Волк и заяц

[TOTAL]

moscwicz в сообщении #376474 писал(а):

если Вы не понимаете, что это в точности дифференциалоьная игра, идите образовывайтесь

Это снова не ответ на вопрос в задаче.

[moscwicz]

А я и не собираюсь ее решать, мне это не интересно, я просто сообщаю, что задача является стандартной по курсу оптимального управления. Поэтому интересующиеся могут просто открыть учебник. Я только что открывал второй том Л.С. Понтрягин Избранные научные труды. Того, что там написано достаточно.

[TOTAL]

moscwicz в сообщении #376483 писал(а):

А я и не собираюсь ее решать, мне это не интересно, я просто сообщаю, что задача является стандартной по курсу оптимального управления. Поэтому интересующиеся могут просто открыть учебник. Я только что открывал второй том Л.С. Понтрягин Избранные научные труды. Того, что там написано достаточно.

Это же учебный раздел форума, могли бы объяснить решение, помочь другим, если знаете сами.

[epros]

TOTAL в сообщении #376393 писал(а):

Как только исчезает возможность находиться на одном диаметре с волком

А она всё не исчезает да не исчезает, а заяц всё плывёт да плывёт вокруг центра пруда по окружности радиуса $R_{\text{пруда}} \times \frac{V_{\text{зайца}}}{V_{\text{волка}}}$.

[Gortaur]

Дифференциальные игры с побегом и погоней - немного другое. Там в сущности требуется найти dangerous set начиная в котором игрок 1 всегда догоняет игрока 2. (например, если заяц бегает за волком, то dangerous set - все пространство, бедный волк - разве что он будет отрыгивать овец как в другом топике и зайца это отвлечет). Другое дело, что для зайца такое dangerous set пусто (если не брать точку волк=заяц), так как он что в воде, что на берегу он своими действиями может продлевать свою жизнь сколь угодно долго (питаться он может рыбой, так что голод не в счет).
TOTAL прав, у меня был другой вопрос. При определенных условиях на скорости волка и зайца (которая по воде) есть решение что мол зайцу надо улепетывать таким-то образом, волку нужно все время за ним следовать. Другое дело, что если заяц выигрывает при этих стратегиях и данном соотношении скоростей, почему мы считаем что стратегия которую мы приписали волку оптимальная? Для него что бегать вокруг пруда, что стоять на месте - итог один и тот же. Значит может есть иная стратегия, которая может волку помочь побороть зайца (не знаю как вы, а я в Ну погоди был за волка, так что сейчас тоже за него ратую)

[Руст]

Большой интерес к задаче. Попробую написать решение, которое уже забыл.
Пусть заяц придерживается угловой скорости $w(x)$ зависящей от отклонения на расстояние $x$ от центра. Тогда волк догоняет зайца по углу со скоростью $1-w(x)$ (его угловая скорость 1) а радиальная скорость зайца $\sqrt{1-x^2w^2(x)}$. Когда заяц приблизится к берегу на расстояние $dx$ волк сократит угловое расстояние на $\frac{(1-w(x))dx}{\sqrt{1-x^2w^2(x)}}$ и если он успеет сократит до нуля пока заяц доплывет до отметки $x=a$, то он его съесть придерживаясь на нулевой отметке по угловому расстоянию, если $$\int_1^a\frac{(1-w(x))dx}{\sqrt{1-x^2w^2(x)}}<\pi$ то заяц успеет убежать.
зайцу надо минимизировать подъинтегральное выражение. Дифференцируя по $W$ находим, что $w=\frac{1}{x^2}$. Это приводит к условию

$$\int_1^a\frac{\sqrt{x^2-1}dx}{x} <\pi$$

.

[moscwicz]

Руст в сообщении #376499 писал(а):

Пусть заяц придерживается угловой скорости $w(x)$ зависящей от отклонения на расстояние $x$ от центра. Тогда волк догоняет зайца по углу со скоростью $1-w(x)$ (его угловая скорость 1)

если угловая скорость волка постоянна, т.е. он просто бегает как заведеный кругами, то зайцу очень легко достичь берега и не попасть волку в зубы

-- Wed Nov 17, 2010 17:25:57 --

Руст в сообщении #376499 писал(а):

а радиальная скорость зайца $\sqrt{1-x^2w^2(x)}$

а почему?

[TOTAL]

Руст в сообщении #376499 писал(а):

находим, что $w=\frac{1}{x^2}$.

Это не прямая линия, а с чего бы это зайц поплыл по кривой?
Если заяц побежит по прямой к точке на берегу, в которую волк доберётся, сделав угол $\pi + \omega,$ то одинаковое время они затратят, если $(\pi + \omega)^2=1+a^2-2a\cos\omega.$ Надо найти максимальное $a$, удовлетворяющее (при каком-то $\omega$) этому уравнению.

[Padawan]

TOTAL в сообщении #376512 писал(а):

Руст в сообщении #376499 писал(а):

находим, что $w=\frac{1}{x^2}$.

Это не прямая линия, а с чего бы это зайц поплыл по кривой?

У меня получилось, что это прямая, причем перпендикулярная диаметру, на котором вначале находились заяц и волк (пусть этот диаметр вертикален, волк стоит снизу).
Если $\varphi$ -- угол отклонения зайца от вертикали, $r$ -- его расстояние до центра пруда, то закону $w(x)=\frac{1}{x^2}$ соответствует система

$$\dot\varphi=\frac{1}{r^2} \ \ \ \dot r=\sqrt{1-\frac{1}{r^2}}$$

, с начальными данными $\varphi(0)=0$, $r(0)=1$. Решение
$\varphi(t)=\arctg t$, $r(t)=\sqrt{1+t^2}$ -- горизонтальная прямая.

[TOTAL]

Padawan в сообщении #376519 писал(а):

с начальными данными $\varphi(0)=0$, $r(0)=0$. Решение
$\varphi(t)=\arctg t$, $r(t)=\sqrt{1+t^2}$ -- горизонтальная прямая.

$r(0)=1$ - ведь надо так. Всё ещё прямая?

[Padawan]

Да, в момент времени $t$ один катет $1$ (вертикальный), другой $t$ (у зайца скорость единица), гипотенуза $r=\sqrt{1+t^2}$. Угол $\varphi=\arctg t$.

У меня там описка была. Конечно, $r(0)=1$, исправил. Спасибо.

-- Ср ноя 17, 2010 19:15:51 --

Только мне всё равно непонятно, откуда у нас уверенность, что волк побежит именно в ту сторону, куда нам надо, а не навстречу зайцу.

[TOTAL]

Padawan в сообщении #376527 писал(а):

Только мне всё равно непонятно, откуда у нас уверенность, что волк побежит именно в ту сторону, куда нам надо, а не навстречу зайцу.

Заяц начал удаляться по радиусу. Что делать волку? Волк среагировал мгновенно и начал менять свой угол. В ту же сторону начал менять угол и заяц.

[Padawan]

И волк повернул обратно
В общем, без инерции как-то плохо всё

-- Ср ноя 17, 2010 19:31:35 --

Пока для меня только отношение скоростей $\pi+1$ убедительно.

[TOTAL]

Padawan в сообщении #376538 писал(а):

И волк повернул обратно
В общем, без инерции как-то плохо всё

Если волк повернёт обратно, то снова окажется на одном диаметре с зайцем, но в худшем положении, чем раньше, т.к. заяц увеличил свой радиус.

[Padawan]

Ну в принципе согласен. Только как-то это не строго.
Строго -- указать функцию скорости зайца в зависимости от скорости волка, и их взаимного положения.