2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24  След.
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 00:42 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Alpha AXP в сообщении #1635882 писал(а):
3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.

(Оффтоп)

Цитата:
Какой у вас глубокий взгляд, как он влечет и манит!

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Vladimir Pliassov, поскольку Вы очевидно необучаемы, я настоятельно предлагаю Вам прежде, чем Вы начнёте постить очередные простыни бессмысленных рассуждений о комбинациях конъюнкций каких-то непонятных $p$, $q$, $\neg p$ и $\neg q$, а также сочинять собственные варианты понятий логики, ответить на мой вопрос:
epros в сообщении #1635786 писал(а):
Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 13:15 


21/04/19
1232
1.

epros в сообщении #1635786 писал(а):
Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

Как я понимаю, для всей импликации это не получится.

Здесь две высказывательные функции: $x<10$ и $x>100$. Можно обозначить

через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (или наоборот),

и

через $q$ произвольное истинное, а через $\neg q$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (или наоборот).

Пусть $p$ и $q$ -- истинные высказывания, тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$;

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" не выйдет.

Над Вашим выводом ex falso quodlibet и оправданием перед инквизицией думаю.

2.

mihaild в сообщении #1635846 писал(а):
Тогда уж $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$.

Спасибо! Успел исправить.

3.

Я придумал, как вывести импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, которые не выводятся при исключении третьей конъюнкции (а то я уже думал, что это невозможно), и вообще как вывести все восемь возможных импликаций, и это оказалось так просто!

При исключении первой конъюнкции выводятся импликации $\neg p\to q$ и $\neg q\to p$,

при исключении второй конъюнкции выводятся импликации $\neg p\to \neg q$ и $q\to p$,

при исключении третьей конъюнкции выводятся импликации $p\to q$ и $\neg q\to \neg p$,

при исключении четвертой конъюнкции выводятся импликации $p\to \neg q$ и $q\to \neg p$:

$$\begin {matrix}
1.&\boxed {\neg p\wedge \neg q},\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\boxed {\neg p\wedge q},\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&\boxed {p\wedge q}.
\end {matrix} \eqno (6)$$
4.

Alpha AXP в сообщении #1635882 писал(а):
Vladimir Pliassov
Не это ли совпадение вводило Вас в заблуждение из-за которого Вы исключали именно третью конъюнкцию?
$$\begin {matrix}
1.&(\neg p\wedge \neg q ) \rightarrow (\bot \rightarrow \bot) \\
\\
2.&(\neg p\wedge q) \rightarrow (\bot \rightarrow \top)\\
\\
3.&\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}\\
\\
4.&(p\wedge q) \rightarrow (\top \rightarrow \top)
\end {matrix} $$

Правая сторона получается из левой путем замены конъюнкции на импликацию.

1. Ложь и ложь влекут ложь, влекущую ложь.
2. Ложь и истина влекут ложь, влекущую истину.
3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.
4. Истина и истина влекут истину, влекущую истину.

Кстати, прекрасные стихи!

Но их, по-моему, надо понимать не так, что из одной конъюнкции следует импликация, а так, что если при одних и тех же операндах заменить связку $\wedge$ на связку $\to$, то вместо конъюнкции получим импликацию.

Говоря "при одних и тех же операндах", я имею в виду, что $p$ и $q$ заменяются на $\top$, а $\neg p$ и $\neg q$ -- на $\bot$.

Нет, это не было заблуждение. Третья конъюнкция (как и любая другая) исключается либо произвольно, либо под давлением обстоятельств.

Например, при делении натуральных чисел на $2$ и на $3$, можно произвольно исключить третью конституенту $N_3$ (и вместе с ней третью конъюнкцию $p\wedge \neg q$), то есть исключить все числа, которые делятся на $2$ и не делятся на $3$, или произвольно исключить четвертую конституенту $N_4$ (и вместе с ней четвертую конъюнкцию $p\wedge q$), то есть исключить все числа, которые делятся на $2$ и на $3$ (см. п. 3 в сообщении #1635592 и плюс к этому:

Обозначим через $A$ подмножество $\mathbb N$ чисел, которые делятся на $2$, и через $B$ подмножество $\mathbb N$ чисел, которые делятся на $3$, тогда

$N_1=\overline A\cap \overline B, \;\;\; N_2=\overline  A\cap B, \;\;\;N_3=A\cap \overline B, \;\;\;N_4=A\cap B$:

Изображение).

Но при делении натуральных чисел на $4$ и на $2$ третью конъюнкцию приходится исключать по необходимости: третья конституента, которая ей соответствует -- пустая (нет чисел, которые делились бы на $4$, и не делились на $2$.).

Кстати, в Вашем выражении $\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}$ будет $p=\top$ и $\neg q=\bot$, если $p$ и $q$ истинны, а если нет, то будет по-другому. Правильно?

tolstopuz в сообщении #1635845 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).
Например, к импликации $GRH\to A$, доказанной в статье. Или вам наконец-то без дополнительных заклинаний, подпрыгиваний и подмигиваний понятно, что она эквивалентна $GRH\wedge A\vee\neg GRH\wedge\neg A\vee\neg GRH\wedge A$ и дальнейшие пояснения к ней не требуются?

