Волк и заяц

[Руст]

Как заяц выплыл за круг радиуса 1, то волк уменьшает угловое расстояние (меньше $\pi$) поэтому волку нет смысла бежать в обратную сторону, пока угловое отклонение между ними не занулилось. А это возможно только, если его скорость выше критического значения.

[epros]

Padawan в сообщении #376551 писал(а):

Только как-то это не строго

Чтобы было строго, нужна уточняющая постановка задачи: что должен максимизировать заяц, а что - волк. В данной постановке при отношении скоростей меньше $\pi + 1$ у зайца куча беспроигрышных стратегий, которые равноценны между собой, а при отношении скоростей больше $\pi + 1$ у волка куча стратегий, которые равноценны между собой.

Все рассуждения о том, какая из стратегий "лучше" в такой постановке бессмысленны.

[Padawan]

epros
Нет, вопрос не об оптимальной стратегии, а о том, сможет ли вырваться заяц, не зависимо от того, как поведёт себя волк.
Строгий ответ, который меня удовлетворит -- указать конкретную функцию скорости зайца в зависимости от скорости волка и их взаимного положения, придерживаясь которой, заяц убегает.

[Gortaur]

Насколько я понимаю, если я напомню, что мой вопрос был об оптимальной стратегии, вы откроете другую тему, продолжите там общение, а мне так никто и не ответит :)

[Padawan]

Gortaur
Тогда ответьте epros-у, что конкретно Вы понимаете под оптимальностью?

[Руст]

У волка по сути нет стратегии, если его скорость меньше критической, все время бежать со своей максимальной скоростью. Так как если он убавит скорость или развернет в другую сторону, заяц окажется в более выгодной для себя ситуации.
Проверил, действительно заяц плывет по прямой, перпендикулярной к исходной прямой, соединяющей зайца и волка. Соответственно критическая скорость находится из соотношения (без интеграла):

$$\sqrt{a^2-1}+arcsin\frac 1a =\frac{3\pi}{2}.$$

Оптимальная стратегия для зайца максимизировать расстояние от волка, когда доплывет до берега.

[Padawan]

Получается $a=4,6033388\ldots$

[epros]

Padawan в сообщении #376574 писал(а):

epros
Нет, вопрос не об оптимальной стратегии, а о том, сможет ли вырваться заяц, не зависимо от того, как поведёт себя волк.
Строгий ответ, который меня удовлетворит -- указать конкретную функцию скорости зайца в зависимости от скорости волка и их взаимного положения, придерживаясь которой, заяц убегает.

Ответ: "Оставаться на месте", - Вас устроит? Это гарантирует, что заяц никогда не будет съеден.

С моей точки зрения задача станет интересной, если уточнить условие так:
1) Отношение скорости волка к скорости зайца между $\pi$ и $\pi+1$.
2) Цель зайца: не попасться и минимизировать время доплыва до берега.
3) Цель волка: поймать или (хотя бы) максимизировать время пребывания зайца в пруду.

Нахождение оптимальной траектории зайца, как я понимаю, достаточно интересная задача. С волком вроде бы всё понятно: со всех ног бежать в сторону точки берега, которая ближе всего к зайцу.

[Утундрий]

epros в сообщении #376710 писал(а):

Ответ: "Оставаться на месте", - Вас устроит? Это гарантирует, что заяц никогда не будет съеден.

Можно добавить "время плывучести зайца"...

(Оффтоп)

Вообще этот ваш заяц напоминает мне рыбу, которая сидела на дереве. Нельзя, что ли, было селезня и лисицу каких-нибудь выдумать?!

[MrDindows]

(Оффтоп)

Нельзя, так как селезень на суше не убежит от лисицы)

[Утундрий]

MrDindows

(Оффтоп)

Дык, пусть он по достижении суши (внезапно!) превращается в... кого бы... да хоть в зайца!

[MrDindows]

(Оффтоп)

Ну я б на его месте превратился б в какого-то крокодила и зохавал наф ту лисицу)

[Утундрий]

(Оффтоп)

И всё же, плавающий заяц.. пфф!..
Разве что Деда Мазая какого ввести в условие?

[Gortaur]

epros в сообщении #376710 писал(а):

Padawan в сообщении #376574 писал(а):

epros

Нахождение оптимальной траектории зайца, как я понимаю, достаточно интересная задача. С волком вроде бы всё понятно: со всех ног бежать в сторону точки берега, которая ближе всего к зайцу.

Даже если пруд невыпуклый?

[BapuK]

Gortaur в сообщении #376943 писал(а):

epros в сообщении #376710 писал(а):

Padawan в сообщении #376574 писал(а):

epros

Нахождение оптимальной траектории зайца, как я понимаю, достаточно интересная задача. С волком вроде бы всё понятно: со всех ног бежать в сторону точки берега, которая ближе всего к зайцу.

Даже если пруд невыпуклый?

в данном обсуждении пруд идеально круглый предполгается