Алгебраическое уравнение, 5-ая степень, модули

[acme]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить уравнение:
$|x^5 - 6x^2 + 9x - 6| = |x^5 - 2x^3 + 6x^2 - 13x + 6|$
Дайте, пожалуйста, направление для решения этого уравнения.
Есть ли формула для решения уравнений 5-ой степени?
Заранее благодарю!

[Евгений Машеров]

0. Формулы для решения уравнений пятой степени нет.
1. Абсолютная величина x равна либо x, либо -x. Рассмотрите два случая - когда правая часть имеет тот же знак, что и левая, и когда они различны. Разумеется, найдя решения, надо подставить их и проверить, действительно ли знаки выражений под знаком модуля таковы.

[gris]

Ну два корня видны сразу, это 0 и 1, а вообще для пятой степени в общем виде формул нет. Можно надеятся только на удачное разложение на множители. Модули, конечно, радости не добавляют.
Но, возможно, тут скрыта какая-то хитрость.

2. Подражая уважаемому Евгению Машерову

[Praded]

Возведите обе части в квадрат, а затем примените формулу разности квадратов. Модули уйдут.

[Sonic86]

Praded в сообщении #479252 писал(а):

Возведите обе части в квадрат, а затем примените формулу разности квадратов. Модули уйдут.

Это то же самое, что и $|a|=|b|$ расписать как $a= \pm b$, только дольше.

[Praded]

Sonic86 в сообщении #479259 писал(а):

Praded в сообщении #479252 писал(а):

Возведите обе части в квадрат, а затем примените формулу разности квадратов. Модули уйдут.

Это то же самое, что и $|a|=|b|$ расписать как $a= \pm b$, только дольше.

Только уравнение одно, а не пара.

[nnosipov]

Praded в сообщении #479265 писал(а):

Только уравнение одно, а не пара.

А решать как Вы его собираетесь? Не превратив ли именно в ту пару уравнений?

[Praded]

Не пару. Там сразу 3 получается.

[sergei1961]

AKM:

Просьба не мудрить в простой школьной задаче и не сбивать топикстартера с толку.

Формула для решения уравнения 5 степени есть. И любой другой степени тоже. И довольно простая. Нет формулы через арифметику и корни. Но в этом смысле формул для решения $\sin x=1/3$ или $2^x=5$ тоже нет. И что-плакать теперь? В школе решают, не плачут.

[arseniiv]

sergei1961 в сообщении #479312 писал(а):

Формула для решения уравнения 5 степени есть. И любой другой степени тоже. И довольно простая.

Интересно! Покажите!

-- Ср авг 31, 2011 21:57:33 --

Особенно интересует 10-я степень.

[sergei1961]

