Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Батороев
Не стоит в одном месте под $\varphi_2(p_r\#)$ обозначать одно (произведение простых минус 2), а в другом месте другое (то же произведение, но поделённое на праймориал и умноженное на $6$). Для второго надо было вести новое обозначение. Или не вводить вообще, а везде так прямо и писать $\dfrac{6\varphi_2(p_r\#)}{p_r\#}$.

Формула для $v_r$ кажется обрезалась.

Остальное не смотрел.

[Батороев]

Dmitriy40
Я к сожалению, опять запостил, а потом увидел ошибки и стал исправлять. Наверное, Вы попали в момент между правками.

[Dmitriy40]

Возможно. Но вот сейчас ошибки всё равно остаются, процитирую:

Батороев в сообщении #1513597 писал(а):

Количество чисел, взаимно простых с произведением $v_{r}=\prod\limits_{p_{1}=5}^{p_{r}}$ равно:

Произведением чего? У произведения должны быть не только границы, но и что именно перемножается.

Батороев в сообщении #1513597 писал(а):

$$\varphi_{2}(v_{r})=1\cdot (5-2)\cdot (13-2)\cdot (17-2)\cdot ...\cdot (p_{r}-2)$$

А тут определение $\varphi_2()$ не совпадает с произведением всех простых минус два (как в формуле (2)), тут произведение почему-то лишь по ПЧСВ. А раз не совпадает, то и обозначение нужно новое! Хотя бы $\varphi_{2a}()$ (просто как пример, не настаиваю).

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1513616 писал(а):

Произведением чего? У произведения должны быть не только границы, но и что именно перемножается.

Вроде бы сразу обозначил границы:

Батороев в сообщении #1513597 писал(а):

Поэтому в рассмотрении будут участвовать только такие простые числа. Назовем их "простые числа специального вида" (ПЧСВ).
Обозначим их через $p_{r}$, где $r$ - порядковый номер простого в ряду ПЧСВ.

Dmitriy40 в сообщении #1513616 писал(а):

А тут определение $\varphi_2()$ не совпадает с произведением всех простых минус два (как в формуле (2)), тут произведение почему-то лишь по ПЧСВ. А раз не совпадает, то и обозначение нужно новое! Хотя бы $\varphi_{2a}()$ (просто как пример, не настаиваю).

(2) относилось к описанию использования в доказательстве простых-близнецов.
(3) уже относится к примеру. Мне казалось, что вряд ли запутаются. Может, Вы и правы.
Но сейчас уже все равно не исправить - теме более 10 лет и, как объяснили модераторы, ее в карантин на исправления нельзя отправить.

[Dmitriy40]

(Ну дело ваше конечно.)

Но по моему есть большая разница между $\prod p^2$, $\prod e^p$, $\prod p$, $\prod 1/p$, $\prod (p-99)^7$ и т.д. И какой вариант у вас совершенно непонятно, что именно надо перемножать. Понятно лишь от какого числа и до какого.

С примером же, видя его запись и помня как считается $\varphi_2()$ первой мыслью будет "ха, пример-то неправильный!". И дальше разбираться уже не захочется. Вряд ли Вы хотели именно этого ...

[Батороев]

(Оффтоп)

Dmitriy40
Пример то я привел, что функцию $\varphi_{2}$ можно применять для решения разных задач. Но и решение требует разных подходов к использованию функции. То есть контекст сообщения состоял в том, чтобы показать эффективность функции, а не в том, чтобы что-то непременно доказать. Думаю, и при моем корявом объяснении пытливые умы сумеют разобраться. А если не пытливый и разбираться не захочет, то это его дело.

-- 09 апр 2021 21:39 --

Dmitriy40 в сообщении #1513633 писал(а):

И какой вариант у вас совершенно непонятно, что именно надо перемножать. Понятно лишь от какого числа и до какого.

