Дифференциальное уравнение

[Anastacia]

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

$y''''*thx=y'''$

[shwedka]

Обозначьте $y'''=z$

[Anastacia]

Ну про замену то я понимаю. Советы где либо только этим и заканчивались... А дальше то делать? Ни в одном из трех справочников дома не нашла подобного задания, поэтому нахожусь в ступоре...

[Narn]

А что у Вас получается после такой замены? Выпишите, пожалуйста.

[Anastacia]

$z'*thx=z$

[ИСН]

Ну вот, собственно, и всё: это уравнение с разделяющимися переменными. Дальше стандартным образом.

[Anastacia]

максимум, что приходит в голову это
$\frac{dz}{dx}*thx=z$
можете хоть наводку какую-нибудь кинуть? а то я реально не знаю, как его делать... и в учебнике ничего нету, уже 4 раза перечитала весь раздел с уравнениями... не подумайте, что мне нужно готовое решение, отнюдь нет. для меня важнее понять, потому что при проверке все равно спросят где что взяла и как получила...

[Someone]

Anastacia писал(а):

и в учебнике ничего нету

А что у Вас за учебник такой, что в нём простейшее уравнение не рассматривается?

[Anastacia]

вы еще спросите, что у меня за преподаватель, который провел 2 лекции за полгода
а в учебнике рассматривается такое:

$y'=\frac {-y}{x}$

и на этом все примеры заканчиваются...

[Narn]

ИСН писал(а):

это уравнение с разделяющимися переменными

Посмотрите эту тему. Какой у Вас учебник? С таких уравнений обычно начинают. Еще это уравнение - однородное линейное. Может, в Вашей книжке вся теория туда отнесена?

Можно посмотреть Петровского, Лекции по ОДУ, или Филиппова, Сборник задач по ОДУ.

А в соседней теме - как раз об этом и речь. Можно вообще туда заглянуть: lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=14809

[Someone]

А Ваше уравнение решается таким же способом, как и этот пример. Разделяете переменные (чтобы все $x$, включая $dx$, были в одной части уравнения, а все $y$, включая $dy$ - в другой), а потом интегрируете.

Anastacia писал(а):

вы еще спросите, что у меня за преподаватель, который провел 2 лекции за полгода

Сочувствую.

[Anastacia]

Нет, линейные я смотрела и даже почти решила одно... Там не то... Ладно, буду искать. Спасибо... Можете хотя бы тогда проверить это?

$6xdx-ydy=y(x^2)dy-3x(y^2)dx$
$6xdx+3x(y^2)dx=y(x^2)dy+ydy$
$3x*(2+y^2)dx=y*(x^2+1)dy$
$ \int \frac {3xdx} {2+y^2}= \int \frac {ydy} {2+y^2}$
$(3/2)* \int \frac {d(x^2+1)} {x^2+1}=(1/2)*\int \frac {d(y^2+2)} {y^2+2}$
$3*ln(x^2+1)=ln(y^2+2)+lnC$
$3ln(x^2+1) = ln(y^2+2)+ lnC$
$3ln(x^2+1) - lnC = ln(y^2+2)$
$ln(x^2+1)^3 - lnC = ln (y^2+2)$
$ln \frac{(x^2+1)^3}{c} = ln(y^2+2)$
$\frac {(x^2+1)^3}{c} = y^2+2$
$y^2 = \frac {(x^2+1)^3}{c} - 2$
$y = \sqrt{\frac{(x^2+1)^3}{c}-2}$

[Someone]

При извлечении квадратного корня, конечно, появляется $\pm$. А обозначения стандартных функций следует писать с "\" впереди: $\sin x$, $\th x$, $\ln x$.

$\sin x$, $\th x$, $\ln x$

А так всё нормально. Но тогда мне непонятно, почему Вы не можете решить уравнение $z'\th x=z$. Оно даже проще.

[Narn]

Не считая описки в четвертой строке, верно. Чтобы уж совсем не к чему было придраться, можно в последней строке плюс-минус добавить. А $\ln C$ можно было написать слева, тогда он оказался бы в числителе.

[Anastacia]

Цитата:

А в соседней теме - как раз об этом и речь. Можно вообще туда заглянуть: lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=14809

доказание теоремы мне вряд ли поможет...