Доказать несчётность отрезка теоремой Бэра

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713597 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713595 писал(а):

Хорошо а Вы можете это переформулировать не через слово "противоречие" а цепочкой причинно-следственных связей (импликаций), таких, чтобы получилось ложным утверждение о счётности отрезка?

Я так и делал, надо просто собрать все вместе. Правда, там не совсем цепочка, а граф, но тривиальные ветки можно писать в скобках.

1. Допустим, отрезок счетен.
2. Если отрезок счетен, то существует счетное семейство одноточечных множеств, объединением которых является этот отрезок.
3. Если существует такое семейство, то (вспоминая, что одноточечное множество и отрезок замкнуты) выполняются условия теоремы Бэра.
4. Если выполняются условия теоремы Бэра, то существуют интервал и номер одноточечного множества, для которых выполняется заключение теоремы Бэра.
5. Если существуют интервал и номер одноточечного множества, для которых выполняется заключение теоремы Бэра, то этот интервал и исходный отрезок пересекаются в одной точке.
6. Если интервал и отрезок пересекаются в одной точке, то я папа римский.

Ну хорошо, Вы же согласитесь, что если я на второй импликации в качестве следствия положу неодноточечное множество, то такого противоречия не произойдёт?

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713598 писал(а):

Ну хорошо, Вы же согласитесь, что если я на второй импликации в качестве следствия положу неодноточечное множество, то такого противоречия не произойдёт?

А если вместо теоремы Бэра попытаться применить теорему Пифагора или Коши-Буняковского, то может вообще ничего не получиться. И что?

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713599 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713598 писал(а):

Ну хорошо, Вы же согласитесь, что если я на второй импликации в качестве следствия положу неодноточечное множество, то такого противоречия не произойдёт?

А если вместо теоремы Бэра попытаться применить теорему Пифагора или Коши-Буняковского, то может вообще ничего не получиться. И что?

Так согласны или нет, что такого противоречия не будет?

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713600 писал(а):

Так согласны или нет, что такого противоречия не будет?

А если будет, то что? Спросите про еще какое-нибудь множество?

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713601 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713600 писал(а):

Так согласны или нет, что такого противоречия не будет?

А если будет, то что? Спросите про еще какое-нибудь множество?

Наблюдение и вопрос, но не про множества. Так Вы согласны или нет?

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713602 писал(а):

Так Вы согласны или нет?

Может, будет, а может, нет. Смотря какое семейство множеств взять.

А зачем портить верное доказательство? Подойдите как-нибудь к плотнику и спросите: а если этот гвоздь забить не сюда, а вон туда, то шкаф держаться будет? А если туда? А если совсем туда? Боюсь, плотник может забить гвоздь вам в голову...

[skobar]

Все ходит по кругу, если почитать ветку, то все это уже было :)
Попробуем по другому:
cxzbsdhwert
Ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: что в точности должно быть уже дано (или что у вас уже должно быть), чтобы можно было применять теорему Бэра (точнее, следствие из неё)? Другими словами, в какой ситуации можно использовать теорему Бэра?

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713604 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713602 писал(а):

Так Вы согласны или нет?

Смотря какое семейство множеств взять.

Такое, чтобы не возникло показанное Вами противоречие. Например $F$ - нбчс отрезок, тогда набор $\{F_n\}$ - из двух пересекающихся подмножеств $F$ от левого края до середины - первое, и от середины до правого края - второе.
Я не понимаю, от того задам ли я последующий вопрос или нет зависит Ваше отношение к наличию или отсутствию противоречия?

Ответьте пожалуйста возникнет ли показанное Вами противоречие или нет?

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713606 писал(а):

Например $F$ - нбчс отрезок, тогда набор $\{F_n\}$ - из двух пересекающихся подмножеств $F$ от левого края до середины - первое, и от середины до правого края - второе.

Так противоречия не возникнет. Это означает, что выбран неудачный путь к противоречию, надо вернуться назад и выбрать другой.