Перемножать надо все ПЧСВ от $2$ (вместо ошибочно указанного мной начального $5$) до $p_{r}$. Я просто забыл, как пишутся произведения, а посмотреть в учебник не удосужился. Зря я конечно пример приплел... хотел, как лучше, получил, как всегда.
В оффтопе я никоим образом не имел Вас в виду. Наоборот, считаю Вас очень пытливым!

[Батороев]

Для рассмотрения некоторых вопросов разработал вот такую таблицу:

Таблица сложения простых делителей (фрагмент)


По своей структуре - это таблица Пифагора, но вместо чисел по осям распологаются количество простых делителей этих натуральных чисел (в данном фрагменте - нечетных). Внутри поля на пересечениях происходит сложение чисел делителей, как это происходит при умножении чисел. Бежевым выделены числа, имеющие два делителя.
Число $1$ не имеет ни одного простого делителя.

Дигональ, выделенная зеленым цветом - это диагональ квадратов чисел в таблице Пифагора.

Если от какой-либо клетки этой диагонали (числа $N^2$) провести другую диагональ, перпендикулярную "зеленой", то получим "диагональ Гольдбаха". Она определяет числа $N^2-a_{i}^2=(N-a_{i})(N+a_{i})$, где $i$ - порядковый номер числа в натуральном ряду от $1$ до $N-1$. Любое попадание в диагональ Гольдбаха клеток c двумя делителями означает, что имеются два простых числа, в сумме дающие число $2N$.

Представлен фрагмент таблицы 31x31.

[Батороев]

Доказательство Гипотезы Гольдбаха.

16.04.2021 г.

Обозначения (действуют в пределах данного рассмотрения):

$2N$ - натуральное четное число.

$p_{r}$ - простое число (где $r$ – порядковый номер числа в ряду простых чисел) такое, что примориал $p_{r}\#$ является максимальным, не превосходящим $N$.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $2N$.

$\varphi_{2}(p_{r}\#)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар чисел, в сумме дающих $2N$, и в которых оба числа взаимно простые с $p_{r}\#$ ("пары, взаимно простых с $p_{r}\#$").
Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.

Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца квадратичных вычетов простого числа, равных остатку $N^2\equiv b^2\pmod p$
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(N-a_{i})\cdot (N+a_{i}) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(N-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm b)\pmod p$.

Проведем предварительный анализ числа $N$. Если это число составное и у него есть простые делители $p_{j}<p_{r}$, то при расчете количества пар, взаимно простых с примориалом $p_{r}\#$, вместо функции $\varphi_{2}(p)=p-2$ следует использовать функцию Эйлера $\varphi (p)=p-1$, что ведет к увеличению общего числа пар, взаимно простых с примориалом $p_{r}\#$ в этом же примориале. Поэтому с целью минимизирования результатов считаем, что число $N$ не имеет простых делителей, не превышающих $p_{r}$.

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности, можно составить функцию расчета количества пар, взаимно простых примориалу $p_{r}\#$, в этом же примориале:

$$\varphi_{2}(p_{r}\#)= p_{r}\#- \dfrac{1}{2}\cdot p_{r}\# - \dfrac{2\cdot 1}{3\#}\cdot p_{r}\#- \dfrac{2\cdot (3-2)}{5\#}\cdot p_{r}\# -...- \dfrac{2\cdot (p_{r-1}-2)}{p_{r}\#}\cdot p_{r}\#\eqno (1)$$

Или:

$$\varphi_{2}(p_{r}\#)=1\cdot (3-2)\cdot (5-2)\cdot ...\cdot (p_{r}-2)\eqno (2)$$

Доказательство:

Количество пар простых $G_{2}(p_{r}\#)$, создающих произведение $(N-a_{i})\cdot (N+a_{i})$ в примориале $p_{r}\#$ можно рассчитать, как некую часть от количества чисел, взаимно простых с этим произведением:

$$G_{2}(p_{r}\#)= \varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot k_{0}\eqno (3) $$

