Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1611456 писал(а):

У меня есть свой личный способ раскрытия модулей (но пока патентная заявка рассматривается, спешите пользоваться), который говорит что сначала надо рассмотреть случай когда выражение под модулем равно $\frac{4}{\sqrt n}$, а потом уже все остальные случаи. И вот надо же как повезло - окажется что остальные случаи рассматривать не надо.

Кстати, если
а) заметить (что не трудно), что условие $ \left\lvert \frac{4}{\sqrt n} \right\rvert < \varepsilon$ выполняется для любого $\varepsilon > 0$ при достаточно больших $n$. А это доказывает $\lim\limits_{n \to \infty}^{} \frac{4}{\sqrt n} = 0$ по определению.
б) доказать (что опять же совсем не трудно), что
если $\lim\limits_{n \to \infty}^{} a_n = a$, то $\lim\limits_{n \to \infty}^{} (a_n + c) = a+c$

То везение и мистические озарения превращаются в нахождение.

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1611511 писал(а):

Кстати, если
а) заметить

Так если можно пользоваться свойствами, проще сразу использовать их нормально.

1)Константа поделить на бесконечно большую = бесконечно малая
2)Бесконечно малая плюс константа равно эта самая константа (единица).

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1611511 писал(а):

Кстати, если
а) заметить
б) доказать

то непонятно, что значит "пользоваться только определением" (это впрочем итак непонятно). Понятно, что любой человек, решивший три примера из Демидовича на нахождение предела схожу скажет, что ответ $1$. Для доказательства придется немного повозиться, но что такое "нахождение" без "доказательства" - непонятно.

[svv]

Беру $A=1$ и начинаю доказывать, что это предел последовательности в соответствии с определением Коши.
Преподаватель говорит: «Стоп-стоп-стоп. Это банально. А докажите-ка мне сначала на основе определения, что ни одно число $A\neq 1$ не может быть пределом.»
Ну, ладно, раз человек просит.
Пусть $A\neq 1$.
Тогда $\exists n_0: \frac 4{\sqrt{n_0}}<|1-A|$.
Выберем $\varepsilon=|1-A|-\frac 4{\sqrt{n_0}}>0$.
Тогда $\forall n\geqslant n_0:$
$\left|\frac 4{\sqrt{n}}+1-A\right|\geqslant |1-A|-\frac 4{\sqrt{n}}\geqslant |1-A|-\frac 4{\sqrt{n_0}}=\varepsilon$.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1611512 писал(а):

Так если можно пользоваться свойствами, проще сразу использовать их нормально.

mihaild в сообщении #1611527 писал(а):

то непонятно, что значит "пользоваться только определением" (это впрочем итак непонятно).

Требование "пользоваться только определением" понимаю так: если используются какие-то утверждения, отличные от определения, то они должны быть доказаны с использованием только определения и-или ранее доказанных утверждений - в рамках решения задачи.
То есть, если свойства (или упомянутая выше теорема о единстве предела) выводятся из определения при решении задачи, то почему бы ими не пользоваться? Формальное требование соблюдено же.

mihaild в сообщении #1611527 писал(а):

Понятно, что любой человек, решивший три примера из Демидовича на нахождение предела схожу скажет, что ответ $1$.

Понятно, что все эти требования "использовать только..." имеют не практическое значение, а педагогическое - закрепление пройденного материала и подготовка к восприятию следующих тем.

-- 28.09.2023, 06:48 --

svv в сообщении #1611532 писал(а):

Преподаватель говорит: «Стоп-стоп-стоп. Это банально. А докажите-ка мне сначала на основе определения, что ни одно число $A\neq 1$ не может быть пределом.»

А если 20 таких заданий выданы в качестве самостоятельной работы, а преподаватель не говорит, а снижает баллы?

-- 28.09.2023, 07:24 --

svv в сообщении #1611532 писал(а):

Беру $A=1$ и начинаю доказывать, что это предел последовательности в соответствии с определением Коши.
Преподаватель говорит: «Стоп-стоп-стоп...

... а откуда Вы взяли эту единицу? Почему не $e^{\pi}$?" - говорит преподаватель.

