2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение26.09.2023, 19:19 


10/09/13
214
Помогите, пожалуйста, разобраться с формулировкой задачи.
Нaйдитe прeдeл пoслeдoвaтeльности $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\;\;\left(\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1\right)$, иcпoльзуя тoлькo oпрeдeлениe Koши.

Правильно ли я понимаю, что автор по факту имел ввиду, что нужно доказать, что число $1$ является пределом последовательности? То есть начать с неравенства $\left|\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-1\right|<\varepsilon$ и далее найти номер $N(\varepsilon)$, начиная с которого будет выполняться неравенство. Или я неверно понял условие? Или автор хотел, чтобы мы записали$\left|\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A\right|<\varepsilon$ и пробовали каким-то образом подбирать $A$ и $N(\varepsilon)$ (возможно ли вообще это сделать)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение26.09.2023, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
Ответом должно быть "предел такой-то, вот доказательство".
В принципе решение "мне во сне приснилось, что предел равен $1$, а вот доказательство: ..." - вполне корректно. Оно может вызвать небольшие подозрения в том, что решение списано, но ничего принципиально неправильного в нём нет.

(Оффтоп)

Вообще задачи "сделать что-то не пользуясь чем-то" ИМХО очень странные. Ну перепишем из учебника доказательства нужных свойств, назвав их как-то иначе - это никак принципиально не отличается от просто творческого решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение26.09.2023, 22:09 


01/09/14
19/11/24
500
Tosha в сообщении #1611394 писал(а):
(возможно ли вообще это сделать)?

Думаю возможно, но я такое первый раз решаю, поэтому вопрос в зал, верно ли доказательство?:

$\left|\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A\right|<\varepsilon$
Чтобы избавиться от модуля считаем, что $A\leqslant1$.
1. $\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A<\varepsilon$
2. $n>\left(\dfrac{4}{\varepsilon+A-1}\right)^2$
Отсюда видно, что выражение справа будет определено для любых $\varepsilon > 0$ только при $A = 1$ (В остальных случаях знаменатель может обращаться в 0). И, следовательно, только в этом случае будет существовать для любых $\varepsilon > 0$
$N(\varepsilon) = \left[\left(\dfrac{4}{\varepsilon}\right)^2\right]$
Значит предел равен 1.
Если $A>1$, то наверное можно ничего не делать, так как предел уже найден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 03:10 


10/09/13
214
talash в сообщении #1611408 писал(а):
Если $A>1$, то наверное можно ничего не делать, так как предел уже найден.

Интересное рассуждение, спасибо, но тогда можно было изначально сказать - а давайте рассмотрим случай $A=1$. И потом проверить его, а после сказать, что случай $A\ne 1$ можно не рассматривать, так как если предел найден, то он единственный.
Мне скорее интересно - что именно хотел увидеть составитель билетов к экзамену (мне показалась формулировка немного необычной). Такая формулировка была и в других билетах=) Вероятно, что формулировка "найдите предел и докажите по Коши" выглядит еще более странной. Так как если предел уже найдет, то что доказывать? Можно сказать, что подберите подходящее значение $A$ и докажите, что оно является пределом?) Просто явно автор из каких-то соображений не захотел указывать сразу значение $A$ в условии=)

mihaild в сообщении #1611395 писал(а):
Ответом должно быть "предел такой-то, вот доказательство".
В принципе решение "мне во сне приснилось, что предел равен $1$, а вот доказательство: ..." - вполне корректно. Оно может вызвать небольшие подозрения в том, что решение списано, но ничего принципиально неправильного в нём нет.

Спасибо, по всей видимости так оно и есть :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 06:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Tosha в сообщении #1611394 писал(а):
Или автор хотел, чтобы мы записали$\left|\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A\right|<\varepsilon$ и пробовали каким-то образом подбирать $A$ и $N(\varepsilon)$ (возможно ли вообще это сделать)?


Легко записать дальше:
$\left|\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A\right| > \left| 1-A \right|= d$
Равенство в конце это просто обозначение. (UPD: это для $A \le 1$, для $A > 1$ нужно чуть по-другому)
Если $d > 0$, то мы можем выбрать $0 < \varepsilon < d$, для которого условия в определении Коши выполняться не будут.
Откуда $d=0$, а значит $A=1$.

А дальше, да. Нужно найти $N(\varepsilon)$

Кстати,
1. рассуждения talash во втором его пункте довольно странные. Вот тут
talash в сообщении #1611408 писал(а):
Отсюда видно, что выражение справа будет определено для любых $\varepsilon > 0$ только при $A = 1$ (В остальных случаях знаменатель может обращаться в 0). И, следовательно, только в этом случае будет существовать для любых $\varepsilon > 0$

Более того, они неверные. Если $A \le 1$ и $\varepsilon > 0$, то знаменатель в ноль не обращается.

2. И в ответе у него помарка:

talash в сообщении #1611408 писал(а):
$N(\varepsilon) = \left[\left(\dfrac{4}{\varepsilon}\right)^2\right]$


Если правильно понимаю, то такие скобки обозначают арифметическое округление (до ближайшего целого), а нам тут подходит только округление вверх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 07:17 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS в сообщении #1611419 писал(а):
Если $A \le 1$ и $\varepsilon > 0$, то знаменатель в ноль не обращается.

