Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).

[EUgeneUS]

KhAl в сообщении #1611650 писал(а):

То есть Ваше мнение в том, что:

Моё мнение состоит в том, что
а) невозможно угадать единственное верное число из $\mathbb{R}$
б) если в условиях указано "найти", то да нужно показать, что ответ именно найден.

Кстати, уже писал об этом выше.

[EminentVictorians]

EUgeneUS
В условии еще указано "иcпoльзуя тoлькo oпрeдeлениe Koши". А если я введу свое какое-нибудь определение предела, потом что-нибудь навывожу на бумаге и найду предел нужной нам последовательности. Но это будет предел в моем смысле. Потом докажу эквивалентность моего предела и предела Коши. Получится, что я предел нашел, но вот определение Коши не использовал. Я правильно решу задачу?

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1611655 писал(а):

Получится, что я предел нашел, но вот определение Коши не использовал.

Как это не использовали, если:

EminentVictorians в сообщении #1611655 писал(а):

Потом докажу эквивалентность моего предела и предела Коши

[EminentVictorians]

Ну да. Эквивалентность докажу. Но при поиске предела я определение Коши не использовал. Можете считать, что я вообще нигде не использовал типичные для определения Коши значки типа $\varepsilon$, $N = N(\varepsilon)$, модули и все такое вне блока, в котором я доказываю эквивалентность.

Просто требуется-то как бы "найти предел, пользуясь определением Коши", а я нашел предел, но пользуясь своими методами (а потом просто доказал, что предел по Коши совпадет с моим пределом).

[KhAl]

Цитата:

б) если в условиях указано "найти", то да нужно показать, что ответ именно найден.

это противоречит бытовой интуиции. если вещь лежит перед вами, то вы её вроде как нашли?..

ИМХО, "найти" — синоним "предъявить"

[EUgeneUS]

Уточню. Вы имеете в виду, что докажете эквивалентность Вашего определения и определения Коши?
Тогда, это можно "развернуть": сначала доказать эквивалентность определений, а потом пользоваться новым. Это удовлетворяет условиям.
А так как логически эквивалентно, в каком порядке это делать, то подходит.

-- 28.09.2023, 21:59 --

KhAl в сообщении #1611659 писал(а):

это противоречит бытовой интуиции. если вещь лежит перед вами, то вы её вроде как нашли?..

Как раз-то противоречит.
Если требуется "найти", то в данный момент неизвестно, где находится.

[Утундрий]

А почему вы все называете критерий Коши "определением"?

[EUgeneUS]

Утундрий
Потому что так повелось со стартового поста.

-- 28.09.2023, 22:09 --

Ещё интересно, как с помощью критерия Коши можно найти значение предела?

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1611661 писал(а):

А почему вы все называете критерий Коши "определением"?

Здесь под "определением Коши" имелось в виду обычное определение предела последовательности в стиле $\varepsilon - \delta$.

EUgeneUS в сообщении #1611660 писал(а):

Тогда, это можно "развернуть": сначала доказать эквивалентность определений, а потом пользоваться новым. Это удовлетворяет условиям.

А теперь, вот как это будет примерно выглядеть:
1)Определяю предел функции в стиле "для любой окрестности $U$ точки $A$ найдется элемент $B$ базы $\Sigma$ такой, что $f(B) \subset U$.
2)Доказываю, что $\mathbb R$ является топологическим полем.
3)Пользуюсь свойствами типа "предел суммы равен сумме пределов" и т.п. (если скажете, что не имею права, то у меня будет встречный вопрос: а кто тогда та конечная инстанция, которая определяет, на что я имею право, а на что нет).
4)Нахожу предел. (именно нахожу, а не угадываю; тут без жульничества)
5)Доказываю эквивалентность с определением в стиле Коши.

Вы говорите, что такое решение будет удовлетворять требуемым условиям. Но это же абсурд. Имелось в виду явно другое решение.

[Утундрий]

Я намекал на то, что критерий это вещь, работающая в обе стороны. Покажите, что при всех значениях $A$, кроме единицы, нельзя для произвольного положительного эпсилон подобрать такое дельта, что... и далее по тексту.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1611665 писал(а):

3)Пользуюсь свойствами типа "предел суммы равен сумме пределов" и т.п. (если скажете, что не имею права, то у меня будет встречный вопрос: а кто тогда та конечная инстанция, которая определяет, на что я имею право, а на что нет).

Эти свойства нужно доказать из определения того или другого (эквивалентного).
Инстанция тут простая - условия.

EminentVictorians в сообщении #1611665 писал(а):

Вы говорите, что такое решение будет удовлетворять требуемым условиям. Но это же абсурд. Имелось в виду явно другое решение.

Какая разница, что имелось в виду, если это не было озвучено?

В байке про барометр тоже "имелось в виду другое решение"

-- 28.09.2023, 22:23 --

Утундрий в сообщении #1611666 писал(а):

Покажите, что при всех значениях $A$, кроме единицы, нельзя для произвольного положительного эпсилон подобрать такое дельта, что... и далее по тексту.

С помощью критерия Коши такое нельзя сделать.
А с помощью определения такое уже демонстрировали.

[EminentVictorians]

Утундрий, по-моему, Вы что-то путаете. Критерий Коши для последовательностей говорит о том, что над $\mathbb R$ фундаментальные и сходящиеся последовательности - суть одно и то же множество. С помощью критерия Коши Вы сможете, разве что, установить фундаментальность последовательности и, значит, наличие у нее предела. Далее, чтобы его найти, придется исходить из обычного определения предела на языке $\varepsilon - \delta$ или из его свойств.

EUgeneUS в сообщении #1611667 писал(а):

Эти свойства нужно доказать из определения того или другого (эквивалентного).

Да, я их доказал до этого (из определения через базу). Они есть.

-- 28.09.2023, 22:27 --

EUgeneUS в сообщении #1611667 писал(а):

Инстанция тут простая - условия.

Я просто хотел максимально довести до абсурда решение, но оставить его подпадающим под Ваши требования. По-моему, получилось.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1611668 писал(а):

Я просто хотел максимально довести до абсурда решение, но оставить его подпадающим под Ваши требования. По-моему, получилось.

1. Требования не мои, а условий задачи.
2. Ваше решение, конечно, самое забубённое из всех предложенных.
3. Не знаю, можно ли считать это доведением до абсурда. Байка про измерение высоты башни с помощью барометра тоже выглядит, как доведение до абсурда, хотя никакого абсурда там нет. Просто персонаж старательно избегал ожидаемого решения (измерение высоты с помощью измерения давления). Ну и получил свою положительную оценку и восторженные отзывы от экзаменатора.

[KhAl]

EUgeneUS в сообщении #1611646 писал(а):

mihaild
Извините, но это уже похоже на троллинг.
ИМХО, Вы прекрасно понимаете, что значение предела Вы не угадали, и оно не пришло к Вам в мухоморном трипе, а было получено, найдено, исходя из свойств предела.
Нет никаких возражений, если Вы об этом заявите прямо, и докажете эти свойства из определения. Это будет соответствовать требованиям, озвученным в условии задачи.

можно на интуитивном уровне понимать свойства предела, не имея возможности их доказать или даже сформулировать. процесс поиска — творческий и не дóлжно его загонять в формальные рамки.

[EUgeneUS]

KhAl в сообщении #1611671 писал(а):

можно на интуитивном уровне понимать свойства предела, не имея возможности их доказать или даже сформулировать.

Можно.
Тогда надо искать другой способ.