Совершенно понятно, что и Вы, и уважаемый mihaild взяли эту единицу из свойств пределов, о которых говорил уважаемый EminentVictorians.
Но ими пользоваться как бы нельзя, и начинаются разговоры про мистические поиски предела под кроватью

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1611534 писал(а):

Требование "пользоваться только определением" понимаю так: если используются какие-то утверждения, отличные от определения, то они должны быть доказаны с использованием только определения и-или ранее доказанных утверждений - в рамках решения задачи

Тогда это требование сводится к бессмысленному переписыванию учебников.

EUgeneUS в сообщении #1611534 писал(а):

А если 20 таких заданий выданы в качестве самостоятельной работы, а преподаватель не говорит, а снижает баллы?

То это повод пойти на кафедру или в учебную часть.

EUgeneUS в сообщении #1611534 писал(а):

взяли эту единицу из свойств пределов

Ну да, если человек видит подобный предел и интересуется его значением, то не пользоваться свойствами предела - это примерно как не думать о белом медведе.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1611544 писал(а):

Тогда это требование сводится к бессмысленному переписыванию учебников.

Во-1х. Не обязательно к переписыванию учебников. Что показали попытки talash.
Во-2х. Даже если бурсак догадается перелистунуть вперед 2-3 страницы учебника, и обнаружит там свойства и их доказательство, то ему нужно будет разобраться с их доказательством на предмет - используется ли там только определение предела, или ещё какие-то утверждения, которые придется доказывать. И тогда это сложно, практически невозможно, назвать бессмысленным переписыванием учебников.

mihaild в сообщении #1611544 писал(а):

То это повод пойти на кафедру или в учебную часть.

Можно и сходить, отчего не сходить.
Где должно быть дано разъяснение, что фраза "найти, используя только ..." подразумевает, что угадыванием или настойкой мухомора для расширения сознания пользоваться тоже нельзя.

mihaild в сообщении #1611544 писал(а):

Ну да, если человек видит подобный предел и интересуется его значением, то не пользоваться свойствами предела - это примерно как не думать о белом медведе.

Типа того.
Вот только никого не интересует собственно значение предела. Тем более оно очевидно.
Это не практическая задача, в которой интересует собственно значение предела, а учебная, в которой интересует как это значение было найдено.
Если ребенка заставляют писать "мама мыла раму", то никого не интересует мыла ли мама раму и какую, а интересует, чтобы почерк вырабатывался и помарок не было.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1611551 писал(а):

Во-1х. Не обязательно к переписыванию учебников

Да, правильная формулировка: простейший способ выполнить это требование - переписать учебник.

EUgeneUS в сообщении #1611551 писал(а):

И тогда это сложно, практически невозможно, назвать бессмысленным переписыванием учебников

Тогда это должно быть упражнение "докажите нужные утверждения". Но ИМХО полезнее просить доказывать утверждения, хоть немного отличающиеся от выдаваемых на лекциях.

EUgeneUS в сообщении #1611551 писал(а):

Можно и сходить, отчего не сходить.
Где должно быть дано разъяснение, что фраза "найти, используя только ..." подразумевает, что угадыванием или настойкой мухомора для расширения сознания пользоваться тоже нельзя.

Может быть еще нужно алгоритм поиска доказательства выписать, а потом уже результаты его работы? Если преподаватель снижает баллы за требования, которые невозможно внятно сформулировать - то это плохой преподаватель.

EUgeneUS в сообщении #1611551 писал(а):

Это не практическая задача, в которой интересует собственно значение предела, а учебная, в которой интересует как это значение было найдено

Учебные задачи, в которых нужно найти значение предела (где под этим понимается "написать число и доказать, что оно такое") вполне допустимы. Если хочется заставить студентов порешать неравенства - то так и надо ставить задачу. Если хочется чтобы студенты посчитали пределы без допустим правила Лопиталя - то надо давать задачи, в которых оно неприменимо, либо его применение безумно трудоемко по сравнению с желаемым методом (но если студент всё же пробил стену лбом, то это надо засчитывать).

EUgeneUS в сообщении #1611551 писал(а):

Если ребенка заставляют писать "мама мыла раму", то никого не интересует мыла ли мама раму и какую, а интересует, чтобы почерк вырабатывался и помарок не было

Это как раз понятная задача.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1611566 писал(а):

Да, правильная формулировка: простейший способ выполнить это требование - переписать учебник.