Почему? Например, $A = 0.5$ и $\varepsilon = 0.5$, знаменатель ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 07:43 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Dedekind в сообщении #1611421 писал(а):
Например, $A = 0.5$ и $\varepsilon = 0.5$, знаменатель ноль


Да, там знак у $1-A$ перевернулся, чего я не учел. :roll:
Соответственно и мне знак надо перевернуть: знаменатель не обращается в ноль при $A \ge 1, \varepsilon > 0$
FGJ, выше было сказано, что рассматривается случай $A \le 1$, так что мне нужно снять утверждение, о неврености выкладок в этой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 09:33 


01/09/14
19/11/24
500
EUgeneUS в сообщении #1611419 писал(а):
talash в сообщении #1611408 писал(а):
$N(\varepsilon) = \left[\left(\dfrac{4}{\varepsilon}\right)^2\right]$


Если правильно понимаю, то такие скобки обозначают арифметическое округление (до ближайшего целого), а нам тут подходит только округление вверх.

Согласен, $N(\varepsilon)$ же натуральное, значит с 1 должно начинаться. Написал не задумываясь по аналогии отсюда, а там много таких ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 09:45 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
talash
Немного о странностях во втором пункте.

1. Так как рассматривается случай $A \le 1$, то мы можем в качестве $A$ взять какое-то отрицательное число, но большое по модулю.
2. Например, возьмем $-10$.
3. Тогда проблемы возникнут (знаменатель обратится в ноль) при $\varepsilon = 11$
4. Однако, при анализи последовательностей на наличие предела, нас интересует, что будет происходит при малых $\varepsilon$.
5. И в Ваших выкладках отнюдь не очевидно, что проблемы при $\varepsilon = 11$, приведут к проблемам и при малых $\varepsilon$.

Можно было бы так (не торопиться возводить в квадрат):

$\frac{4}{\sqrt{n}} < \varepsilon + 1 - A$
слева стоит положительное число, тогда можно записать так:

$0< \frac{4}{\sqrt{n}} < \varepsilon + 1 - A$
$0< \varepsilon + 1 - A$
$A > 1 - \varepsilon$
И окончательно,
$A \ge 1$

Это, конечно, не доказывает наличие предела и даже не находит значение предполагаемого предела, а приводит к необходимости рассмотрения случая $A \ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 10:20 
Заслуженный участник


23/05/19
1148
EUgeneUS в сообщении #1611428 писал(а):
4. Однако, при анализи последовательностей на наличие предела, нас интересует, что будет происходит при малых $\varepsilon$.
5. И в Ваших выкладках отнюдь не очевидно, что проблемы при $\varepsilon = 11$, приведут к проблемам и при малых $\varepsilon$.

Но ведь из определения предела это никак не следует. Там сказано, что для любого $\varepsilon$. Поэтому, если уже хоть для $\varepsilon = 1000000$ есть проблемы, то уже не важно, что там происходит при малых $\varepsilon$. Или я что-то неправильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 10:28 


01/09/14
19/11/24
500
Dedekind в сообщении #1611429 писал(а):
EUgeneUS в сообщении #1611428 писал(а):
4. Однако, при анализи последовательностей на наличие предела, нас интересует, что будет происходит при малых $\varepsilon$.
5. И в Ваших выкладках отнюдь не очевидно, что проблемы при $\varepsilon = 11$, приведут к проблемам и при малых $\varepsilon$.

Но ведь из определения предела это никак не следует. Там сказано, что для любого $\varepsilon$. Поэтому, если уже хоть для $\varepsilon = 1000000$ есть проблемы, то уже не важно, что там происходит при малых $\varepsilon$.

Я также понимаю суть идеи Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 10:40 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
talash
Dedekind

Насколько я понимаю суть идеи Коши, она состоит вот в чем:
какое бы малое $\varepsilon$ мы не выбрали, найдется такое $N(\varepsilon)$, что, начиная с него, все члены последовательности окажутся в валютном коридоре $(A-\varepsilon, A+\varepsilon)$, где $A$ - значение предела.

Я не утверждаю, что из проблем при $A=-10, \varepsilon = 11$, не следуют также наличие проблем при более малых $\varepsilon$. Но это следствие неочевидно и закопано где-то глубоко в выкладках.
Непрозачно и коррупционно :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 10:52 


01/09/14
19/11/24
500
EUgeneUS, а Вы попробуйте доказать по Коши, что предел равен -10 и натолкнётесь как раз на проблему, что выражение определено не для всех положительных $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 11:22 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
talash
ОМГ.
Возьмем $A = -10, \varepsilon = 1$

Тогда вот это неравенство:
talash в сообщении #1611408 писал(а):
$\dfrac{4}{\sqrt{n}}+1-A<\varepsilon$


Решений в натуральных числах не имеет, и даже в действительных.

А вот это неравенство
talash в сообщении #1611408 писал(а):
$n>\left(\dfrac{4}{\varepsilon+A-1}\right)^2$

имеет бесконечную серию решений в натуральных числах.

То есть Ваши манипуляции с неравенствами привели к ложным корням, а потом приходится чесать левой пяткой за задним ухом, чтобы их как-то игнорировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).
Сообщение27.09.2023, 11:35 


01/09/14
19/11/24
500
EUgeneUS, я понял, согласен, при избавлении от корня, нужно учитывать область определения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group