообщении #1699389 писал(а):

$ p_s = 47 $, $ s = 15 $
- $ v = 6 $ (пары $ (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) $)

Но было сказано:

Батороев в сообщении #1699311 писал(а):

$v$ - количество пар простых чисел-близнецов, не превышающих $s$;

Не $p_s$, а просто $s$. Соответственно здесь $v=3$, а не $6$.

Похоже надо править весь ваш расчёт ...

-- 22.08.2025, 21:40 --

Попробую:
1. Случай $r=3$: $v=0, L_4=1/14, \pi_2(25) \approx \frac{1}{14} \cdot 30+0-1 \approx 1.143$ vs $4$, ошибка $\frac{1.143}{4}-1 \approx -71.4\%$.
2. Случай $r=4$: $v=1, L_7=0.04363, \pi_2(169) \approx 0.04363 \cdot 210 +1-1 \approx 9.163$ vs $12$, ошибка $\frac{9.163}{12}-1 \approx -23.6\%$.
3. Случай $r=5$: $v=3, L_{16}=0.02454, \pi_2(2209) \approx 0.02454 \cdot 2310 +3-1 \approx 58.69$ vs $67$, ошибка $\frac{58.69}{67}-1 \approx -12.4\%$.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1699397 писал(а):

Похоже надо править весь ваш расчёт

Интересная психология. Сделать расчет -лень, а чтобы покритиковать - не лень)

[Dmitriy40]

vicvolf

(Оффтоп)

Да, это как с факторизацией большого числа: выполнить сложно, а вот проверить просто.
К тому же я там дальше всё же пересчитал ваши цифры.

-- 22.08.2025, 22:48 --

Батороев
Для $r=15: s=40372359, p_s=784149077, L=0.00099232, v=198377$, $\pi_2(p_s^2) \approx 0.00099232 \cdot 47\# +198377-1 \approx 610167260193738.022$ vs $509456730123583$, ошибка $+19.76822\%$.
Не уменьшается.
Да и не должна. Очевидно же. Из асимптотики.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699397 писал(а):

Не $p_s$, а просто $s$. Соответственно здесь $v=3$, а не $6$.

Прошу извинить, но я очередной раз ошибся.
Имел в виду, что $v$ - количество пар простых чисел-близнецов, не превышающих все же $p_s$.

Рассчитав по формуле (куда смог "дотянуться") $\pi_{2}(29929)\approx 463,3235$ при фактическом значении $467$, я решил, что мои значения далее будут только приближаться к фактическим, причем снизу. Но расчеты, которые привел Dmitriy40, опровергли мое предположение.


Я не задавался целью составления точной формулы расчета, а лишь хотел привести формулу с хорошим приближением (если бы таковая нашлась) в качестве дополнительного аргумента к способу доказательства бесконечности простых чисел-близнецов, суть которого заключается в следующем:
Так как простые числа бесконечны, то и примориалы этих чисел бесконечны, соответственно, бесконечен рост количества пар взимно простых к этому примориалу чисел-близнецов до $\pi_{2}(p_s^2)$, где пары взаимно простых чисел-близнецов являются парами простых чисел-близнецов.
При этом функция $\varphi_{2}(p_{i}\#)>0$.

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.

[Dmitriy40]

Для больших $r$ можно смело считать (с точностью до членов порядка $p_s$) что $v=0, L=\operatorname{const}, p_s^2=p_r\#$ и тогда формула упрощается до фактически $\pi_2(x)=ax+O(\sqrt{x})$, что явно не слишком адекватно.

-- 23.08.2025, 12:58 --

Батороев
Оценить же $\pi_2(p_s^2 \approx p_r\#=47\#)$ Вы могли и сами, взяв точное значение $\pi_2(47\#)=509456736126003$ из A000882.
Погрешность такой оценки оценить совсем несложно, разница $p_r\#-p_s^2$ составляет всего 7.63млрд, количество простых близнецов в них легко оценивается по вероятности $1/\ln^2(47\#)$, ошибка всего вдвое, что уже ни на что не влияет. И самое сложное это посчитать $L$ как произведение членов $(1-2/p)$ для простых до 784млн, что тоже не составляет непреодолимых трудностей.
Ровно так же можно оценить и меньшие примориалы, это ещё проще.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699437 писал(а):

Оценить же $\pi_2(p_s^2 \approx p_r\#=47\#)$ Вы могли и сами, взяв точное значение $\pi_2(47\#)=509456736126003$ из A000882
.

Может быть, и смог бы, но большие числа вводят меня в ступор - не привык я к ним. Опять же мой Excel их не тянет, или у меня "масла в голове" не хватает.
И спасибо Вам, что помогаете!

Dmitriy40 в сообщении #1699437 писал(а):

что явно не слишком адекватно.

Это я еще из Вашего предыдущего сообщения понял, что формула снова получилась не адекватная.

(Оффтоп)

Но для предлагаемого способа доказательства формула практически не требуется.

[Yadryara]

Батороев в сообщении #1699451 писал(а):

Но для предлагаемого способа доказательства формула практически не требуется.

А Вы знаете что такое ферматизм?

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1699423 писал(а):

способу доказательства бесконечности простых чисел-близнецов, суть которого заключается в следующем:

Насколько я понимаю основная трудность тут - доказать что оценка гарантированно снизу. У Вас с этим проблемы. И никакие проверки и подгонка в малых числах доказательству не помогут. Надо обязательно смотреть асимптотику и уже про неё доказывать что она является ограничением снизу. Т.е. именно что про формулу, а не численные расчёты.

