2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
EUgeneUS в сообщении #1612279 писал(а):
Причем тут "современные представления о математике" или "представления о современной математике", когда речь об учебной задаче?
Притом, что учебные курсы должны учить думать по-математически; думать так, как думают математики. Это гораздо важнее, чем какая-то частная способность "находить результаты".

Требования "находить ответ" в Вашем смысле (а точнее, оправдываться за способ его предъявления) этому мешают. В математике есть законы логики, допускающие строгое и ясное изложение, а по-математически внятных и строгих законов "нахождения" ответа (в Вашем смысле) нет и они никому не нужны.

Если кроме доказательства ученик должен ещё и "оправдаться" за своё решение, то это прямой путь к шаблонности решений, потому что способов такого "оправдания" (которые точно будут приняты) - почти наверняка, конечное число.

-- 03.10.2023, 22:34 --

EUgeneUS в сообщении #1612279 писал(а):
Подчеркну: находить (результаты), ибо в условии написано "найти", а не "угадать путём многократного повторения иисусовой молитвы".
В математике нет разницы между этими понятиями. И проведение такого различия математике вредит, потому что нагружает её чем-то мутным, нестрогим, внематематическим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Mikhail_K в сообщении #1612283 писал(а):
Притом, что учебные курсы должны учить думать по-математически; думать так, как думают математики.

:facepalm:
Именно.
Курсы должны учить думать и находить результаты.
Умение находить результаты - результат прохождения курса, и является предметом оценки.
Если умение находить результаты не демонстрируется, а демонстрируется угадывание с помощью мухоморов, а равно с помощью иисусовой молитвы, то оценка негативная, субъект ниасилил курс.

-- 03.10.2023, 22:38 --

Mikhail_K в сообщении #1612283 писал(а):
В математике нет разницы между этими понятиями. И проведение такого различия математике вредит, потому что нагружает её чем-то мутным, нестрогим, внематематическим.

Извините, но это уже какое-то пограничное состояние.

-- 03.10.2023, 22:39 --

Именно способность решать задачи без мухоморов и молитв - строго.
А решение задач с мухоморами и молитвами - это нестрого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
EUgeneUS в сообщении #1612284 писал(а):
Курсы должны учить думать и находить результаты.
Повторю - такие представления имеют право на существование, но к математике они не имеют отношения.

Представьте решение, в котором ученик в какой-то момент возводит левую и правую часть в квадрат. Почему он так решил сделать? Почему не в куб, почему не в степень $3.14$? Может быть, потому что там имеются квадратные корни. А если не имеются? - бывают и задачи без квадратных корней, где возведение в квадрат тоже полезно. А если можно возвести обе части в квадрат (а не в куб), то значит можно и подставить число $2$ (а не $3$).

На самом деле, в конечном итоге объяснение "откуда взялся ход решения" - только одно: я попробовал и получилось. Значительная часть изящества математики в том, что если получилось, то победителей не судят, оправдываться за решение не надо. Может быть, покопавшись в своих мыслях, и можно выудить оттуда, почему вообще появилась мысль возводить в квадрат, но ученик не обязан этого делать, не надо его нагружать этой внематематической хренью. Тем более что мысли, ведущие к верной идее, могут быть нестрогими или вообще неверными - никто не обязан за них оправдываться или вообще признаваться в них.

Конечно, объяснить это можно только тем, кто чувствует эту сторону математики. Поэтому ещё раз подчеркну - здесь не о чём спорить, это вопрос культуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:47 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Mikhail_K в сообщении #1612290 писал(а):
На самом деле, в конечном итоге объяснение "откуда взялся ход решения" - только одно: я попробовал и получилось.

Речь не откуда взялся ход решения. А о наличии хода решения как такового.

-- 03.10.2023, 22:49 --

Mikhail_K в сообщении #1612290 писал(а):
Конечно, объяснить это можно только тем, кто чувствует эту сторону математики. Поэтому ещё раз подчеркну - здесь не о чём спорить, это вопрос культуры.

:facepalm:
Да, культура.
Возьмем с потолка число и подставим. Нуок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
EUgeneUS в сообщении #1612292 писал(а):
Речь не откуда взялся ход решения. А о наличии хода решения как такового.
Ход решения с угадыванием ответа и последующим доказательством - вполне корректный ход решения. Утверждать иное = не понимать смысл математических рассуждений. Из дискуссии выхожу, ибо бесполезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 22:58 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Mikhail_K в сообщении #1612294 писал(а):
Утверждать иное = не понимать смысл математических рассуждений. Из дискуссии выхожу, ибо бесполезно.

Тоже склоняюсь к этой мысли.
Ежели кто-то считает, что математическся культура заключается в понимании, что математмческие рассуждения есть угадывания (одного числа из континуума), то признаю - енто моему разуму недоступно и противно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:04 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS в сообщении #1612277 писал(а):
В слове "только", что исключает мухоморные трипы, божьи откровенья, необоснованные желания и прочие томления духа.

