Дифференциальное уравнение

[Anastacia]

Anastacia писал(а):

Значит плюс-минус можно вообще не ставить? Тогда C_2=-2

Anastacia писал(а):

y={\arcctg (1-x)}
вроде так

так это то верно сосчитано? (:

[Someone]

ewert писал(а):

всё нормально. Есть задачи, когда общее решение не дакётся общей формулой.

Обсуждался ведь не этот вопрос, а совсем другой: насколько безобидно пренебрежение знаками абсолютной величины (модуля). В моём примере общее решение благополучно записывается одной простой формулой. А пренебрежение "двумя палочками" привело к потере решений.

[ewert]

Someone писал(а):

ewert писал(а):

всё нормально. Есть задачи, когда общее решение не дакётся общей формулой.

Обсуждался ведь не этот вопрос, а совсем другой: насколько безобидно пренебрежение знаками абсолютной величины (модуля). В моём примере общее решение благополучно записывается одной простой формулой. А пренебрежение "двумя палочками" привело к потере решений.

Да просто надобно быть аккуратным, тогда и проблем не возникнет.

Это во-первых. А во-вторых: все эти ньюансы с палочками возникают лишь во втором приближении. Когда возникает потребность уточнить: насколько естественным путём полученное решение соотв. начальным данным.

А это случается -- не так уж и часто.

[Someone]

ewert писал(а):

Да просто надобно быть аккуратным, тогда и проблем не возникнет.

Так аккуратность в данном случае и состоит в написании этих самых "двух палочек". Утверждение, что они "загромождают" решение, неубедительно, поскольку в большинстве случаев выбор такой: либо аккуратно написать пару "палочек", либо неаккуратно - пару скобок.

ewert писал(а):

Это во-первых. А во-вторых: все эти ньюансы с палочками возникают лишь во втором приближении. Когда возникает потребность уточнить: насколько естественным путём полученное решение соотв. начальным данным.

Абракадабра какая-то. Ничего не понял.

[Anastacia]

$y''=8*{\sin^3 y}*{\cos y}$
$y(1)=\frac {\pi}{2}$
$y'(1)=2$
$y'(x)=p(y)$
$p*p'=8*{\sin^3 y}*{\cos y}$
$p^2=4{\sin^4 y}+2*C_1$
$(y')^2=4*{\sin^4 y}+2*C_1$
$C_1=0$
$y' =2*{\sin^2 y}$
$\int \frac {dy}{{sin^2 y}}=\int 2dx$
$-{\ctg y}=2x+C_2$
$C_2=-2$
$-{\ctg y}=2x-2$
$y={\arctg (1-x)}$

сие верно?

Добавлено спустя 10 минут 59 секунд:

$y''''-3y'''+3y''-y=x-3$
$k^4-3k^3+3k^2-k=0$
$k*(k-1)^3=0$ => $k_1=0$ $k_2_3_4=1$
$ y_o_o = C_1 + (C_2+C_3*x+C_4*x^2)*e^x$
частное решение неоднородного уравнения
$y =x*(Ax +B)$
$y' =2*Ax +B$
$y'' =2A$
$y''' = y'''' = 0$
$6А-2Ax-B=x-3$

$-2A=1$
$6A-B=-3$

$A = - \frac {1}{2}$
$B=0$

$y = - \frac {1}{2}*x^2$
$y=C_1+(C_2+C_3*x+C_4*x^2)*e^x-\frac {1}{2}*x^2$

и это, пожалуйста, тоже проверьте...

[Someone]

Anastacia писал(а):

$-{\ctg y}=2x-2$
$y={\arctg (1-x)}$

сие верно?

Последняя строчка - нет.

Anastacia писал(а):

$y''''-3y'''+3y''-y=x-3$
$k^4-3k^3+3k^2-k=0$

Одна из этих двух строчек содержит ошибку (скорее всего - первая).

P.S. В математике не принято использовать "$*$" в качестве знака умножения, кроме достаточно экзотических случаев, поэтому Ваши формулы с множеством звёздочек выглядят странно. Чаще всего знак умножения вообще не пишется, а если он позарез нужен, то обычно используется "$\cdot$" или "$\times$".

$\cdot$   $\times$

[Anastacia]

Цитата:

Последняя строчка - нет.

а что там должно быть?

Цитата:

Одна из этих двух строчек содержит ошибку (скорее всего - первая).

первое - это изначальный пример, который надо решить, поэтому он не может быть неверным...
а что не нравится во втором? это характеристическое уравнение....

[Someone]

Anastacia писал(а):

Цитата:

Последняя строчка - нет.

а что там должно быть?

А как решается уравнение $\ctg x=a$? И куда делась "двойка"?

Anastacia писал(а):

Цитата:

Одна из этих двух строчек содержит ошибку (скорее всего - первая).

первое - это изначальный пример, который надо решить, поэтому он не может быть неверным...
а что не нравится во втором? это характеристическое уравнение....

А это характеристическое уравнение не для того уравнения, которое написано в первой строчке. Поэтому хотя бы в одной из этих двух строчек есть ошибка. Я голосую за первую.

[Anastacia]

Как может быть ошибка в условии? Только если в том, что вместо римской IV я написала ''''...

"Двойку" вынесла и посеяла... как всегда блин... надо быть внимательней ):
${\ctg y}=-2(x-1)$
а решением уравнения
${\ctg x}=a$
является
$x={\arcctg a}$

[Someone]

Вообще-то, решением уравнения $\ctg x=a$ является $x=\arcctg a+\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Так что Вам ещё и $n$ нужно определить.