Расчет коэффициента $k_{0}$ трудоемкий и для больших примориалов $p_{r}\#$ не представляется возможным.
Но так же, как и в доказательстве бесконечности простых-близнецов, можно рассчитать теоретическую нижнюю границу коэффициента $k_{\min}$.
Для этого сделаем допущение, что все нечетные числа от $p_{r}$ до $p_{s}$ - простые числа.
В этом случае все эти числа создают равномерную последовательность и коэффициент $k_{\min}$ можно рассчитать по линейной зависимости:

$$ k_{\min}=\dfrac {p_{r+1}-2}{p_{r+1}}\cdot \dfrac {p_{r+2}-2}{p_{r+2}}\cdot ...\cdot \dfrac {p_{s-1}-2}{p_{s-2}}\cdot \dfrac {p_{s}-2}{p_{s}}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}}\eqno (4)$$

(т.к. все числа в числителе, кроме первого, сократятся с числами знаменателя, кроме последнего).
Полученное значение коэффициента $k_{\min}$ является минимальным для коэффициентов, т.к. любое приближение к реальности (уменьшение количества простых в диапазоне от $p_{r}$ до $p_{s}$) ведет к увеличению коэффициента за счет исчезновения дробей, меньших единицы. Поэтому коэффициент $k_{\min}$ определяет нижнюю теоретическую границу числа пар простых чисел, создающих произведение $(N-a_{i})\cdot (N+a_{i})$.
Соответственно можно записать:

$$G_{2}(p_{r}\#)>\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot k_{\min}=\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}\eqno (5)$$

Из условия, что примориал $p_{r}\#$ является наибольшим, не превосходящим $N$, следует, что

$$N<p_{r}\#\cdot p_{r+1}$$

$$p_{s}<\sqrt {2N}< \sqrt{2\cdot p_{r}\#\cdot p_{r+1}} \eqno (6)$$

В то же время:

$${p_{s}}>\sqrt {N}>\sqrt {p_{r}\#} \eqno (7)$$

Из условия (6) следует, что начиная с $p_{r}\#=7\#$:

$$\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\dfrac {\varphi_{2}({p_{r}\#})}{\sqrt {2\cdot p_{r+1}\#}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{3} \cdot \dfrac {5-2}{5}\cdot \dfrac {7-2}{7}\cdot... \cdot \dfrac {p_{r}-2}{p_{r}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}>1\eqno (8) $$

и далее с ростом $p_{r}\#$ монотонно возрастает.

Поэтому с учетом (5) и (8) можно записать, что начиная с $7\#$:

$$G_{2}(p_{r}\#)>1\eqno (9)$$

Полученное неравенство (9) с учетом неравенства (7) утверждает, что какое бы ни было четное число $2N>2\cdot 7\#$, всегда имеется, как минимум, одна пара простых чисел, в сумме равных этому четному числу (10).

*Примечание 1: функция $\varphi_{2}(p_{r}\#)$ всегда дает одно лишнее значение, независимо от $p_{r}\#$.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1514573 писал(а):

$$\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\dfrac {\varphi_{2}({p_{r}\#})}{\sqrt {2\cdot p_{r+1}\#}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3-2}{3} \cdot \dfrac {5-2}{5}\cdot \dfrac {7-2}{7}\cdot... \cdot \dfrac {p_{r}-2}{p_{r}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}>1\eqno (8) $$

Следует читать:

$$\varphi_{2}(p_{r}\#)\cdot \dfrac {p_{r}}{p_{s}}>\dfrac {\varphi_{2}({p_{r}\#})}{\sqrt {2\cdot p_{r+1}\#}}\cdot \dfrac {p_{r}}{1}>1\eqno (8) $$

-- 22 апр 2021 19:10 --

Скатерть Батороева:



Искал более скромное название и не нашел.

[Батороев]

Ждал, когда "выдохнутся" две параллельные темы, посвященные доказательству гипотезы Лежандра, т.к. считал неэтичным пересекать дорогу другим. Вроде работа в темах затихла и мог бы запостить и доказательство этой гипотезы. Но теперь думаю: "Зачем?! Если доказательство трех предыдущих проблем Ландау никого на форуме не заинтересовало, то и это, по-видимому, никому не будет интересно". Поэтому пока воздержусь. Или поищу заинтересованных.

