Дифференциальное уравнение

[ewert]

Anastacia писал(а):

а как я его найду? начальное условие, как я пониманию, дано y'(x) и y(x)

Да, это стандартная заминка. На первый взгляд кажется, что там игрек чему-то равен, и его производная чему-то -- и всё.

Но Вы вдумайтесь в условие. Что оно означает? -- ровно то, что $x=1$ соответствует $y=\frac {\pi}{2}$, которая, в свою очередь, соответствует $y'=2$. И -- ровно ничего больше.

[Anastacia]

Поняла, точнее нашла похожее и после этого вникла... Там через систему... Значит C_1=4
так?

[ewert]

может, я и тупой, но мне чего-то кажется. что эта константа попросту равна нулю. (А иначе бы, кстати, следующий интеграл был бы уж савсем пративный.)

[Anastacia]

Да, там ноль... Спутала синус с косинусом, у косинуса синус пи\2 это ноль, а у синуса как раз один

Добавлено спустя 22 минуты 17 секунд:

y'=2*\sin^2 {y}
\int \frac {dy}{\sin^2 y}=\int 2dx
-\ctg {y}=2x+C_2

(в формулах во второй части везде +\- должен стоять, не нашла какой это функцией сделать)

а вот с вычислением C_2 заминка... она плюс\минус 2 получается?

Добавлено спустя 7 минут 15 секунд:

В связи с сомнением Someone в правильности решения одного из номеров, выкладываю полностью его решение:

Цитата:

http://img0.liveinternet.ru/images/atta ... ie_003.jpg
http://img0.liveinternet.ru/images/atta ... ie_004.jpg

На оформление всего этого в формулах у меня ушло бы часа 1,5, поэтому я просто сосканила тетрадку... Уж извините, если так делать нельзя...

[ewert]

Anastacia писал(а):

Да, там ноль... Спутала синус с косинусом, у косинуса синус пи\2 это ноль, а у синуса как раз один

Добавлено спустя 22 минуты 17 секунд:

y'=2*\sin^2 {y}
\int \frac {dy}{\sin^2 y}=\int 2dx
-\ctg {y}=2x+C_2

(в формулах во второй части везде +\- должен стоять, не нашла какой это функцией сделать)

а вот с вычислением C_2 заминка... она плюс\минус 2 получается?

Ничего не понял. Плюс-минус однозначно определяются начальными условиями. Ведь первая-то производная положительна в начальной точке, не так ли?

[Anastacia]

Плюс\минус вылезает из-за корня, производная то в квадрате была

[Someone]

Someone писал(а):

Narn писал(а):

Someone писал(а):

И Вы напрасно не пишете знаки абсолютной величины (модуля), которые появляются при интегрировании: $\ln|v|=\ln|C_1|-\ln|x^2+1|$.

Someone, а их всегда пишут?

Я всегда пишу.

Narn писал(а):

Пусть

...

Если пример по мат. анализу - то отсутствие модуля - ошибка. А в ДУ - пойдет и так. Или это неправильная позиция?

Anastacia писал(а):

Нам на занятиях сказали опускать модуль. Хотя бы прежде всего, чтобы не загромождать решение... Да и преподавателю важно видеть может ли студент решить уравнение и как он его решает, нежели смотреть ставит ли он 2 палочки...

ewert писал(а):

1). Правильно сказали, что надо относиться цинично. Ибо это -- общий факт: аддитивная постоянная превращается в мультипликативную, и баста.

Примерчик я обещал.
$(x^2-1)y'=xy$
Умножаем на $dx$ и пользуемся равенством $y'dx=dy$.
$(x^2-1)dy=xydx$
Разделяем переменные.
$\frac{dy}y=\frac{xdx}{x^2-1}\qquad[y=0?]$
Интегрируем.
$\int\frac{dy}y=\int\frac{xdx}{x^2-1}$
$\ln|y|=\ln|C|+\frac 12\ln|x^2-1|\qquad(C\neq 0)$
$y=\pm C\sqrt{|x^2-1|}$
Поскольку $\pm C$ - произвольное действительное число, не равное нулю, его можно обозначить просто $C$ и написать общее решение в виде
$y=C\sqrt{|x^2-1|}\qquad(C\neq 0)$
Функция $y=0$ является решением (на всей числовой оси), что проверяется подстановкой в исходное уравнение. Это решение получается их общего как раз при $C=0$, так что оговорка $C\neq 0$ не нужна, и общее решение имеет вид
$y=C\sqrt{|x^2-1|}$

Что напишет студент, которого приучили не писать знаки модуля?
$\ln y=\ln C+\frac 12\ln(x^2-1)\qquad(C\neq 0)$
$y=C\sqrt{x^2-1}$

А потом он попытается решить задачу Коши с начальным условием $y|_{x=0}=1$...

[Anastacia]

Ну нам сказали не писать знаки модуля изначально потому что таких заданий не дают... Нам же не сказали забудьте его совсем

[Someone]

Anastacia писал(а):

В связи с сомнением Someone в правильности решения одного из номеров, выкладываю полностью его решение:

Понял. В том, что Вы писали на форуме (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=126826#126826), неправильный знак, начиная с третьей строки.

[ewert]

Anastacia писал(а):

Плюс\минус вылезает из-за корня, производная то в квадрате была

может, и была -- сначала. Но ведь по начальным-то условиям она откровенно положительна.

[Anastacia]

Значит плюс-минус можно вообще не ставить? Тогда C_2=-2

[Someone]

Anastacia писал(а):

Ну нам сказали не писать знаки модуля изначально потому что таких заданий не дают...

А чем моё уравнение по виду отличается от тех, которые Вы решаете? Ничем.

Anastacia писал(а):

Нам же не сказали забудьте его совсем :lol:

Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

[ewert]

Someone писал(а):

А потом он попытается решить задачу Коши с начальным условием $y|_{x=0}=1$...

всё нормально. Есть задачи, когда общее решение не дакётся общей формулой.

Ну бывает такое. Обидно -- на бывает. Однако рассматривавшийся в этой ветке пример к этой категории не относится.

[Anastacia]

y={\arcctg (1-x)}
вроде так

Цитата:

Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

всегда помню. на черновиках все решено с модулями, привычка так писать привита еще со школы, где за отсутствие этих двух палочек задание считалось нерешенным (:

[ewert]

Anastacia писал(а):

y={\arcctg (1-x)}
вроде так

Цитата:

Вы уверены, что Вы о нём вспомните, когда понадобится?

всегда помню. на черновиках все решено с модулями, привычка так писать привита еще со школы, где за отсутствие этих двух палочек задание считалось нерешенным (:

, и за него даже пороли...