Что Вас потрясло в математике?

[Ribocyte]

То, что математические истины могут открываться эмпирическим путём. В частности то, что в некоторых случаях мы можем точно знать, что существуют какие-то параметры (например, числовые), которые, находясь в рамках вычислительных возможностей мы не можем точно определить, но прямым измерением можем их узнать с весьма существенной точностью.

[Alex_J]

Потрясали в разное время различные понимания и открытия.

Например, помню, как в универе пристал к преподше с вопросом "а вы уверены, что сумму квадратов невозможно разложить на действительные множители?" (по аналогии с разностью квадратов). Она уверяла, что совершенно никак это невозможно, а потом ушла в себя и больше не отвечала.
А между тем ответ, которым я её так и не огорошил, был заготовлен следующий:
$x^2+y^2=(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}})(x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{4}{3}})$

Доказательства теорем матанализа давались с трудом. Прорывом стало доказательство, которое было первым понято, и я его помню до сих пор: это теорема о зажатой последовательности.

Впечатляли возможности уравнений матфизики.

Впечатлила естественность и краткость записи векторного произведения на языке тензоров. До того оно казалось искусственной громоздкой выдумкой.

Затем, метод Монте-Карло открыл совершенно новые возможности в области моделирования практически чего угодно.

Было несколько открытий, которые затем я опубликовал здесь и узнал, что некоторые из них уже известны, как довольно специфические частные случаи. Например, "мультипликативное дифференцирование".

Производящая функция для решения рекуррентных последовательностей - тоже оказалась чудом из чудес.

Оказалось, что некоторые направления исследованы очень мало. Например, вложенные функции и методы решения нелинейных рекуррентных последовательностей. На эту тему у меня здесь также есть две темы.

[Alextp]

До сих пор не могу понять, как/за счет чего получена формула Стирлинга (приближение факториала). вывод ее когда-то читал и он был даже понятен, но идея! как вывели такое соотношение между факториалом и суперпозицией всякого-разного...

Что еще удивило, так это ПОЧЕМУ кого-то удивило "соотношение между e, pi, i". Какое это к черту соотношение, просто формальная запись... просто определение комплексной exp

а википедия говорит что "эта формула произвела на современников Эйлера большое впечатление"..

[g______d]

Alextp в сообщении #741194 писал(а):

Какое это к черту соотношение, просто формальная запись... просто определение комплексной exp

Нет, определение – это через ряд.

[ex-math]

Alextp
Логарифм факториала -- это сумма логарифмов последовательных натуральных чисел. Приближаете ее интегралом -- и вуаля.

[ewert]

Alextp в сообщении #741194 писал(а):

До сих пор не могу понять, как/за счет чего получена формула Стирлинга (приближение факториала).

Как исторически была получена -- или как вообще получать?

Исторически, кажется, через аппроксимацию сумм. Естественнее же всего она получается из метода Лапласа, применённого интегралу, задающему гамма-функцию.

g______d в сообщении #741195 писал(а):

Нет, определение – это через ряд.

Это кому арбуз, а кому свиной хрящик. Наиболее идейное определение -- через дифуры (а через ряды, опять же, всего-навсего исторически так случилось).

[Marty Lee]

В свое время (в классе 9) потрясло понятие изоморфизма, которое в принципе уже показывает, что размышлять что где-то 2*2=5 это немного глупо (увидел, как об этом размышляли здесь недавно), потому что от этого сама суть не меняется, а еще теорема Геделя о неполноте.
Последнее, что понравилось это небольшая книжечка. Уже многое из того, что впечатлило даже так и не вспомнить. Ряды, ТФКП, помню как в летней школе была задачка придумать функцию непрерывную ровно в одной точке, сначала не верил, а потом такое получилось!

[Munin]

(Оффтоп)

Marty Lee в сообщении #741234 писал(а):

Последнее, что понравилось это небольшая книжечка.

Спасибо!

[g______d]

ewert в сообщении #741217 писал(а):

Это кому арбуз, а кому свиной хрящик. Наиболее идейное определение -- через дифуры (а через ряды, опять же, всего-навсего исторически так случилось).

Ну да, или через дифуры (хотя определение через дифуры в некотором смысле вещественное; а аналитическая теория дифф. уравнений все равно без рядов не обходится).

Я имел в виду, что $e^{r}(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ – это не совсем определение. И формула Эйлера замечательна именно в применении к определению через ряды или дифуры.

[Padawan]

g______d в сообщении #741195 писал(а):

Alextp в сообщении #741194 писал(а):

Какое это к черту соотношение, просто формальная запись... просто определение комплексной exp

Нет, определение – это через ряд.

Насколька я помню, Эйлер определил экспоненту комплексного числа формулой $e^z=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n$, что эквивалентно определению через ряд.

[Marty Lee]

Еще впечатлило решение задач с помощью полярных, аффинных и проективных преобразований, и соответственно после этого стало интересно применение теории групп к геометрии, к физике. Особенно аффинная геометрия позволила абсолютно по-другому взглянуть на многие задачи, правда учителя особо не приветствовали мои "простые" решения.

[Alex_J]

Также удивило то, что полиномы аналитически решаются только для 2-й и 3-й степеней, а для 4-й решаемые случаи очень ограничены.

И хотя это обстоятельство имеет доказательство, оно всё равно не даёт мне покоя. Убеждён: однажды кто-то сделает прорыв... Правда, громоздкость формул будет расти от степени, видимо, экспоненциально

Ведь есть самые разные ухищрения: замены, операторы, преобразования и т.д.... и вообще, сколько сложнейших задач решено в математике... а простейшая вещь: корни полиномов - остаются за горизонтом науки.

[g______d]

Alex_J в сообщении #741379 писал(а):

Также удивило то, что полиномы аналитически решаются только для 2-й и 3-й степеней, а для 4-й решаемые случаи очень ограничены.

Вы, наверное, перепутали 4 и 5. Уравнения 4-й степени решаются в радикалах. Уравнения 5-й степени (большинство из них) не решаются в радикалах, но все они решаются с помощью $\theta$-функций. Было уже:

topic3549.html

Формулы есть, например, здесь

http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

[Munin]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #741332 писал(а):

Насколька я помню, Эйлер определил экспоненту комплексного числа формулой $e^z=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n$

Хорошая у вас память! Меня тогда ещё вообще на свете не было!

Alex_J в сообщении #741379 писал(а):

Также удивило то, что полиномы аналитически решаются только для 2-й и 3-й 2-й, 3-й и 4-й степеней, а для 4-й 5-й решаемые случаи очень ограничены.

И хотя это обстоятельство имеет доказательство, оно всё равно не даёт мне покоя. :-) Убеждён: однажды кто-то сделает прорыв...

Впечатляет не только это свойство само по себе, но и его доказательство, тот факт, что там неожиданно всплывают свойства перестановок! Это было одним из первых примеров, на которых я познакомился с неожиданными связями между, казалось бы, отдалёнными ветками математики.

[dmd]

g______d в сообщении #741383 писал(а):

Уравнения 5-й степени (большинство из них) не решаются в радикалах, но все они решаются с помощью $\theta$-функций.

На сегодняшний день нужно честно утверждать - это математический казус, почти религиозная догма, упоминание $\theta$-функций в связи с решением уравнений выше 4-й степени. Ибо практически получить конкретные значения корней уравнения через эти функции невозможно.

И еще в тему тема, косвенно подтверждающая, что внерадикальное решение уравнений высшых степеней возможно только через бесконечные ряды.