[Dmitriy40]

Да скорее всего у Вас везде одна и та же ошибка, принимаете статистическую вероятность (т.е. среднюю плотность) за непонятное распределение и что оно в ограниченной области не может быть менее чего-то там, а это наверняка так и осталось недоказанным. Я даже и не вникал, глянул мельком что ничего кардинально не изменилось и не стал разбираться (даже в том что Вы мне специально поясняли).

[Батороев]

Dmitriy40
Наверное я виноват в том, что хотел подробно расписать "процессы", происходящие в формулах при преобразованиях, для чего ввел формулы с (1) по (5), в которых действительно, имеет место статистическая вероятность. Но к доказательству эти формулы отношения не имеют, кроме одного, о котором упомяну позже. Поэтому по-видимому, эти формулы надо было отразить в преамбуле доказательства. А само доказательство начать с того момента, в котором говорится: "Имеется функция расчета пар, взаимно простых с примориалом $\varphi_{2}(p_{r}\#)$..." (что я кстати, и сдела в последующих доказательствах).
Далее у меня в доказательстве идет оценка коэффициента $u$, при которой я использую два допущения, которые определяют "железные" границы коэффициента.
Нас интересует нижняя оценка. Для этого я ввел допущение о том, что все нечетные числа от $p_{r}$ до $p_{s}$ - простые-близнецы. Это допущение носит чисто теоретический характер, т.к. в реальности не достижим. Но это допущение позволяет использовать линейность распределения простых от $p_{r}$ до $p_{s}$, определяемых допущением, а кроме того вторую скобку выражения (4) заполнить максимально возможным количеством слагаемых, а соответственно, минимизировать коэффициент $u$ (в основном, для этого и приведены выражения с (1) по (5) ).
В общем случае, определить нижнюю границу коэффициента $u$ можно и другими способами. Но я выбрал "самый железный".
Таким образом, никакая статистическая вероятность в доказательстве не используется.

А вот такая оценка: $u_0>\dfrac {p_{r}}{\ln^2 (p_{r}\#)}$ действительно построена на статистической вероятности.

[Dmitriy40]

Батороев
Все эти игрища с коэффициентами как раз и есть отсылка к плотности (т.е. статистической вероятности), Вы же для вычисления количества близнецов до $p_r\#$ используете их количество до $p_s\#$ и пересчитываете его в первое. Вот последний пересчёт и есть статистический, не гарантирующий выполнение условия. Несмотря на все эти ваши оценки коэффициентов. Как я понимаю.

Простой пример ошибочности оценки по коэффициенту $u$.
Возьмём некое очень большое $p_r$, количество простых до него тоже соответственно достаточно большое. Теперь предположим что на интервале $(p_s\approx\sqrt{p_r\#};p_r\#)$ нет ни одного простого близнеца, все они больше $p_r\#$ или меньше $p_s$. Посчитаем $u$ и получим некое его значение $u_1$. Теперь не изменяя количества простых передвинем два из них так чтобы стало на один простой близнец меньше в интервале дальше $p_r\#$ и на один простой близнец больше в интервале $(p_r;p_r\#)$. Причём передвинем числа так чтобы $p_r\#$ и $p_s\#$ практически сохранились (для больших $p_r$ относительное изменение обоих чисел можно сделать сколь угодно малым). Снова посчитаем $u$ и получим значение $u_2$, практически равное $u_1$. Потому что ни одно из значений $p_r\#, p_s\#, \varphi_2(p_r\#), \varphi_2(p_s\#)$ почти не изменилось.
Получили что практически одно и то же значение коэффициента соответствует и факту наличия простого близнеца в интервале до $p_r\#$ и факту их полного отсутствия.
Для более полного счастья можно даже так передвинуть простые чтобы случаю отсутствия простого близнеца соответствовало $u_1>u_2$. Т.е. минимум $u$ не обязательно соответствует случаю отсутствия простых близнецов в любом достаточно небольшом заданном интервале! А интервал $(p_r;p_r\#)$ очень мал по сравнению с $(p_r\#,p_s\#)$. Кстати я даже могу привести модельный пример таких множеств простых ... Фактически контрпример к вашей оценке по $u$.