Во-1х. "Простейший" - это Ваше оценочное мнение.
Во-2х. Будет это простым способом или весьма сложным и рискованным - от обстоятельств зависит. Например, контрольная без доступа к учебникам

mihaild в сообщении #1611566 писал(а):

Тогда это должно быть упражнение "докажите нужные утверждения". Но ИМХО полезнее просить доказывать утверждения, хоть немного отличающиеся от выдаваемых на лекциях.

Во-1х. Должно или не должно - это обсуждение не задачи, а эффективности учебного процесса, где она используется. Я бы избегал углубления в эти дебри.
Во-2х. Так (судя по формулировке задачи) эти утверждения ещё не сформулированы на лекциях. А если студиозис сформулирует некие утверждения, которые ещё только будут на следующей лекции, да ещё и докажет их - ну и молодец.

mihaild в сообщении #1611566 писал(а):

Учебные задачи, в которых нужно найти значение предела (где под этим понимается "написать число и доказать, что оно такое") вполне допустимы

Такой ход допустим для задач "доказать существование предела".
А для задач "найти значение предела" нужно показать, как он был найден. Не угадан, и не привиделся в мухоморном трипе, а найден.

mihaild в сообщении #1611566 писал(а):

Если хочется заставить студентов порешать неравенства - то так и надо ставить задачу.

так она и поставлена.

-- 28.09.2023, 14:48 --

Если угодно, фразу "найти..., используя только определение", следует понимать так:
а) "найти" - это не угадать, а продемонстрировать процесс нахождения конкретного числа.
б) все остальные утверждения, кроме определения, следует считать неизвестными и недоказанными.

ёНо пункт б) никак не запрещает делать какие-то промежуточные утверждения и доказывать их.

[svv]

EUgeneUS в сообщении #1611534 писал(а):

... а откуда Вы взяли эту единицу? Почему не $e^{\pi}$?" - говорит преподаватель.

Совершенно понятно, что и Вы, и уважаемый mihaild взяли эту единицу из свойств пределов, о которых говорил уважаемый EminentVictorians.
Но ими пользоваться как бы нельзя, и начинаются разговоры про мистические поиски предела под кроватью

Все понимают, включая преподавателя, что искать предел последовательности, пользуясь определением предела по Коши, мягко говоря, не самый эффективный способ. Поэтому задание в стартовом сообщении я могу понимать только в таком ключе:
Преподаватель: Убедите меня в том, что вы нашли этот предел, пользуясь определением предела. Автор самого убедительного решения получит зачёт автоматом.

Вот я и предлагаю убедительную сказочку. А именно, рассмотрим рассуждение:

svv в сообщении #1611532 писал(а):

$\exists n_0: \frac 4{\sqrt{n_0}}<|1-A|$.
Выберем $\varepsilon=|1-A|-\frac 4{\sqrt{n_0}}>0$.
Тогда $\forall n\geqslant n_0:$
$\left|\frac 4{\sqrt{n}}+1-A\right|\geqslant |1-A|-\frac 4{\sqrt{n}}\geqslant |1-A|-\frac 4{\sqrt{n_0}}=\varepsilon$.

Здесь мы манипулируем теми же объектами ($n. n_0, \frac 4{\sqrt{n}}, 1, A, \varepsilon$), которые входят в развёрнутую запись утверждения $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{4}{\sqrt{n}}+1\right)=A$ по Коши.
Это рассуждение не проходит в единственном случае $A=1$, затыкаясь уже на первой строке. Конечно, это ещё не означает, что $1$ — предел. Но этого достаточно для вывода о том, что случай $A=1$ требует отдельного рассмотрения.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1611575 писал(а):

Это рассуждение не проходит в единственном случае $A=1$, затыкаясь уже на первой строке. Конечно, это ещё не означает, что $1$ — предел. Но этого достаточно для вывода о том, что случай $A=1$ требует отдельного рассмотрения.

