Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1612342 писал(а):

У меня нет в этом уверенности

Ладно, тогда продолжу.
4. $\varepsilon > \frac{1}{4 \cdot \sqrt \frac{1}{16 \lceil 1 / \varepsilon^2 + 1 \rceil}}$ (тут можно порасписывать арифметику, предлагаю считать что это до нужного уровня подробности сделано)
5. $\exists n_0: \varepsilon > \frac{1}{4 \sqrt{n_0}}$ (ввод квантора)
6. $n > n_0 \rightarrow \frac{1}{4 \sqrt n_0} > \frac{1}{4 \sqrt n}$ (тоже арифметика)
7. $\exists n_0 \forall n > n_0: \varepsilon > \frac{1}{4 \sqrt n}$ (подстановка)
8. $\exists n_0 \forall n > n_0: \left| \frac{4}{\sqrt n} + 1 - 1\right| < \varepsilon$
9. $A = 1 \rightarrow \forall \varepsilon \exists n_0 \forall n > n_0: \left| x_n - A\right| < \varepsilon$
10. $1 = \lim_n \frac{1}{4 \sqrt n_0} + 1$
Я предполагал, что у Вас возникнут претензии к первому пункту. Если вот это рассуждение Вы считаете допустимым в данной задаче, то я не перестал понимать, что Вы называете "угадыванием".

[EUgeneUS]

mihaild
Поянисните, пожалуйста, про пункт 9.
а) откуда там взялось $A=1$? (возможно, там всё хорошо, но мне непрозрачно)
б) и зачем вообще нужен этот пункт? Если простая группировка слагаемых под модулем в пункте 8 уже приводит к нужному результату.

-- 04.10.2023, 12:03 --

UPD: хорошо, пункт 9 это и есть перегруппировка слагаемых в модуле из пункта 8.
ОК. Никаких претензий к такому решению нет.
Но позвольте, в каком пункте Вы угадали значение предела?
Ни в каком. Вы его нашли в пункте 9.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1612370 писал(а):

Но позвольте, в каком пункте Вы угадали значение предела?

Я думал, что Вы объявите, что в первом.
Тогда я перестал понимать, о чем разговор. Можете привести пример решения, в котором значение предела "угадывается"?

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1612379 писал(а):

Я думал, что Вы объявите, что в первом.

Во1х, если правильно понимаю, результат пункта 1 Вы используете для обоснования перехода от пункта 7 к пункту 8. Здесь выбор единицы вполне понятен и мотивирован: к $\frac{4}{\sqrt{n}}$ нужно прибавить именно единицу (а не какое-то другое число), чтобы получить заданную последовательность.
Во2х, если пункт 1 записать в более общем виде: $\forall d \in \mathbb{R}: \frac{4}{\sqrt{n}} + d - d = \frac{4}{\sqrt{n}}$, то в Ваших выкладках ничего не изменится. Но вопрос про какое-то угадывание в первом пункте снимается.

mihaild в сообщении #1612379 писал(а):

Можете привести пример решения, в котором значение предела "угадывается"?

"Предположим, что предел последовательности равен $1$, подставим это значение в определение предела".
В таком виде выбор $1$ ничем не обоснован и не мотивирован. По крайней мере, явно. А неявно, этот выбор конечно, мотивирован осознанным или неосознанным знанием свойств пределов.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1612392 писал(а):

Во2х, если пункт 1 записать в более общем виде: $\forall d \in \mathbb{R}: \frac{4}{\sqrt{n}} + d - d = \frac{4}{\sqrt{n}}$, то в Ваших выкладках ничего не изменится.

Пункт 1 в максимально общем виде будет $x_n - \lim\limits_{n \to \infty} x_n = f(n)$. Записываем явную формулу для $x_n$, $f(n)$ и "угадываем" значение предела, после чего нам остается доказать, что $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \forall n > n_0: |f(n)| < \varepsilon$.

EUgeneUS в сообщении #1612392 писал(а):

Предположим, что предел последовательности равен $1$, подставим это значение в определение предела

Я ровно это и сделал, только в немного другом порядке.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1612400 писал(а):

Я ровно это и сделал, только в немного другом порядке

Нет. Вы использовали пункт 1 при переходе от пункта 7 к пункту 8. Где выбор значения $1$ мотивирован и обоснован, и не является угадыванием.
А уж где Вы записали пункт 1 - в начале листа, в конце, или на оборотной стороне, собственно к решению не имеет отношения. Это всего лишь вопрос удобства чтения.