Доказать несчётность отрезка теоремой Бэра

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713575 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713572 писал(а):

Да, ну только уточнить что объединение не пусто.

Точно. Продолжу рассуждение:

Допустим, что отрезок $[a,b]$ $(a<b)$ счетен, то есть $[a,b]=\{x_1,x_2,\dotsc,x_n,\dotsc\}$. Далее обозначим $F_n=\{x_n\}$ $(n\in\mathbb{N})$, легко убедиться в том, что $[a,b]=\bigcup_nF_n$.

До этого места согласны?

Да

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713576 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1713575 писал(а):

Допустим, что отрезок $[a,b]\subset\mathbb{R}$ $(a<b)$ счетен, то есть $[a,b]=\{x_1,x_2,\dotsc,x_n,\dotsc\}$. Далее обозначим $F_n=\{x_n\}$ $(n\in\mathbb{N})$, легко убедиться в том, что $[a,b]=\bigcup_nF_n$.

Да

Теперь проверим, выполняются ли посылки теоремы Бэра в новой формулировке:

Пусть $F_n$ $(n\in\mathbb{N})$ - замкнутые подмножества $\mathbb{R}$, объединение которых $\bigcup_nF_n$ также замкнуто.

Ранее в курсе должны были быть доказаны факты о том, что как одноточечное множество, так и отрезок замкнуты. Мне кажется, что посылки выполняются. А вам?

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713577 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713576 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1713575 писал(а):

Допустим, что отрезок $[a,b]\subset\mathbb{R}$ $(a<b)$ счетен, то есть $[a,b]=\{x_1,x_2,\dotsc,x_n,\dotsc\}$. Далее обозначим $F_n=\{x_n\}$ $(n\in\mathbb{N})$, легко убедиться в том, что $[a,b]=\bigcup_nF_n$.

Да

Теперь проверим, выполняются ли посылки теоремы Бэра в новой формулировке:

Пусть $F_n$ $(n\in\mathbb{N})$ - замкнутые подмножества $\mathbb{R}$, объединение которых $\bigcup_nF_n$ также замкнуто.

Ранее в курсе должны были быть доказаны факты о том, что как одноточечное множество, так и отрезок замкнуты. Мне кажется, что посылки выполняются. А вам?

"Выполняются". Но я сейчас нашёл походу ошибку в возможно формулировке Теоремы Лектором.

Вы написали "объединение" $F_n$, но не уточнили какое. В формулировке Лектора - не более чем счётное. Замкнутых $F_n$. И равно оно замкнутому $F$.
Но ранее у нас была теорема о том что всякое объединение открытых - открытое, но конечное объединение замкнутых - замкнуто. Ну из этой теоремы вообще-то не следует что счётное объединение замкнутых не замкнуто, но может не всякое счетное объединение замкнуто? Наверное не является замкнутым ограниченное множество, если оно объединение счетного набора замкнутых?

Цитата:

не является замкнутым ограниченное множество, если оно объединение счетного набора замкнутых

Если так, то тогда, вообще-то посылка не выполняется и вообще возникает противоречие, только не в связи с пересечениями каких-то интервалов, а потому что отрезок, будучи ограниченным, в предположении от противного как раз и является счётным объединением замкнутых - одноточечных множеств.

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713580 писал(а):

не всякое счетное объединение замкнуто?

Конечно. Поэтому отдельно требуется доказательство того, что отрезок замкнут.

cxzbsdhwert в сообщении #1713580 писал(а):

Наверное не является замкнутым ограниченное множество, если оно объединение счетного набора замкнутых?

Когда как. Объединение множеств в теореме о вложенных отрезках, например, равно первому из них. Теорем Бэра применима и к взаимно пересекающимся множествам.

-- Пн дек 29, 2025 18:27:21 --

cxzbsdhwert в сообщении #1713580 писал(а):

Если так, то тогда, вообще-то посылка не выполняется

Повторяю: ранее в курсе должна быть доказана теорема о том, что отрезок замкнут. В ее доказательстве, кстати, не используются никакие счетные объединения.