Нет, эта-то выводится. Я имел в виду, что при исключенной конъюнкции $GRH\wedge \neg A$ не выводятся импликации $\neg GRH\to \neg A$ и $\neg GRH\to A$.

Но теперь я знаю, как их вывести:

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge A$ выводится импликация $\neg GRH\to \neg A$,

а

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge \neg A$ выводится импликация $\neg GRH\to A$.

Об этом подробнее в п. 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 13:29 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):
при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge A$ выводится импликация $\neg GRH\to \neg A$,

а

при исключенной конъюнкции $\neg GRH\wedge \neg A$ выводится импликация $\neg GRH\to A$.

(Оффтоп)

Студент сдает зоологию. Знает только про блох. На экзамене достается вопрос про собак. Судент начинает:
- Собаки это млекопитающие, покрыты шерстью. В шерсти водятся блохи...
дальше все про блох....
Препод:
- Ладно молодой человек, расскажите про кошек.
Студент:
- Кошки - это млекопитающие, покрыты шерстью. В шерсти водятся блохи...
дальше все про блох....
Препод:
- Давайте-ка про рыб.
Студент:
- Рыбы это не млекопитающие. Шерстью не покрыты. Покрыты чешуей, но если бы они были покрыты шерстью, то в ней бы водились блохи....

К чему эта графомания? Мы говорили про одну истинную импликацию: $GRH\to A$. До этого говорили про еще одну истинную импликацию $(500<10)\to (500>100)$. Не пора ли вернуться к ним?

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):
Можно обозначить

через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (или наоборот)

Пример пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 15:13 


27/02/24

286
Vladimir Pliassov в сообщении #1635938 писал(а):
Как я понимаю, для всей импликации это не получится.


a). при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$;--"из истины ложь"

b). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

c). при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина";

d). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50>10 \to 50<100$, то есть $p\to q$ -- "из истины истина".

$(\lnot a \leftrightarrow c) \leftrightarrow ((5>10 \to 5<100) \leftrightarrow (500<10 \to 500>100)) $,
$(\lnot b \leftrightarrow d) \leftrightarrow ((\lnot (50<10 \to 50>100) \leftrightarrow (50>10 \to 50<100))$,

Конечно это не классика.
(Это классика далекого будущего)

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 15:54 


21/04/19
1232
epros в сообщении #1635948 писал(а):
Пример пожалуйста!

Если обозначить через $p$ произвольное истинное, а через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое при подстановке соответствующего значения вместо $x$ превращается функция $x<10$, то, например, при $x=5$ будет $p=, а при $x=10$ будет $\neg p=.

При $x<10$ определено $p$, и не определено $\neg p$.

При $x\geqslant 10$ определено $\neg p$, и не определено $p$.

Или что-то не так?

Alpha AXP в сообщении #1635957 писал(а):
d). при $x=50$ получаем истинную импликацию $50>10 \to 50<100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из истины истина".

Но здесь Вы заменили функции: вместо $x<10$ и $x>100$ взяли $x>10$ и $x<100$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 15:58 


27/02/24

286
Vladimir Pliassov в сообщении #1635960 писал(а):
Но здесь Вы заменили функции: вместо $x<10$ и $x>100$ взяли $x>10$ и $x<100$.

Но можно же посмотреть на это по другому: было произведено отрицание утверждения b , которое и есть утверждение d.

Просто я несколько иначе посмотрел на отрицание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Vladimir Pliassov в сообщении #1635960 писал(а):
например, при $x=5$ будет $p=, а при $x=10$ будет $\neg p=.
...
Или что-то не так?

Или что-то не так. $10<10$ это не отрицание $5<10$. Я же говорю: обозначения, вводящие в заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 21:07 


21/04/19
1232
epros в сообщении #1635972 писал(а):
Или что-то не так. $10<10$ это не отрицание $5<10$. Я же говорю: обозначения, вводящие в заблуждение

Правда!

Напишу заново.

Имеем две высказывательные функции: $x<10$ и $x>100$.

Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

и

через $q$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg q$ ложное высказывание, которое является отрицанием $q$,

Тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $p\to \neg q$ -- "из истины ложь";

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $\neg p\to q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" невозможно.

Однако можно сделать наоборот.

Обозначим через $\neg p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $\neg p$,

и

через $\neg q$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x>100$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $q$ ложное высказывание, которое является отрицанием $\neg q$,

Тогда

при $x=5$ получаем ложную импликацию $5<10 \to 5>100$, то есть $\neg p\to q$-- "из истины ложь";

при $x=50$ получаем истинную импликацию $50<10 \to 50>100$, то есть $p\to q$ -- "из лжи ложь";

при $x=500$ получаем истинную импликацию $500<10 \to 500>100$, то есть $p\to \neg q$ -- "из лжи истина".

Но получить истинную импликацию "из истины истина" невозможно.

Теперь правильно?

Alpha AXP в сообщении #1635961 писал(а):
Но можно же посмотреть на это по другому: было произведено отрицание утверждения b , которое и есть утверждение d.

