Не хочу мучиться в поисках определений "неизвлекаемый корень, "существует" и других подобных
Тогда не используйте понятия, которым не можете дать определения.
Могу только попросить дать определения понятиям "извлекаемый корень", "не существует" и т.п.
Сразу же дам, как только вы укажете, где я эти понятия использовал.
Если же принять эти "необъяснённые" термины
То я могу дать еще более простое доказательство: уравнение

является хрябзиком, относительно которого

является лобзиком. Борзяя, получаем, что решений нет.
А теперь (внимание!) - трудное для понимания логическое умозаключение: я ведь принял, что а существует, поэтому из правой части выражения (1) корень третьей степени извлечь можно.
Так не говорят, но в отличии от предыдущего, можно догадаться, что имеется в виду. Правильно записывается это так:
Пусть

- положительные целые числа, такие что

(зачем вам случайная расстановка
\hat?) и

. Тогда существует число

, такое что

и

.
Тогда

. Тогда

- куб целого числа.
Дальше непонятно, у вас

и

- это одно и то же, или нет? Если одно и то же, то получается, что вы утверждаете, что это куб не просто целого числа, а целого числа, делящегося на

, что надо доказывать. Если разное - то хорошо, существует целое число

(уже обозначенное как

), такое что

. Что дальше?
Теперь вы хотите доказать, что правая часть не куб чётного числа.
Это если

и

- разные буквы, в чем я не уверен.