А еще, видимо, исключает возможность пользоваться арифметическими действиями, ионами Калия и Натрия в мозге для думанья и чернилами в ручке для записи ответа. Ну а что, эти же объекты не помечены в условии как разрешенные:)

EUgeneUS в сообщении #1612284 писал(а):
А решение задач с мухоморами и молитвами - это нестрого.

Нет. Решение строгое - если оно математически обоснованное. Угадывание единицы из молитвы с последующим ее обоснованием через определение предела - строгое решение.

EUgeneUS в сообщении #1612292 писал(а):
Возьмем с потолка число и подставим. Нуок.

Тоже не вижу ничего "нематематичного" в таком подходе. Интуиция всегда была одной из существенных движущих сил в математике. Победителей действительно не судят. Подставил и получилось - молодец. Не получилось - думай дальше: или подставляй еще, или меняй подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:10 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):
Угадывание единицы из молитвы с последующим ее обоснованием через определение предела - строгое решение.

Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):
Тоже не вижу ничего "нематематичного" в таком подходе.


Открытый вопрос: найти число, с которого начинается цепочка последовательных натуральных чисел длиной $15$, все из которых имеют ровно $36$ делителей.
Тут нужно "угадать" всего лишь любое число из бесконечного подмножества натуральных чисел. А не одно единственное из $\mathbb{R}$
Угадывайте "культурно" и "математично".

-- 03.10.2023, 23:12 --

UPD: можете помолиться. Мухорморный трип не могу рекомендовать - местные законы запрещают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:23 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS
А кто сказал, что это подход работает для всех математических задач?:) Поэтому я и сказал:
Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):
Подставил и получилось - молодец. Не получилось - думай дальше: или подставляй еще, или меняй подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:34 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Dedekind
Угадывать - это
а) не подход
б) не работает ни для каких задач.

Есть, кстати, типичный пример с "угадыванием" - поиск корней полинома, когда корень ищется ("угадывается") как делитель свободного члена.
Так вот. Даже тут никакого угадывания нет. А есть конечный перебор, который приводит к таким вариантам:
1. ищем корень в целых числах.
а) Нашли. Прекрасно.
б) Не нашли. Целочисленных корней нет.

2. Не нашли в целых числах. Попробуем также угадать среди действительных. Угадывайте :mrgreen:

-- 03.10.2023, 23:39 --

Dedekind
И ещё повторю.
1. Угадать одно единственное число из $\mathbb{R}$ - невозможно. Так как у Вас жизни хватит на проверку только конечного множества.
2. Поэтому все эти разговоры про "я угадал, что предел (наверное, скорее всего) равен $1$" - это разговоры в пользу бедных собачек. Которые понимают, что НЕ угадали, а выразить словами и символами свои мысли не могут.

И не нужно, пожалуйста, объяснять, что такие "собачки" - это современный тренд, мейнстрим в математике, и вообще, "культура".

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:50 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS в сообщении #1612317 писал(а):
Угадывать - это
а) не подход
б) не работает ни для каких задач.

Как это не работает, если вот только что была продемонстрирована задача, для которой работает? Причем, в этой задаче для угадывания даже не нужно было формулировать свойства предела в явном виде, достаточно просто попробовать самые очевидные числа, на которые намекает сам вид последовательности.

И это ничем не отличается от задачи про корни полинома. Там перебор среди конечного числа делителей, и тут перебор среди конечного числа разумных вариантов, которые сразу приходят в голову. И точно так же: нашли быстро - прекрасно, не нашли быстро - пробуем что-то другое. Никто же не говорит, что нужно часами сидеть и перебирать тысячи натуральных чисел:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение03.10.2023, 23:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Dedekind в сообщении #1612318 писал(а):
Причем, в этой задаче для угадывания даже не нужно было формулировать свойства предела в явном виде, достаточно просто попробовать самые очевидные числа, на которые намекает сам вид последовательности.


Какой вид последовательности, и что значит "намекает"?
Как относится "намекает" к математической культуре?

Очередной раз повторяю, все эти "намеки" и "виды" - это неосознанное применение свойств пределов. А ежели оно так и остаётся неосознанным и не может быть подтверждено выводами из определения - то, "садись, два". Материал не усвоен. (есть вариант, как-то по-другому извернуться, тут были варианты, но все они предполагают не угадывание).

Dedekind в сообщении #1612318 писал(а):
И это ничем не отличается от задачи про корни полинома. Там перебор среди конечного числа делителей, и тут перебор среди конечного числа разумных вариантов, которые сразу приходят в голову.


