Вроде Гаусс про кого-то из своих учеников говорил, что на математику ему не хватило воображения и он подался в поэты. Чтож, подписываюсь под каждым словом Короля... Математика действительно неимоверно красива.
Понимание этой неимоверной красоты доходило до меня в три этапа. В этой теме я хочу рассказать, что именно поразило меня в своё время до глубины души. И пусть каждый кидает сюда подобное...
--------------------
1) Школьная олимпиада, восьмой класс. 1988 год, Южно-Сахалинск. Задачу так и не решил, но когда узнал решение, просто офигел.
Колония живёт на листке клетчатой бумаги в квадрате
. На каждом шаге очередная клетка засевается жизнью, если у неё 2, 3 или 4 соседа ("по диагонали" соседи не считаются, только через общую сторону). Изначально было засеяно 9 клеток. Могут ли со временем засеяться все 100 клеток квадрата
?
Ответ --- нет. Суммарный периметр колонии не увеличивается
---------------------------
2) Пятый курс универа. Случайно попался в руки один из номеров "Сибматжурнала", там была статья, посвящённая обобщения теоремы Шура. Приводилась схема доказательства. Когда я прочитал её, то просто офигел!!! Ничего себе как оказывается можно!!!
Теорема Шура. Для любой раскраски натурального ряда в конечное число цветов уравнение
имеет одноцветное решение.
Доказательство. Берём пространство ультрафильтров на
со стандартной стоуновской топологией. Аккуратно определяем на нём сложение, убеждаемся, что оно асоциативно и непрерывно. Доказываем, что каждая компактная полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, содержит идемпотент. Берём этот самый идемпотент --- ультрафильтр. Один из цветов нашей раскраски натурального ряда принадлежит этому ультрафильтру. В этом цвете и найдётся одноцветное решение.
--------------------------
3)
Вот такая статейкаПрочитал уже после защиты кандидатской. Я то думал, я крут, но оказалось... Я в эти 30 с лишним страниц врубался полгода. А когда врубился, осознал, что живые классики существуют и что Алистер Лахлан является одним из них. И что он, пожалуй, фигура такого же уровня, как Гаусс или Эйлер, хоть и живёт не в позапрошлом веке
, в которую включаем имена для всех действительных чисел, для всех предикатов и для всех функций на 
(то есть получается такая сигнатура мощности гиперконтинуум, в которой есть имена для всяких синусов-косинусов-логарифмов и т. п). Берём элементарную теорию этой модели. Теперь берём ещё одну константу 
, которая не вошла в сигнатуру 
. Получаем непротиворечивую теорию 
Которая имеет модель. И эта модель с одной стороны вроде как неархимедова, а, с другой стороны, все свойства синусов-косинусов-логарифмов и т. п., к которым мы привыкли в стандартном матане, на этой модели также выполняются...