(хотя это настолько простой факт, что его обычно приводят в качестве примера к определению замкнутого множества)

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713582 писал(а):

требуется доказательство того, что отрезок замкнут.

Требуется доказательство того что отрезок замкнут даже если он не более чем счётен . Такого конечно не было. Про несчётный отрезок (потом) было доказательство того что он компакт. Могу предположить что доказательство замкнутости несчётного отрезка предполагает его несчётность, а тогда применять его, полагая отрезок не более чем счётным нельзя.

Но, ладно, пускай замкнут.

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713584 писал(а):

Могу предположить что доказательство замкнутости несчётного отрезка предполагает его несчётность

Не надо предполагать. Если вы не знаете доказательства таких простых фактов, лучше потренироваться на них, а не лезть сразу в теорему Бэра. Возьмите определение отрезка, определение замкнутого множества и докажите сами.

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713585 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713584 писал(а):

Могу предположить что доказательство замкнутости несчётного отрезка предполагает его несчётность

Не надо предполагать. Если вы не знаете доказательства таких простых фактов, лучше потренироваться на них, а не лезть сразу в теорему Бэра. Возьмите определение отрезка, определение замкнутого множества и докажите сами.

Отрезок замкнут, поскольку дополнение к нему открыто, поскольку любая точка из дополнения лежит в нём с некоторым интервалом.
Отрезок замкнут, поскольку ему принадлежат все его граничные и предельные точки а также все пределы сходящихся последовательностей из его элементов лежат в нём.

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713586 писал(а):

Отрезок замкнут, поскольку дополнение к нему открыто, поскольку любая точка из дополнения лежит в нём с некоторым интервалом.

Ну вот, достаточно свойств действительных чисел, никакая несчетность не требуется. Более того, отрезок в $\mathbb{Q}$ замкнут, несмотря на счетность. Проходит то же самое доказательство.

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713588 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713586 писал(а):

Отрезок замкнут, поскольку дополнение к нему открыто, поскольку любая точка из дополнения лежит в нём с некоторым интервалом.

Ну вот, достаточно свойств действительных чисел, никакая несчетность не требуется. Более того, отрезок в $\mathbb{Q}$ замкнут, несмотря на счетность.

Ну хорошо, и что Вы хотели дальше написать? Если ещё конечно не устали

-- 29.12.2025, 18:28 --

tolstopuz в сообщении #1713588 писал(а):

Более того, отрезок в $\mathbb{Q}$ замкнут, несмотря на счетность.

Я про отрезок в $\mathbb Q$ вчера спрашивал, мне показали что он не замкнут:

cxzbsdhwert в сообщении #1713519 писал(а):

А почему $X=\{x\in \mathbb Q: 0\leq x \leq 1\}$ не замкнуто?

warlock66613 в сообщении #1713520 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713519 писал(а):

Оно содержит все свои предельные точки

Не содержит. $\sqrt{2}/2$ -- предельная точка.

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713589 писал(а):

Ну хорошо, и что Вы хотели дальше написать?

Если посылки теоремы Бэра выполняются, то до противоречия уже рукой подать.

Из теоремы Бэра следует, что существует $N\in\mathbb{N}$ и интервал $(\alpha,\beta)$, такие, что $(\alpha,\beta)\cap\bigcup_nF_n$ непусто и $(\alpha,\beta)\cap\bigcup_nF_n\subset F_N$.
Но $\bigcup_nF_n=[a,b]$, $F_N=\{x_N\}$, поэтому получаем, что $(\alpha,\beta)\cap[a,b]=\{x_N\}$, невозможность чего легко доказывается опять же лишь исходя из свойств действительных чисел.

cxzbsdhwert в сообщении #1713589 писал(а):

Я про отрезок в $\mathbb Q$ вчера спрашивал, мне показали что он не замкнут:
А почему $X=\{x\in \mathbb Q: 0\leq x \leq 1\}$ не замкнуто?