[cxzbsdhwert]

skobar
Не совсем понял вопрос. Теорема истинна или ложна вне времени. Если Вы имеете в виду в отношении чего применять - в отношении $F$, представленного в некотором виде

[skobar]

cxzbsdhwert в сообщении #1713610 писал(а):

Если Вы имеете в виду в отношении чего применять - в отношении $F$, представленного в некотором виде

Да, именно это я и имею ввиду. Можете четко сформулировать, что должно быть задано, чтобы были созданы условия, в которых можно применять теорему Бэра.

[cxzbsdhwert]

tolstopuz в сообщении #1713609 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1713606 писал(а):

Например $F$ - нбчс отрезок, тогда набор $\{F_n\}$ - из двух пересекающихся подмножеств $F$ от левого края до середины - первое, и от середины до правого края - второе.

Так противоречия не возникнет. Это означает, что выбран неудачный путь к противоречию, надо вернуться назад и выбрать другой.

Хорошо, и тем самым Вы неявно согласились с тем, что у вышеуказанной причины есть более одного следствия.

Если отрезок нбчс - то существует одноточечное ...
Если отрезок нбчс - то существует не одноточечное ...

Я пытался понять, на основании чего одного следствие ставилось выше другого. Другое просто игнорировалось.

[tolstopuz]

cxzbsdhwert в сообщении #1713612 писал(а):

Я пытался понять, на основании чего одного следствие ставилось выше другого. Другое просто игнорировалось.

Для любой причины можно придумать бесконечное множество следствий. Как называл это Борхес, "сад расходящихся тропок". Выбирается та тропка, которая ведет к желаемому результату, в данном случае верному доказательству.

[cxzbsdhwert]

tolstopuz
Если в следствии использовать квантор "существует", то тогда всё следствие являются конъюнкцией -

Если отрезок нбчс то - (существует одноточечное ... И существует неодноточечное ...)

И тогда действительно для ложности следствия (а значит и ложности причины) достаточно ложности только одного операнда

[Mikhail_K]

cxzbsdhwert в сообщении #1713612 писал(а):

Я пытался понять, на основании чего одного следствие ставилось выше другого. Другое просто игнорировалось.

Потому что такова математика. В математике на каждом этапе построения доказательства мы можем сделать много разных выводов, много разных логических ходов. Но делаем какой-то один, а другие не делаем и вообще не рассматриваем, и нам неважно куда они ведут. Мы не обязаны как-то объяснять этот свой выбор хода - какой хотим, такой и делаем. Это так в любых математических доказательствах.

Ну я же приводил выше примеры. При разложении на множители $x^4+1$ удачным является ход - прибавить и вычесть $2x^2$ а затем воспользоваться формулами квадрата суммы и разности квадратов. Есть много других возможных ходов, но мы ими не пользуемся и не интересуемся, куда они ведут. Скорее всего, они не ведут никуда.

Было также точное сравнение - а что если вместо теоремы Бэра использовать теорему Пифагора или теорему Коши-Буняковского? Откуда нам знать, что будет? Мы просто не рассматриваем эти пути доказательства.

Так и тут - мы просто не рассматриваем разбиения на неодноточечные множества, и нам неважно, ведут они к противоречию или не ведут. Нам нужно получить противоречие каким-то одним способом, а все возможные выводы из написанных утверждений мы рассматривать не обязаны.

-- 29.12.2025, 21:01 --

cxzbsdhwert в сообщении #1713614 писал(а):

являются конъюнкцией -

Если отрезок нбчс то - (существует одноточечное ... И существует неодноточечное ...)

И из неё следует такая: Если отрезок нбчс то - (существует одноточечное разбиение). Вот ею мы и пользуемся при доказательстве. Существование неодноточечного разбиения тоже имеет место, но мы им не пользуемся. Так же как не пользуемся теоремой Пифагора или теоремой Ферма, хотя они тоже верны.