А значит ненулевое (и вообще любое достаточно маленькое) значение коэффициента $u$ не может служить доказательством факта наличия простых близнецов в заданном интервале. И ваша оценка минимальности $u$ ничего для доказательства не даёт.
Вот если докажете что простых близнецов хотя бы иногда настолько много в $p_s\#$, что они просто не вмещаются в интервал $(p_r\#, p_s\#)$ и потому они необходимо влезают и в интервал меньше $p_r\#$ — только тогда оценка по коэффициенту $u$ станет доказательством. Но это очевидно невозможно, простых близнецов на порядки меньше необходимого.

Так что оценкой, и неплохой в общем-то, это вполне является, доказательством же — явно нет.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1516300 писал(а):

Все эти игрища с коэффициентами как раз и есть отсылка к плотности (т.е. статистической вероятности), Вы же для вычисления количества близнецов до $p_r\#$ используете их количество до $p_s\#$ и пересчитываете его в первое. Вот последний пересчёт и есть статистический, не гарантирующий выполнение условия. Несмотря на все эти ваши оценки коэффициентов. Как я понимаю.

Как раз-то я ничего не пересчитываю. И в $p_{s}\#$ я не захожу - все происходит исключительно в примориале $p_{r}\#$.

Давайте для сверки одинакового понимания хода доказательства я еще раз тезисно с примером повторю само доказательство:

Я утверждаю, что есть функция $\varphi_{2}(p_{r}\#)$, которая точно считает количество пар, взаимно простых примориалу $p_{r}\#$, в этом же примориале (c погрешностью $+1$, которой в виду ее малости пренебрегаем), например: $\varphi_{2}(19\#)=378675$
Для примориала $p_{r}\#=19\#$ есть точное значение числа пар простых-близнецов $\pi_{2}(19\#)=57453$ (OEIS).
Откуда можно посчитать

$$u_{0}=\dfrac {57453}{378675}=0,1517$$

что говорит, что лишь пятнадцать с небольшим процентов от количества пар, взаимно простых примориалу $p_{r}\#$, станут парами простых-близнецов в этом же примориале. Т.е. среди остальных хотя бы одно число в паре будет кратно простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ ("кратные пары").
Количество таких кратных пар, входящих в примориал $p_{r}\#$, описать сложно. Оно зависит от количества и величины самих простых, а также и от их расположения в ряду натуральных чисел.
Если мы по допущению (II) (допущение, которое было объявлено в начале доказательства мы не используем) искусственно увеличиваем количество простых от $p_{r}$ до $p_{s}$ (при этом знаем и их величину, и их расположение), то естественно гарантированно завышаем число "кратных пар", а соответственно, занижаем коэффициент $u$ относительно $u_{0}$. А так как указанное завышение максимальное возможное (даже невозможное), то и значение коэффициента становится:

$$u_{\min}=\dfrac {p_{r}}{p_{s}}=\dfrac {19}{3109}=0,0611$$

что в два с лишним раза меньше $u_{0}$ и меньше уже быть не может.
Главное, что и при таком "насилии" число пар, взаимно простых примориалу $p_{r}\#$ и не кратных "искусственным простым", в примориале $p_{r}\#$ больше единицы.

Так ли Вы воспринимаете ход доказательства?

Dmitriy40 в сообщении #1516300 писал(а):

Теперь предположим что на интервале $(p_s\approx\sqrt{p_r};p_r\#)$ нет ни одного простого близнеца, все они больше $p_r\#$ или меньше $p_s$.