Конечное число делителей не зависит от головы, что в неё приходит, и даже от некой "разумности".
И может быть перебрано за конечное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение04.10.2023, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
Так, ну давайте я поподробнее запишу начало решение.
1. $\frac{4}{\sqrt n} + 1 - 1 = \frac{4}{\sqrt n}$ (из свойств вещественных чисел, предлагаю всё же их тоже считать известными)
2. $\left | \frac{4}{\sqrt n} \right | = \frac{4}{\sqrt n}$ (тоже из свойств вещественных чисел)
3. $|\frac{4}{\sqrt n} + 1 - 1| = \frac{4}{\sqrt n}$ (транзитивность равенства)
Дальше вроде всё понятно и разногласий нет. И какому пункту противоречит такое решение?
Вопрос "почему в качестве первого утверждения взято такое" смысла не имеет, какое-то утверждение должно быть первым, почему бы и не такое. Может я вообще все доказательства с этого утверждения начинаю, имею право.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение04.10.2023, 00:23 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS в сообщении #1612320 писал(а):
Какой вид последовательности, и что значит "намекает"?
Как относится "намекает" к математической культуре?

Например, единица присутствует в общем члене последовательности в виде отдельного слагаемого. Уже повод ее проверить. Да напрямую относится. Когда решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами начинается со слов: "Будем искать решение в виде суммы экспонент и т.д." Вы же не говорите, что это угадывание из бесконечного множества функций, и потому "нематематично"? Или когда доказательство теоремы начинается с введения вспомогательной функции очень специального вида, единственное обоснование для которого: "если так сделать, то дальше все сойдётся"?

EUgeneUS в сообщении #1612320 писал(а):
Конечное число делителей не зависит от головы, что в неё приходит, и даже от некой "разумности".

Ну там не зависит, а тут зависит. И что, это как-то отменяет конечность вариантов и возможность перебрать их за конечное время?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение04.10.2023, 08:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mihaild в сообщении #1612323 писал(а):
из свойств вещественных чисел, предлагаю всё же их тоже считать известными


Согласен. В определении предела используются действительные числа, а значит их свойства следует считать известными. Иначе это определение "подвисает" и теряет смысл.

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):
Дальше вроде всё понятно и разногласий нет.

У меня нет в этом уверенности :wink:
Но если это так, то:
mihaild в сообщении #1612323 писал(а):
И какому пункту противоречит такое решение?

Никакому. Вы сделали три утверждения (видимо, собираетесь ими пользоваться дальше), эти утверждения можно считать доказанными (см. выше), а уж обоснованными - точно.

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):
Вопрос "почему в качестве первого утверждения взято такое" смысла не имеет, какое-то утверждение должно быть первым, почему бы и не такое. Может я вообще все доказательства с этого утверждения начинаю, имею право.

Мы по разному понимаем вопрос "почему". Требуются уточнения.
1. Конечно, к факту "mihaild написал три утверждения" можно задать кучу вопросов "почему" - почему написал, почему mihaild, почему написал в латехе, почему не на листе с печатью (который выдан на экзамене для черновиков :wink:), почему в таком углу листа, а не в другом, почему в таком порядке, а не в ином, и т.д. и т.п.
Все эти вопросы смысл-то имеют (какой-то свой), но к решению задачи и вообще к математике отношения не имеют никакого.
2. Поэтому речь о вопросах "почему", имеющих отношение к решению и-или его ходу. Тогда вопросы "почему" сводятся к "почему Вы считаете это утверждение верным и доказанным?". Так на эти вопросы к этим трем утверждениям Вы ответы дали, в скобочках.

-- 04.10.2023, 09:00 --

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):
Например, единица присутствует в общем члене последовательности в виде отдельного слагаемого.

1. Формулу для членов этой последовательности можно записать, вообще не испульзуя символа "1". И как угадывать будете.
2. А уж коли Вы упомянули "в виде отдельного слагаемого", так это Вы свойства пределов используете. Только не хотите в этом признаться почему-то. Как-будто что-то стыдное :wink:

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):
Когда решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами начинается со слов: "Будем искать решение в виде суммы экспонент и т.д." Вы же не говорите, что это угадывание из бесконечного множества функций, и потому "нематематично"?

Конечно, не говорю так. Так как никакого угадывания тут нет. А есть попытка использовать конкретное свойство экспоненты: $f'(x) = f(x)$.

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):
Или когда доказательство теоремы начинается с введения вспомогательной функции очень специального вида, единственное обоснование для которого: "если так сделать, то дальше все сойдётся"?

Тут сложно что-то комментировать без конкретики. Однако, уверен, что и в этих примерах никакого угадывания не будет. Так как функция строится вполне конкретная и исходя из каких-то соображений. Эти соображения могут, конечно, собственно в доказательстве теоремы не озвучиваться, чтобы не загромождать текст. Но это не значит, что их не было и нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group