Кстати стандартная оценка по гипотезе Харди-Литтлвуда даёт величину $2 C_2 \int\limits_2^{47\#} \dfrac{dt}{\ln^2 t} \approx 2 \times 0.6601618158468695739278121100145 \times 385851391926817.2780 \approx 509448711082899.691$, что всего лишь на $-0.0016\%$ отличается от точного значения.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1699460 писал(а):

Насколько я понимаю основная трудность тут - доказать что оценка гарантированно снизу. У Вас с этим проблемы. И никакие проверки и подгонка в малых числах доказательству не помогут. Надо обязательно смотреть асимптотику и уже про неё доказывать что она является ограничением снизу. Т.е. именно что про формулу, а не численные расчёты.

Мы с Вами не так давно обсуждали одну из моих формул. Она по-видимому, могла бы подойти под определение "оценка снизу".

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1692235 писал(а):

Проделал за него (90% времени заняло оформление таблицы):
\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline x & $\dfrac{2.641314233}{2} \dfrac{\pi(x)^2}{x} / \pi_2(x)$ & $2 C_2 \int\limits_2^x \dfrac{dt}{\ln(t)^2} / \pi_2(x)$ \\ \hline $10^1 & \color{magenta}$+5.652569320\%$ & $+141.8094164\%$ \\ $10^2 & \color{magenta}$+3.176337227\%$ & $+69.19359451\%$ \\ $10^3 & \color{magenta}$+6.497789875\%$ & $+30.84428689\%$ \\ \hline $10^4 & \color{magenta}$-2.693919234\%$ & $+4.493141381\%$ \\ $10^5 & \color{magenta}$-0.7279481654\%$ & $+2.018687552\%$ \\ $10^6 & \color{magenta}$-0.3818749529\%$ & $+0.9674340780\%$ \\ \hline $10^7 & $-1.104043425\%$ & \color{magenta}$-0.3834918652\%$ \\ $10^8 & $-0.4379333959\%$ & \color{magenta}$+0.01267152096\%$ \\ $10^9 & $-0.2915568422\%$ & \color{magenta}$+0.02342398416\%$ \\ \hline $10^{10} & $-0.2388089108\%$ & \color{magenta} $-0.004605415331\%$ \\ $10^{11} & $-0.1845365736\%$ & \color{magenta}$-0.003201464186\%$ \\ $10^{12} & $-0.1447227716\%$ & \color{magenta}$-0.001355360943\%$ \\ \hline $10^{13} & $-0.1155451781\%$ & \color{magenta}$-0.0004203874129\%$ \\ $10^{14} & $-0.09355073117\%$ & \color{magenta}$-0.00004181055722\%$ \\ $10^{15} & $-0.07662895984\%$ & \color{magenta}$-0.00006374765774\%$ \\ \hline $10^{16} & $-0.06305342297\%$ & \color{magenta}$-0.00003050021880\%$ \\ $10^{17} & $-0.05203054479\%$ & \color{magenta}$-0.000006698457302\%$ \\ $10^{18} & $-0.04296455218\%$ & \color{magenta}$+0.000001597199877\%$ \\ \hline \end{tabular}
Лучшая точность выделена цветом.

Как видно его формула даёт лучшую точность лишь до $10^6$, а дальше точность почти не улучшается. Т.е. погрешность растёт примерно как $O(x)$ (мрак!), вместо примерно $O(\sqrt{x})$ или ещё лучшей.

А для чисел менее миллиона формулы и не нужны, можно просто тупо хранить 8169 чисел где находятся простые близнецы и двоичным поиском в нём за 13 обращений находить $\pi_2(x)$ для любого $x<10^6$, а 260М байтов памяти хватит для хранения всех простых близнецов до $6\cdot2^{32}$ и за 26 обращений к такому массиву можно получить точное значение $\pi_2(x)$ для любого $x<6\cdot2^{32}=25769803776$.

Батороев в сообщении #1699451 писал(а):

Но для предлагаемого способа доказательства формула практически не требуется.

Ведь аргументы можно найти и из следующего рассмотрения:
Имеем примориал $p_{r}\#$.
Находим $p_{s}$ - наибольшее простое, квадрат которого не превышает $\sqrt {p_{r}\#}$.
Берем $p_{s}\#$.
Находим $p_{t}$ - наибольшее простое, квадрат которого не превышает $\sqrt {p_{s}\#}$.
Доказываем, что $\pi_{2}(p_{t}^2)>\pi_{2}(p_{s}^2)$.
Утверждаем, что так будет при любом, сколь угодно большом $r$.

-- 24 авг 2025 13:24 --

Yadryara в сообщении #1699457 писал(а):

А Вы знаете что такое ферматизм?

Разумеется, знаю. У меня есть несколько тем, посвященных ВТФ.
А к чему вы спросили?
Надеюсь, не с целью захламить тему?

[Yadryara]

Батороев в сообщении #1699485 писал(а):

А к чему вы спросили?
Надеюсь, не с целью захламить тему?

Нет, конечно. Уже подумал, что надо бы об этом в отдельной теме спросить. Предполагаемое название: "Умеем ли мы останавливаться?"