Вы зря иронизируете. Я ранее тоже не знал. Тем не менее такая формула есть. Её вывел Меллин в начале 20 века. Пишется ответ в виде кратного явного ряда, коэффициенты которого зависят всего лишь от гамма-функций от коэффициентов (гипергеометрический ряд Горна). Там единственное что ещё доделывают-это ТОЧНУЮ область сходимости этого ряда (хотя там многое сделал и сам Горн, и есть специальная параметризация Капранова и всякие другие дела). Кстати, для решения этой задачи Меллин придумал преобразование Меллина. Потому что корни удовлетворяют дифференциальным уравнениям простого вида относительно коэффициентов, вот он эти дифуры пр. Меллина и решил. А переходя от образа к оригиналам взял вычетами свой интеграл Меллина, записал ответ в виде ряда по гамма функциям, предвосхитив знаменитую в будущем теорему Слейтер-Маричева, где это проделано в общем случае. На которой основаны кстати книги Маричева по вычислению интегралов, а также созданные им алгоритмы интегрирования МАТЕМАТИКИ.
Есть целые школы, где этим занимаются. У нас-это школа чл.-корр.РАН Циха в Красноярске, им это нужно для изучения своих амёб в многомерном КП. Занимаются шведы, но они ведут истоки от своих шведских математиков, конкурентов Меллина, а его никогда не упоминают-Меллин был ярым антишведским националистом.
Для трёхчленного уравнения 5 степени (а другие к нему сводятся классическими преобразованиями)-есть формула в виде однократного ряда, просто функции ${}_4F_3$ с явными парметрами. Следует в две строки из формулы обращения Лагранжа, была известна в начале 19 века. Моё мнение-классики уровня Эйлера её и ранее знали, поэтому данной задачей и не занимались, но это моё мнение. Или уравнение 5 степени трёхчленное можно через функцию Ламберта решить-это тот же гипергеометрический по типу ряд. Для 6 степени есть явная формула через ${}_5F_4$. Есть работы, где выложены программы, которые проделывают нужные символьные вычисления с примерами. Для трёхчленного 10-й степени и любой тоже явные формулы есть, но в двух последних случаях я не знаю, что к этой форме можно свести любое уравнение 6 или 10 степени, как для 5, вряд ли конечно. Но для этих общих случаев никто саму формулу Меллина не отменял. Кстати этой тематикой (явное решение уравнений высоких степеней через гипергеометрию) занимался один из дореволюционных ректоров МГУ Лахтин, у него есть две книги по теме, давно ищу, вот бы кто помог...
А так как в Соловьёве изложен метод через тета-функции с нерешаемым явно модулярным уравнением-это теперь только историческую ценность имеет, для аналитика-это апоферз маразма, если на него как на реальный метод получения явных формул смотреть. Кстати, ни разу не видел решённого этим методом до конца ни одного уравнения. Хотя есть в школе Циха такой Женя Михалкин, он получил результаты по относительно явному решению модулярных уравнений, как бы скрещивая классический метод тета-функций с Меллином.
Такие дела. Если интересно-пишите в личку, я могу дать и нормальный адрес. Сам я этим не занимаюсь, но у меня есть подборка основных работ по этой тематике, я её уже двум наверное десяткам коллег отсылал, которые тоже были заворожены и запуганы алгебраистами в данном вопросе. А всё не так уж плохо.

[Sonic86]

sergei1961 в сообщении #479325 писал(а):

Пишется ответ в виде кратного явного ряда

А при чем тут ряд? Тогда тупо методом двоичного поиска можно искать и в 9-м классе.

[sergei1961]

Явный ряд через коэффициенты-это по Вашему не нормальное явное выражение для корней? Про функции синуса или экспоненты всё, что мы знаем-это тоже явный ряд с известными коэффициентами. А при чём здесь поиск я не понял, речь о явных формулах идёт для решений а не приближённых. Если Вы можете результат деления пополам оформить в виде явного ряда через коэффициенты-я восхищаюсь, но сам такого не умею. Думаю, что это невозможно.

[Sonic86]

sergei1961 в сообщении #479331 писал(а):

Явный ряд через коэффициенты-это по Вашему не нормальное явное выражение для корней?

Это нормально. Но просто это не относится к тому, что утверждают алгебраисты. Утверждается, что в общем виде уравнение степени $>4$ над полем неразрешимо в радикалах.

sergei1961 в сообщении #479331 писал(а):

А при чём здесь поиск я не понял, речь о явных формулах идёт для решений а не приближённых. Если Вы можете результат деления пополам оформить в виде явного ряда через коэффициенты-я восхищаюсь, но сам такого не умею.

Поиск можно переписать через формулу. Корень, вычисленный методом Ньютона можно явно переписать в виде ряда, пусть и сложного. Можно и через метод итераций выписать ряд (а еще проще - предел).
Или Вы что-то иное утверждаете?

[sergei1961]

Методом Ньютона-наверное согласен, хотя голова вечером уже плохо варит. Что можно выписать явно ряд для вычисления того же корня -имеется в виду полностью, с указанием явной формулы для общего члена- методом дихотомии, то не согласен, даже для корня. Нельзя. Только тот кто проделает бесконечное число вычислений, сможет этот ряд предъявить. Мы, люди, не сможем.