Элементарная алгебра для отстающих

[Dedekind]

horda2501
Ну разве что так $(y+\dfrac{x\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $

[horda2501]

Не смогла понять этого преобразования. Возможно, это слишком сложно потому что несвоевременно или попросту неправильный ход решения в целом.

А в целом это выражение (вернее его часть в скобках) изначально такое:
$(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy})$
Ход решения у меня был таков. Привести к общему знаменателю, далее раскрыть скобки и получилось выражение:
$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
Я сгруппировала первый и третий член (четвёртый и второй, соответственно) и получила ситуацию, в которой нужно оставить в скобках $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ для сокращения (избавления от знаменателя).

Является ли этот ход решения неправильным в целом или допущена ошибка в самих преобразованиях?

На всякий случай приведу всё выражение, которое нужно упростить по заданию.

$(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$

[wrest]

horda2501 в сообщении #1649452 писал(а):

На всякий случай приведу всё выражение, которое нужно упростить по заданию.

При положительных $x$ и $y$ (ну а других в вашем положении и не должно быть), всё очень красиво сворачивается.
Вам надо вспомнить

wrest в сообщении #1624883 писал(а):

что $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ (выучите это уже как Отче Наш, в конце концов.

и

wrest в сообщении #1624885 писал(а):

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ - это тоже надо выучить назубок.

а так же, выучите это: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Пока не выучите, подобные задачи решать не сможете.

[horda2501]

Данные вещи я уже, конечно же, запомнила Однако, сами понимаете, они отнюдь не всегда очевидны, по крайней мере не с моим количеством опыта преобразований алгебраических выражений, тем более иррациональных. Вобщем, буду признательна, если укажете где конкретно произошёл недосмотр.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1649461 писал(а):

не с моим количеством опыта преобразований алгебраических выражений, тем более иррациональных.

А что вам иррациональность, чем мешает? Замените $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$
Ну я бы, для начала, вынес за скобки $\frac{1}{x-y}$ из первоначального задания:

$(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\frac{1}{x-y}\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}}\right)$

[horda2501]

Дело в том, что я не вижу применения формул сокращённого умножения здесь. Квадрат разности не получается в знаменателе, а в числителе вообще не понятно что, если идти в выбранном мною направлении решения.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1649467 писал(а):

Дело в том, что я не вижу применения формул сокращённого умножения здесь.

Есетественно, ведь вы не сделали это?:

wrest в сообщении #1649464 писал(а):

Замените $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$

[horda2501]

Вы знаете, я первый раз столкнулась с таким ходом. Разве можно так вносить в скобки? И куда делся знаменатель у $\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$ ?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1649473 писал(а):

И куда делся знаменатель у $\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$ ?

$\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\frac{1}{x-y}\cdot (2\sqrt{xy})$, не так ли?
Ну и вообще, $a/b=a:b=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \cdot a=a \cdot \dfrac{1}{b}=ab^{-1}$
Выучите это тоже.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1649452 писал(а):

Дело в том, что я не вижу применения формул сокращённого умножения здесь.

Достаточно вспомнить, что $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$,
и сократить, таким образом, первую дробь...

[wrest]

Лукомор в сообщении #1649483 писал(а):

Достаточно вспомнить, что $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$,

Жаль, что ТС упорно игнорирует все эти смешные формулы. Годами:

wrest в сообщении #1610282 писал(а):

Тогда вам надо погуглить "формулы сокращенного умножения" и выучить их наизусть, как вы учили таблицу умножения до 10.
Вот они:

Это формулы, в дальнейшем, будут вам нужны постоянно.

[horda2501]

Лукомор в сообщении #1649483 писал(а):

horda2501 в сообщении #1649452 писал(а):

Дело в том, что я не вижу применения формул сокращённого умножения здесь.

Достаточно вспомнить, что $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$,
и сократить, таким образом, первую дробь...

Я честно хочу разобраться, но решительно не вижу ничего из того о чём говорите вы и Врест Для вас это как семечки плевать, а для меня это ещё серьёзные нагрузки и плохо усвоенные темы, ведь я не занимаюсь математикой столько времени как вы Это упражнение на повторение, к слову. В параграфе, относящемся к темам построения графиков квадратичной функции. В самих упражнениях на соответствующие темы преобразований иррациональных выражений всё же были проще примеры, я просмотрела свои записи. Вообщем для меня это крепкий орешек ещё.

-- 11.08.2024, 22:13 --

wrest в сообщении #1649464 писал(а):

horda2501 в сообщении #1649461 писал(а):

не с моим количеством опыта преобразований алгебраических выражений, тем более иррациональных.

А что вам иррациональность, чем мешает? Замените $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$
Ну я бы, для начала, вынес за скобки $\frac{1}{x-y}$ из первоначального задания:

$(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\frac{1}{x-y}\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}}\right)$

Вот тут не поняла почему в скобки внесено $2xy$, ведь сначала выражение в скобках должно быть решено, затем умножено и только тогда можно складывать, разве нет?

-- 11.08.2024, 22:17 --

wrest в сообщении #1649474 писал(а):

horda2501 в сообщении #1649473 писал(а):

И куда делся знаменатель у $\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$ ?

$\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\frac{1}{x-y}\cdot (2\sqrt{xy})$, не так ли?
Ну и вообще, $a/b=a:b=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \cdot a=a \cdot \dfrac{1}{b}=ab^{-1}$
Выучите это тоже.

И вот тут не поняла почему вы приравняли эти два члена и умножили числитель на единицу. И вообще я всего хода решения не понимаю. Была бы очень признательна, если бы кто-либо объяснил что называется "на пальцах" и пошагово хотя бы первые два действия, как у меня. Я без таких пошаговых ноу-хау ничего не могу усвоить никогда. Как и большинство не одарённых особыми способностями учеников мне кажется.

[dgwuqtj]

horda2501 в сообщении #1649502 писал(а):

ведь сначала выражение в скобках должно быть решено, затем умножено и только тогда можно складывать, разве нет?

Откуда вы это взяли? Можно делать любые тождественные преобразования, в любом порядке. Обычно начинают изнутри, так часто удобнее, но это не обязательно.

[horda2501]

$10\cdot(3+2)+10$
Если внести 10 сначала в скобки, то будет 150, а если сначала сложить и умножить, то 60. Что я упустила из виду в выражении, которое решается на данный момент?

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1649502 писал(а):

И вот тут не поняла почему вы приравняли эти два члена и умножили числитель на единицу.

Так в этой же цитате и написано, почему. Потому что

wrest в сообщении #1649474 писал(а):

$a/b=a:b=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{b} \cdot a=a \cdot \dfrac{1}{b}=ab^{-1}$