Просто я несколько иначе посмотрел на отрицание.

Утверждение b это $\neg p\to \neg q$, его отрицанием является не $p\to q$, а $\neg p\wedge q$. Это можно увидеть на диаграмме Венна на рис. 2 в сообщении #1635938, если провести аналогию между конъюнкциями и конституентами.

epros в сообщении #1633101 писал(а):
Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция
. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

У меня возникло сомнение в основной (как я понимаю) аксиоме логики высказываний, то есть в $A \to (B \to A)$.

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):
Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию, и поэтому вывод, который за ним следует:

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):
Таким образом, $A\to(B\to A)$.

мне кажется в общем случае неверным.

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число, и пусть оно делится на $2$, то есть пусть высказывание $A= справедливо.

Возьмем еще два высказывания: $C= и $D=, и пусть они оба тоже будут справедливы.

То есть $\lambda$ может быть равно, например, $40$.

Мы исходили из того, что высказывание $A$ справедливо, не приводя причин, по которым оно справедливо. Тем не менее причины этому могут найтись, и одна такая причина нашлась: это справедливое (по условию) высказывание $C= -- из того, что натуральное число делится на $8$, следует, что оно делится и на $2$.

При этом (также справедливое) высказывание $D= не служит причиной тому, что высказывание $A$ является справедливым, -- из того, что натуральное число делится на $5$, не следует, что оно делится на $2$.

Таким образом, мы имеем импликацию $C\to A$ и, конечно, конъюнкцию $C\wedge A$, и имеем конъюнкцию $D\wedge A$, но не имеем импликации $D\to A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

Приведите пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение10.04.2024, 22:54 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
epros в сообщении #1636006 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,
Приведите пример.
Если почитать чуть ниже, видно, что это уже стало фигурой речи и означает конкретное высказывание. "Обозначим через $p$ произвольную сумму сдачи, которую мне дадут с $10$ рублей при покупке товара стоимостью в $x$ рублей при подстановке вместо $x$ соответствующего значения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение11.04.2024, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
мне кажется в общем случае неверным
Тем не менее, формула $A\to(B\to A)$ всегда верна.
Дальше Вы вроде как приводите контрпример, но непонятно, где в нём $B$.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число, и пусть оно делится на $2$, то есть пусть высказывание $A=$"$\lambda$ делится на $2$" справедливо.

Возьмем еще два высказывания: $C=$"$\lambda$ делится на $8$" и $D=$"$\lambda$ делится на $5$", и пусть они оба тоже будут справедливы.

То есть $\lambda$ может быть равно, например, $40$.

<...>

Таким образом, мы имеем импликацию $C\to A$ и, конечно, конъюнкцию $C\wedge A$, и имеем конъюнкцию $D\wedge A$, но не имеем импликации $D\to A$.
Нет, для $\lambda=40$ (и вообще для любого $\lambda$, для которого верны $A$, $C$ и $D$) верно и $C\to A$, и $D\to A$.

Просто $C\to A$ верно вообще для всех $\lambda$, а $D\to A$ верно не для всех $\lambda$ (и, таким образом, утверждение $\forall\lambda,\,D\to A$ неверно). Подразумевая квантор $\forall\lambda$ вначале, можно для краткости сказать и просто: $D\to A$ неверно (но если мы так говорим, то обязательно подразумеваем, что имели в виду неверность $\forall\lambda,\,D\to A$. А само $D\to A$ при некоторых $\lambda$ может быть и верным).

Замечание: было бы лучше везде писать не $A,C,D$, а $A(\lambda)$, $C(\lambda)$, $D(\lambda)$ - чтобы акцентировать внимание на том, что это предикаты, зависящие от переменной $\lambda$.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Мы исходили из того, что высказывание $A$ справедливо, не приводя причин, по которым оно справедливо. Тем не менее причины этому могут найтись, и одна такая причина нашлась
<...>
При этом (также справедливое) высказывание $D$ не служит причиной тому, что высказывание $A$ является справедливым
Справедливость или несправедливость импликации не связана с "причинами".

-- 11.04.2024, 22:16 --

P.S. Пожалуйста, не пишите кавычки " внутри формулы (внутри долларов). Такие формулы потом плохо цитируются из-за какого-то сбоя. Можно писать например так: $A=$"$\lambda$ делится на $2$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение11.04.2024, 23:08 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):
Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.
Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию
В последнем предложении есть две импликации, и оно не говорит прямо об истинности ни утверждения $A$, ни утверждения $B$. Ваша же версия с конъюнкцией означает, что утверждения $A$ и $B$ оба одновременно истинны. Замечаете, насколько вы извратили смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение12.04.2024, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):
Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию
Нет. Когда я говорю "если $A$, то $B$", то я всегда имею в виду импликацию и ничего не говорю про истинность ни $A$, ни $B$. Когда я говорю "если завтра пойдёт дождь, то я не пойду на прогулку", я не имею в виду, что завтра обязательно пойдёт дождь. И тем более не имею в виду, что обязательно останусь дома (а отказаться от прогулки я могу, даже если дождя не будет).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 356 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group