2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
moscwicz в сообщении #376474 писал(а):
если Вы не понимаете, что это в точности дифференциалоьная игра, идите образовывайтесь
Это снова не ответ на вопрос в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:39 


02/10/10
376
А я и не собираюсь ее решать, мне это не интересно, я просто сообщаю, что задача является стандартной по курсу оптимального управления. Поэтому интересующиеся могут просто открыть учебник. Я только что открывал второй том Л.С. Понтрягин Избранные научные труды. Того, что там написано достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
moscwicz в сообщении #376483 писал(а):
А я и не собираюсь ее решать, мне это не интересно, я просто сообщаю, что задача является стандартной по курсу оптимального управления. Поэтому интересующиеся могут просто открыть учебник. Я только что открывал второй том Л.С. Понтрягин Избранные научные труды. Того, что там написано достаточно.
Это же учебный раздел форума, могли бы объяснить решение, помочь другим, если знаете сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10983
TOTAL в сообщении #376393 писал(а):
Как только исчезает возможность находиться на одном диаметре с волком
А она всё не исчезает да не исчезает, а заяц всё плывёт да плывёт вокруг центра пруда по окружности радиуса $R_{\text{пруда}} \times \frac{V_{\text{зайца}}}{V_{\text{волка}}}$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:53 


26/12/08
1813
Лейден
Дифференциальные игры с побегом и погоней - немного другое. Там в сущности требуется найти dangerous set начиная в котором игрок 1 всегда догоняет игрока 2. (например, если заяц бегает за волком, то dangerous set - все пространство, бедный волк - разве что он будет отрыгивать овец как в другом топике и зайца это отвлечет). Другое дело, что для зайца такое dangerous set пусто (если не брать точку волк=заяц), так как он что в воде, что на берегу он своими действиями может продлевать свою жизнь сколь угодно долго (питаться он может рыбой, так что голод не в счет).
TOTAL прав, у меня был другой вопрос. При определенных условиях на скорости волка и зайца (которая по воде) есть решение что мол зайцу надо улепетывать таким-то образом, волку нужно все время за ним следовать. Другое дело, что если заяц выигрывает при этих стратегиях и данном соотношении скоростей, почему мы считаем что стратегия которую мы приписали волку оптимальная? Для него что бегать вокруг пруда, что стоять на месте - итог один и тот же. Значит может есть иная стратегия, которая может волку помочь побороть зайца (не знаю как вы, а я в Ну погоди был за волка, так что сейчас тоже за него ратую)

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 15:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Большой интерес к задаче. Попробую написать решение, которое уже забыл.
Пусть заяц придерживается угловой скорости $w(x)$ зависящей от отклонения на расстояние $x$ от центра. Тогда волк догоняет зайца по углу со скоростью $1-w(x)$ (его угловая скорость 1) а радиальная скорость зайца $\sqrt{1-x^2w^2(x)}$. Когда заяц приблизится к берегу на расстояние $dx$ волк сократит угловое расстояние на $\frac{(1-w(x))dx}{\sqrt{1-x^2w^2(x)}}$ и если он успеет сократит до нуля пока заяц доплывет до отметки $x=a$, то он его съесть придерживаясь на нулевой отметке по угловому расстоянию, если $$\int_1^a\frac{(1-w(x))dx}{\sqrt{1-x^2w^2(x)}}<\pi$ то заяц успеет убежать.
зайцу надо минимизировать подъинтегральное выражение. Дифференцируя по $W$ находим, что $w=\frac{1}{x^2}$. Это приводит к условию
$$\int_1^a\frac{\sqrt{x^2-1}dx}{x} <\pi$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 16:20 


02/10/10
376
Руст в сообщении #376499 писал(а):
Пусть заяц придерживается угловой скорости $w(x)$ зависящей от отклонения на расстояние $x$ от центра. Тогда волк догоняет зайца по углу со скоростью $1-w(x)$ (его угловая скорость 1)

если угловая скорость волка постоянна, т.е. он просто бегает как заведеный кругами, то зайцу очень легко достичь берега и не попасть волку в зубы

-- Wed Nov 17, 2010 17:25:57 --

Руст в сообщении #376499 писал(а):
а радиальная скорость зайца $\sqrt{1-x^2w^2(x)}$

а почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Руст в сообщении #376499 писал(а):
находим, что $w=\frac{1}{x^2}$.
Это не прямая линия, а с чего бы это зайц поплыл по кривой?
Если заяц побежит по прямой к точке на берегу, в которую волк доберётся, сделав угол $\pi + \omega,$ то одинаковое время они затратят, если $(\pi + \omega)^2=1+a^2-2a\cos\omega.$ Надо найти максимальное $a$, удовлетворяющее (при каком-то $\omega$) этому уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:03 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
TOTAL в сообщении #376512 писал(а):
Руст в сообщении #376499 писал(а):
находим, что $w=\frac{1}{x^2}$.
Это не прямая линия, а с чего бы это зайц поплыл по кривой?

У меня получилось, что это прямая, причем перпендикулярная диаметру, на котором вначале находились заяц и волк (пусть этот диаметр вертикален, волк стоит снизу).
Если $\varphi$ -- угол отклонения зайца от вертикали, $r$ -- его расстояние до центра пруда, то закону $w(x)=\frac{1}{x^2}$ соответствует система
$$\dot\varphi=\frac{1}{r^2} \ \ \ \dot r=\sqrt{1-\frac{1}{r^2}}$$, с начальными данными $\varphi(0)=0$, $r(0)=1$. Решение
$\varphi(t)=\arctg t$, $r(t)=\sqrt{1+t^2}$ -- горизонтальная прямая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Padawan в сообщении #376519 писал(а):
с начальными данными $\varphi(0)=0$, $r(0)=0$. Решение
$\varphi(t)=\arctg t$, $r(t)=\sqrt{1+t^2}$ -- горизонтальная прямая.
$r(0)=1$ - ведь надо так. Всё ещё прямая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Да, в момент времени $t$ один катет $1$ (вертикальный), другой $t$ (у зайца скорость единица), гипотенуза $r=\sqrt{1+t^2}$. Угол $\varphi=\arctg t$.

У меня там описка была. Конечно, $r(0)=1$, исправил. Спасибо.

-- Ср ноя 17, 2010 19:15:51 --

Только мне всё равно непонятно, откуда у нас уверенность, что волк побежит именно в ту сторону, куда нам надо, а не навстречу зайцу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Padawan в сообщении #376527 писал(а):
Только мне всё равно непонятно, откуда у нас уверенность, что волк побежит именно в ту сторону, куда нам надо, а не навстречу зайцу.
Заяц начал удаляться по радиусу. Что делать волку? Волк среагировал мгновенно и начал менять свой угол. В ту же сторону начал менять угол и заяц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:27 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
И волк повернул обратно
В общем, без инерции как-то плохо всё

-- Ср ноя 17, 2010 19:31:35 --

Пока для меня только отношение скоростей $\pi+1$ убедительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Padawan в сообщении #376538 писал(а):
И волк повернул обратно
В общем, без инерции как-то плохо всё
Если волк повернёт обратно, то снова окажется на одном диаметре с зайцем, но в худшем положении, чем раньше, т.к. заяц увеличил свой радиус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волк и заяц
Сообщение17.11.2010, 17:45 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Ну в принципе согласен. Только как-то это не строго.
Строго -- указать функцию скорости зайца в зависимости от скорости волка, и их взаимного положения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group