Вот именно, что из этого, по крайней мере следует, что $A=1$ - какой-то специальный случай, который нужно рассмотреть отдельно.
И вопроса, "откуда взялась эта единица" уже не возникает.

svv в сообщении #1611575 писал(а):

Все понимают, включая преподавателя, что искать предел последовательности, пользуясь определением предела по Коши, мягко говоря, не самый эффективный способ. Поэтому задание в стартовом сообщении я могу понимать только в таком ключе:
Преподаватель: Убедите меня в том, что вы нашли этот предел, пользуясь определением предела. Автор самого убедительного решения получит зачёт автоматом.

Причем тут "сказочка"? Речь-то не про Вас лично, а про некого студента, который находится на определенной стадии обучения. И предлагая эту задачу, преподаватель, видимо, имеет целью чего-то там потренировать у студента, или что-то там проверить.

Если тому же студенту на уроке физкультуры дадут задание обойти три раза стадион в полуприсяди, то ожидается, что студент встанет в полуприсяд и обойдет в таком положении стадион три раза. И все понимают, что упражнение тренирует связки колена и мышцы ног (или что там оно тренирует).
А рассуждения на тему, что пешком легче, бегом быстрее, и вообще, зачем стадион обходить три раза, ведь всё равно вернёшься в исходную точку - не ожидаются.

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1611578 писал(а):

А рассуждения на тему, что пешком легче, бегом быстрее, и вообще, зачем стадион обходить три раза, ведь всё равно вернёшься в исходную точку - не ожидаются.

Есть определённая математическая культура в том, чтобы не настаивать на конкретном способе решения задачи, если студент решил её другим способом. А принуждение к решению конкретным способом (в т.ч. запрет на угадывание ответа с последующим проведением необходимого доказательства, искусственное ограничение доступных при решении методов и инструментов) свидетельствует об отсутствии этой культуры. Помимо всего прочего, такие требования могут неслабо демотивировать студентов определённого склада ума.

Если преподаватель боится, что решая задачу своим способом, студент не сможет натренировать какой-то важный навык - надо просто предложить студенту другие задачи, в которых его способ не сработает. Не забыв при этом похвалить студента за находчивость.

[EUgeneUS]

Mikhail_K
Уже и так тут выступаю адвокатом дьявола.
Так как мне такое искусственное усложнение учебных задач отнюдь не нравится.

И уж тем более не хочу переносить обсуждение в разряд: "есть такая культура или нет такой культуры", "насколько это всё кого-то демотивирует" и т.д.

(Оффтоп)

Студентом наблюдал, как лучшего студента на курсе (физфак) демотивировали требования по физкультуре, в результате он запил и уехал домой. Например. Несколько упрощено, там были и другие факторы. Но тем не менее.

Отмечаю только следующее:
1. Требование "найти" - означает "найти", а не угадать.
2. Ограничение на использование других утверждений о пределах, кроме определения, есть. И оно вполне понятно и однозначно.
3. Пункт 2 не может означать, что запрещено делать какие-то промежуточные утверждения и доказывать их.

И наконец 4. Если эти требования не выполнены при решении задачи, преподаватель может снизить балл. И у него на это есть все основания.

А тут выше договорились, что в таких случаях надо идти в учебную часть жаловаться.
Можно и сходить, но баллы это не вернет, а конфликт обеспечит.

[svv]

EUgeneUS в сообщении #1611593 писал(а):

1. Требование "найти" - означает "найти", а не угадать.

Теперь мне будет легко пояснить, почему я сказал "сказочка". Потому что при всём желании у студента вряд ли получится в этом задании "найти" предел (именно с помощью определения по Коши) раньше, чем он найдёт его другим способом или просто угадает. Всё, что он может — post factum сочинить историю о том, как предел был найден исходя из определения.

[EUgeneUS]

svv

Не согласен.
Уважаемый mihaild совершенно справедливо заметил, что очень сложно не думать о белом медведе.
Тут у Вас, у него, у меня, и почти у всех участников темы срабатывает "да тут же предел равен единице, это очевидно".
Опять же совершенно понятно, почему - всем известны свойства пределов, сформулированные выше. Причем настолько известны, что применяются чуть ли неосознанно.
(А у гипотетического студента эти свойства будут только на следующей лекции)
Но даже в таких случаях совсем не обязательно "сочинять сказочку".
Достаточно:
а) сформулировать их
б) доказать, основываясь на определении предела.

Впрочем, это не единственный вариант.