2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.
 
 
Сообщение15.06.2008, 18:51 
Anastacia писал(а):
а как я его найду? начальное условие, как я пониманию, дано y'(x) и y(x)

Да, это стандартная заминка. На первый взгляд кажется, что там игрек чему-то равен, и его производная чему-то -- и всё.

Но Вы вдумайтесь в условие. Что оно означает? -- ровно то, что $x=1$ соответствует $y=\frac {\pi}{2}$, которая, в свою очередь, соответствует $y'=2$. И -- ровно ничего больше.

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 18:52 
Поняла, точнее нашла похожее и после этого вникла... Там через систему... Значит C_1=4
так?

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 18:57 
может, я и тупой, но мне чего-то кажется. что эта константа попросту равна нулю. (А иначе бы, кстати, следующий интеграл был бы уж савсем пративный.)

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:30 
Да, там ноль... Спутала синус с косинусом, у косинуса синус пи\2 это ноль, а у синуса как раз один

Добавлено спустя 22 минуты 17 секунд:

y'=2*\sin^2 {y}
\int \frac {dy}{\sin^2 y}=\int 2dx
-\ctg {y}=2x+C_2

(в формулах во второй части везде +\- должен стоять, не нашла какой это функцией сделать)

а вот с вычислением C_2 заминка... она плюс\минус 2 получается?

Добавлено спустя 7 минут 15 секунд:

В связи с сомнением Someone в правильности решения одного из номеров, выкладываю полностью его решение:

Цитата:


На оформление всего этого в формулах у меня ушло бы часа 1,5, поэтому я просто сосканила тетрадку... Уж извините, если так делать нельзя...

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:30 
Anastacia писал(а):
Да, там ноль... Спутала синус с косинусом, у косинуса синус пи\2 это ноль, а у синуса как раз один

Добавлено спустя 22 минуты 17 секунд:

y'=2*\sin^2 {y}
\int \frac {dy}{\sin^2 y}=\int 2dx
-\ctg {y}=2x+C_2

(в формулах во второй части везде +\- должен стоять, не нашла какой это функцией сделать)

а вот с вычислением C_2 заминка... она плюс\минус 2 получается?

Ничего не понял. Плюс-минус однозначно определяются начальными условиями. Ведь первая-то производная положительна в начальной точке, не так ли?

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:32 
Плюс\минус вылезает из-за корня, производная то в квадрате была

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:35 
Аватара пользователя
Someone писал(а):
Narn писал(а):
Someone писал(а):
И Вы напрасно не пишете знаки абсолютной величины (модуля), которые появляются при интегрировании: $\ln|v|=\ln|C_1|-\ln|x^2+1|$.


Someone, а их всегда пишут?


Я всегда пишу.


Narn писал(а):
Пусть

...

Если пример по мат. анализу - то отсутствие модуля - ошибка. А в ДУ - пойдет и так. Или это неправильная позиция?


Anastacia писал(а):
Нам на занятиях сказали опускать модуль. Хотя бы прежде всего, чтобы не загромождать решение... Да и преподавателю важно видеть может ли студент решить уравнение и как он его решает, нежели смотреть ставит ли он 2 палочки...


ewert писал(а):
1). Правильно сказали, что надо относиться цинично. Ибо это -- общий факт: аддитивная постоянная превращается в мультипликативную, и баста.


Примерчик я обещал.
$(x^2-1)y'=xy$
Умножаем на $dx$ и пользуемся равенством $y'dx=dy$.
$(x^2-1)dy=xydx$
Разделяем переменные.
$\frac{dy}y=\frac{xdx}{x^2-1}\qquad[y=0?]$
Интегрируем.
$\int\frac{dy}y=\int\frac{xdx}{x^2-1}$
$\ln|y|=\ln|C|+\frac 12\ln|x^2-1|\qquad(C\neq 0)$
$y=\pm C\sqrt{|x^2-1|}$
Поскольку $\pm C$ - произвольное действительное число, не равное нулю, его можно обозначить просто $C$ и написать общее решение в виде
$y=C\sqrt{|x^2-1|}\qquad(C\neq 0)$
Функция $y=0$ является решением (на всей числовой оси), что проверяется подстановкой в исходное уравнение. Это решение получается их общего как раз при $C=0$, так что оговорка $C\neq 0$ не нужна, и общее решение имеет вид
$y=C\sqrt{|x^2-1|}$

Что напишет студент, которого приучили не писать знаки модуля?
$\ln y=\ln C+\frac 12\ln(x^2-1)\qquad(C\neq 0)$
$y=C\sqrt{x^2-1}$

А потом он попытается решить задачу Коши с начальным условием $y|_{x=0}=1$...

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:37 
Ну нам сказали не писать знаки модуля изначально потому что таких заданий не дают... Нам же не сказали забудьте его совсем :lol:

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:40 
Аватара пользователя
Anastacia писал(а):
В связи с сомнением Someone в правильности решения одного из номеров, выкладываю полностью его решение:


Понял. В том, что Вы писали на форуме (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=126826#126826), неправильный знак, начиная с третьей строки.

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:40 
Anastacia писал(а):
Плюс\минус вылезает из-за корня, производная то в квадрате была

может, и была -- сначала. Но ведь по начальным-то условиям она откровенно положительна.

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:45 
Значит плюс-минус можно вообще не ставить? Тогда C_2=-2

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:47 
Аватара пользователя
Anastacia писал(а):
Ну нам сказали не писать знаки модуля изначально потому что таких заданий не дают...


А чем моё уравнение по виду отличается от тех, которые Вы решаете? Ничем.

Anastacia писал(а):
Нам же не сказали забудьте его совсем :lol:


Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:48 
Someone писал(а):
А потом он попытается решить задачу Коши с начальным условием $y|_{x=0}=1$...

всё нормально. Есть задачи, когда общее решение не дакётся общей формулой.

Ну бывает такое. Обидно -- на бывает. Однако рассматривавшийся в этой ветке пример к этой категории не относится.

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:49 
y={\arcctg (1-x)}
вроде так

Цитата:
Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

всегда помню. на черновиках все решено с модулями, привычка так писать привита еще со школы, где за отсутствие этих двух палочек задание считалось нерешенным (:

 
 
 
 
Сообщение15.06.2008, 19:56 
Anastacia писал(а):
y={\arcctg (1-x)}
вроде так

Цитата:
Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

всегда помню. на черновиках все решено с модулями, привычка так писать привита еще со школы, где за отсутствие этих двух палочек задание считалось нерешенным (:

, и за него даже пороли...

 
 
 [ Сообщений: 146 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group