Не замкнуто в чем? В $\mathbb{R}$? Тогда это не вопрос о замкнутости в $\mathbb{Q}$ отрезка $[0,1]$, а вопрос о замкнутости в $\mathbb{R}$ множества $[0,1]\cap\mathbb{Q}$.

[skobar]

tolstopuz в сообщении #1713588 писал(а):

Более того, отрезок в $\mathbb{Q}$ замкнут, несмотря на счетность

Вот это вы зря упомянули :) Для TC "открытость" и "замкнутость" - это абсолютные понятия, как они определяются для $\mathbb{R}$. О существовании "открытости" и "замкнутости" в контексте других топологических пространств TC едва ли подозревает, и, боюсь, даже после десятка простынок на эту тему донести это до TC не удастся, только запутает его ещё больше.

[tolstopuz]

skobar в сообщении #1713592 писал(а):

О существовании "открытости" и "замкнутости" в контексте других топологических пространств TC едва ли подозревает, и, боюсь, даже после десятка простынок на эту тему донести это до TC не удастся, только запутает его ещё больше.

(Оффтоп)

Я уже не в первый раз объясняю это разным людям, кому-то успешно, кому-то нет. Один знакомый регулярно цитировал что-то про компактные операторы, что осталось у него в голове от курса функана, а про открытость даже относительно подпространства не знал :)

[cxzbsdhwert]

tolstopuz
Хорошо а Вы можете это переформулировать не через слово "противоречие" а цепочкой причинно-следственных связей (импликаций), таких, чтобы получилось ложным утверждение о счётности отрезка?
Например: Отрезок счётен. Если истинность(отрезок счётен) то истинность(следствие). Если истинность(следствие) то истинность(следствие2)

Давайте, чтобы не утруждать Вас:

Если (есть нбчс набор одноточечных замкнутых множеств) то (существует отрезок $F$ который является их объединением). Если (отрезок $F$ является объединением нбчс набора одноточечных замкнутых множеств), то (отрезок $F$ нбчс и замкнут). Если (отрезок $F$ нбчс И замкнут И является объединением нбчс набора одноточечных множеств), то (по Теореме Бэра ... тут короче это всё следствие ложно)

Ну последнее следствие ложно и вслед за ним по цепочке первое следствие ложно (правда и причина же тогда)

Так?

[skobar]

(tolstopuz)

tolstopuz в сообщении #1713593 писал(а):

Я уже не в первый раз объясняю это разным людям, кому-то успешно, кому-то нет :)

Я как бы тоже объясняю не в первый раз и исходя из опыта общения с TC рискну предположить, что объяснить ему открытость и замкнутость в разных топологических пространствах у вас не получится (и это и не надо для ответа на его вопрос). Сниму шляпу, если вам это удастся :)
Насколько я вижу, проблема TC в том, что он неправильно трактует формулировку следствия из теоремы Бэра и не умеет правильно строить доказательство "от противного"

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713595 писал(а):

Хорошо а Вы можете это переформулировать не через слово "противоречие" а цепочкой причинно-следственных связей (импликаций), таких, чтобы получилось ложным утверждение о счётности отрезка?

Я так и делал, надо просто собрать все вместе. Правда, там не совсем цепочка, а граф, но тривиальные ветки можно писать в скобках.

1. Допустим, отрезок счетен.
2. Если отрезок счетен, то существует счетное семейство одноточечных множеств, объединением которых является этот отрезок.
3. Если существует такое семейство, то (вспоминая, что одноточечное множество и отрезок замкнуты) выполняются условия теоремы Бэра.
4. Если выполняются условия теоремы Бэра, то существуют интервал и номер одноточечного множества, для которых выполняется заключение теоремы Бэра.
5. Если существуют интервал и номер одноточечного множества, для которых выполняется заключение теоремы Бэра, то этот интервал и исходный отрезок пересекаются в одной точке.
6. Если интервал и отрезок пересекаются в одной точке, то я папа римский.