Что касактся ошибки в условии, то посмотрите на последнее слагаемое в левой части. Если там действительно $y$, как Вы написали, то в характеристическом уравнении в соответствующем месте должно быть $1$, а не $k$.

[Anastacia]

Ой, да там ошибка... должно быть y'
А так там решено правильно?

А как n определить здесь? Помнится в школе там для этого какое то условие вроде давалось...

Добавлено спустя 24 минуты 23 секунды:

Хотя кажется поняла. Для этого нужно использовать начальное условие.
$y={\arcctg (2-2x)}+\pi n$
$\frac {\pi}{2}={\arcctg (2-2 \cdot 1)}+\pi n$
$n=0$

[Anastacia]

еще одно уравнение, с которым ступор
$y'''-y''-4y'+4y=(7-6x)e^x$
$k^3-k^2-4k+4=0$
$(k-1)(k^2-4)^2=0$
$k_1=1$
$k_2_3=2$
$k_4_5=-2$
далее по идее нужно составить однородное уравнение, но с этим ступор... не могу понять принцип, по которому оно составляется...

Еще одна непонятная мне вещь:

$y''+6y'+13y=\frac {{\cos x}}{e^3^x} $
$k^2+6k+13$
$D=-16=(4i)^2$ => $k_1_2=(+-)2i-3$
с этим тож непонятно чего дальше творить...
да и вообще не ясно правильно ли в обоих начало сделано

[Someone]

1) Уравнение третьей степени "обычно" имеет три корня в множестве комплексных чисел, если корни считать с их кратностями. Почему у Вас пять?
2) Составить надо не однородное уравнение, а общее решение однородного уравнения. Принцип составления Вы недавно сами демонстрировали.
3) Посмотрите в учебнике, какие частные решения соответствуют корням вида $\alpha\pm\beta i$.
4) Правую часть запишите в виде $e^{-3x}\cos x$.

P.S. Знаки $\pm$ и $\mp$ пишутся как \pm и \mp.
Советую заглядывать сюда: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355. Эти темы находятся в разделе "Работа форума".

[Anastacia]

Ну тогда в первом получается 3 корня
$k_1=1$
$k_2=2$
$k_3=-2$
$y_o_o=C_1e^x+C_2e^2^x+C_3e^-^2^x$
частное решение неоднородного уравнения
$y=x(Ax+B)e^x$
а вот дальше глухо...

$n$ при арктангенсе посчитано хоть верно? а то я в своих ответах никогда не могу быть уверенной на 100%...

Добавлено спустя 2 часа 32 минуты 56 секунд:

Цитата:

$y''=8*{\sin^3 y}*{\cos y}$
$y(1)=\frac {\pi}{2}$
$y'(1)=2$
$y'(x)=p(y)$
$p*p'=8*{\sin^3 y}*{\cos y}$
$p^2=4{\sin^4 y}+2*C_1$
$(y')^2=4*{\sin^4 y}+2*C_1$
$C_1=0$
$y' =2*{\sin^2 y}$
$\int \frac {dy}{{sin^2 y}}=\int 2dx$
$-{\ctg y}=2x+C_2$
$C_2=-2$
$-{\ctg y}=2x-2$
$y={\arctg (2-2x)}+{\pi}n$
$y(1)=\frac {\pi}{2}$ => n=0

вот.. проверьте пожалуйста

[Anastacia]

так правильно?
$y'''-y''-4y'+4y=(7-6x)e^x$
$k^3-k^2-4k+4=0$
$(k-1)(k^2-4)^2=0$
$k_1=1$
$k_2=2$
$k_3=-2$

$y_o_o=C_1e^x+C_2e^2^x+C_3e^-^2^x$
решение частного неоднородного уравнения
$y=x(Ax+B)e^x$
$y'=e^x(Ax^2+Bx+2Ax+B)$
$y''=e^x(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)$
$y'''=e^x(Ax^2+Bx+6Ax+3B+6A)$
подставляем в исходное уравнение
выражение упрощается, а е сокращается
$-6Ax-3B+4A=7-6x$

$-6A=6$
$-3B+4A=7$

$A=1$
$B=-1$

частное решение неоднородного уравнения
$y=(x^2-x)e^x$
общее решение исходного уравнения
$y=C_1e^x+C_2e^2x+C_3e^-^2^x+(x^2+x)e^x$

Добавлено спустя 18 минут 55 секунд:

Еще одна непонятная мне вещь:

$y''+6y'+13y=e^(-3x) * {\cos x}$
$k^2+6k+13$
$D=-16=(4i)^2$ => $k_1_2=\pm 2i-3$

общее решение однородного уравнения

$y_o_o=e^-^3^x(C_1{\cos2 x}+C_2{\sin 2x})$
частное решение неоднородного уравнения
$y=(A{\cos x}+B{\sin x})e^x$
$y'=((A+B){\cos x}+(-A+B){\sin x})e^x$
$y''=(2B{\cos x}-2A{\sin x})e^x$
подставляем в исходное
$(19A+8B){\cos x}+(19B-8A){\sin x}={\cos x}$
а вот подсчет A и B затруднился тем, что коэффиценты не позволяют увидеть целые числа... а при домножении вообще фигня какая-то выходит...