Эту запись относительно $p_{s}$ я не понял. По определению $p_{r}<p_{s}<\sqrt {p_{r}\#}$.

-- 01 май 2021 22:41 --

p.s. Ход доказательства 07.04.21 г. принципиально отличается от предыдущих версий. Мне стоило бы отметить это отдельно. Может, от этого Ваше недопонимание?

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1516320 писал(а):

И в $p_{s}\#$ я не захожу - все происходит исключительно в примориале $p_{r}\#$.

В формуле для $u$ используется $\varphi_2(p_s\#)$, которая считает количество пар в $p_s\#$. Т.е. таки заходите.

Батороев в сообщении #1516320 писал(а):

Эту запись относительно $p_{s}$ я не понял. По определению $p_{r}<p_{s}<\sqrt {p_{r}\#}$.

По вашему же определению $p_s$ это наибольшее простое, меньшее $\sqrt{p_r\#}$. Т.е. для больших $p_r$ оно практически равно $\lfloor\sqrt{p_r\#}\rfloor$ (а иногда и просто точно равно, без всяких практически). Что я и обозначил знаком примерно равно. Относительная погрешность этого "равно" уменьшается с увеличением $p_r$ и может быть любой сколь угодно малой.
А, видимо я забыл под корнем знак праймориала ... Это опечатка. Исправил. Сначала хотел писать про интервал до $p_r$, потом до праймориала, вот и не везде поправил, проглядел.

Батороев в сообщении #1516320 писал(а):

p.s. Ход доказательства 07.04.21 г. принципиально отличается от предыдущих версий. Мне стоило бы отметить это отдельно. Может, от этого Ваше недопонимание?

Ход доказательства изменился совершенно не кардинально, всё так же остались те самые формулы (1) и (5), к которым и есть основная претензия. Изменилась оценка (и может быть обоснование) минимально возможного значения $u$, но мои претензии касаются момента раньше, начиная прямо с формулы (1), которая верна не точно, а лишь приближённо. И я привёл мысленный пример когда простых близнецов нет при большем значении коэффициента $u$ чем когда они есть, что полностью рушит всё ваше дальнейшее "доказательство" на основе его оценки. Вы говорите "$u$ не может быть меньше некоего порога и потому близнецы не кончатся", я же возражаю "что их может и не быть даже при достаточно большом $u$". Просто потому что когда близнецов нет, значение $u$ может быть даже больше чем когда близнецы есть. Конечно это надуманный случай и конкретный пример я никогда не найду, но доказательства его невозможности у вас нет. Потому и разбираться с вашей оценкой $u_{min}$ нет никакой необходимости, эта оценка просто лишняя и факта наличия близнецов не доказывает.

Более того, сама оценка $u_{min}$ на мой взгляд тоже неправомерна, именно из-за неучтённой зависимости от распределения близнецов между интервалами $(p_s;p_r\#)$ и $(p_r\#;p_s\#)$, ведь в формулу вычисления $u$ входит отношение двух долей, для $p_r\#$ и для $p_s\#$, вы же в (5.1) и (5.2) проверили зависимость лишь в двух крайних случаях из четырёх. Остались неучтёнными случаи когда простых много, а близнецов мало или ни одного, и когда простых мало и почти все они близнецы. Вдруг в одном из этих случаев, или в промежуточных, соответствующий $u$ будет меньше $u_{min}$, а?

Возможно я немного ошибся в указании границ интервалов, основной смысл что при изменении количества близнецов на 1 все числа в дробях и сами дроби меняются слабо даже если это изменение между одним близнецом и их полным отсутствием. И я уверен что могу построить такой пример когда отсутствию близнецов соответствует большее значение и $u$ и $L_2()$, подвигав для этого близкие простые неким образом. Т.е. лишь по $u$ нельзя доказать факт отсутствия или наличия близнецов. Вместо подвижки можно просто тупо поискать две такие комбинации, но это конечно нереально, хотя и теоретически возможно.