Дифференциальное уравнение

[ewert]

Anastacia писал(а):

разобралась со всем уравнением, я неправильно производные взяла...

а как решать такое?
$y''+36y=24{\sin 6x}-12{\cos 6x}+36e^{6x}$

Как обычно: мух -- отдельно, а котлет -- отдельно.
Т.е. отдельно найти частное решение для синус-косинусов, отдельно -- для экспоненты, а потом их сложить.

Это, как ни банально звучит, вопрос принципиальный. В оригинале правая часть не является стандартной, а стало быть, её следует разбить на сумму стандартных. Раз уж есть такая возможность.

[Anastacia]

$y''-36y=24{\sin 6x}-12{\cos 6x}+36e^{6x}$
характеристическое уравнение
$k^2-36=0$
$k_{1,2}={\pm 6}$
общее решение однородного уравнения
$y_{oo}=((C_1{\cos 2x}+C_2{\sin 2x})e^x$

[$y''-36y=24{\sin 6x}-12{\cos 6x}$
[$y''-36y=36e^{6x}$

частное решение первого уравнения
$y_1=A{\sin x}+B{\cos x}$
частное решение второго уравнения
$y_2=Ae^{6x}+Be^{-6x}$

это правильно?

[ewert]

Anastacia писал(а):

[$y''-36y=24{\sin 6x}-12{\cos 6x}$
[$y''-36y=36e^{6x}$

частное решение первого уравнения
$y_1=A{\sin x}+B{\cos x}$
частное решение второго уравнения
$y_2=Ae^{6x}+Be^{-6x}$

это правильно?

Первое -- верно, второе -- совсем нет!

Даже по двум причинам. Во-первых, Вы зачем-то перепутали решения однородного и неоднородного уравнений. Во-вторых, забыли про резонанс.

[Nikita.bsu]

Я бы сказал мысль верная, но вот реализауция невернная). В общем, общее решение однородного, корни действительные числа, значит, только линейная комбинация экспонент, частное решение первого... вместо $x$ под $\sin$ и $\cos$ должно быть $6x$, а во втором будет резонанс, но для того чтобы его увидеть необходимо решить верно однородное.

[Anastacia]

лин, как все сложно то... не понимаю как это делать(

Добавлено спустя 1 час 17 минут 1 секунду:

частное решение первого уравнения
$y_1=A{\sin 6x}-B{cos 6x}$
$y'_1=6A{\cos 6x}-6B{\sin 6x}$
$y''_1=-36A{\sin 6x}-36B{\cos 6x}$

$(-36A{\sin 6x}-36B{\cos 6x})-36(A{sin 6x}+B{cos 6x})=24{sin 6x}-12{\cos 6x}$
$-72A{\sin 6x}-72B{\cos 6x}=24{sin 6x}-12{\cos 6x}$

$-72A=24$
$-72B=-12$

$A=-(1/3)$
$B=1/6$

$y_1=-(1/3){\cos 6x}+(1/6){sin 6x}$

Так?

[Nikita.bsu]

Да совершенно верно. Во втором необходимо разобраться в том что такое резонанс. Напишите еще раз общее решение этого уравнения.

[Anastacia]

$y_{oo}=C_1e^{6x}+C_2e^{-6x}$

Что дальше с этим делать?

Добавлено спустя 53 минуты 10 секунд:

и помогите, пожалуйста, еще с этим разобраться

$y''-6y'+8y=\frac {4e^{2x}}{1+e^{-2x}}$
$y(0)=y'(0)=0$
$k^2-6k+8=0$
$k_1=2$
$k_2=4$
общее решение однородного уравнения
$y_(oo)=C_1e^{2x}+C_2e^{4x}$

$C'_1(x)e^{2x}+C'_2(x)e^{4x}=0$
$2C'_1(x)e^{2x}+4C'_2(x)e^{4x}=\frac {4e^{2x}}{1+e^{-2x}}$

$C'_1(x)=-C'_2(x)e^{2x}$
$-2C'_2(x)e^{2x}e^{2x}+4C'_2(x)e^{4x}=\frac {4e^{2x}}{1+e^{-2x}}$
$C'_2(x)=\frac {2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$
$C'_1(x)=\frac {-2}{1+e^{-2x}}$
а дальше как-то тяжело.... + не уверена, что решено верно

[Nikita.bsu]

Ну теперь замечаем, что степень экспоненты однородного уравнения совпадает со степенью экспоненты в правой части. Или корень характеристического совпадает с корнем правой части - это называется резонанс. Так как корень характеристического который совпадает с корнем правой части кратности один то частное решение необходимо искать ввиде

$$y_2 = A \, x\, e^{6x}$$

. Если бы он был кратности $k$ то частное решение в общем случае имело бы вид $y* = A\ x^k \ P_m(x)e^{bx}$, где $P_m(x) -$ полином степени $m$.
Второй сделан совершенно верно. Интегрирование не проверял.

[zoo]

однако какими задачами можно раздуть флейм до небес
112 постов даааааааааа

[Anastacia]

Цитата:

однако какими задачами можно раздуть флейм до небес
112 постов даааааааааа

это последние 2

Цитата:

Второй сделан совершенно верно. Интегрирование не проверял.

интегрирование пока не сделала просто, поэтому проверять нечего...

Добавлено спустя 10 минут 6 секунд:

Получается:
$y_2=Axe^{6x}$
$y'_2=6Ae^{6x}$
$y''_2=36Ae^{6x}$

$36Ae^{6x}-36Axe^{6x}=36e^{6x}$
$Ae^{6x}-Axe^{6x}=e^{6x}$
$A-Ax=1$

$A=1$

$y_2=xe^{6x}$

правильно?

[antbez]

Насчёт А неправильный вывод

[Anastacia]

А может быть 2 значения А?

[Brukvalub]

При правильном выписывании общего вида частного решения неоднородного уравнения неопределенные коэффициенты находятся однозначно.

[antbez]

Anastasia!
Вам надо дорешать по методу Лагранжа, найдя эти интегралы (заменой). Nikita.bsu дал Вам неверный совет.

[Anastacia]

Эм какие интегралы? Интегралы я вижу во втором задании.... там действительно нужно досчитать... А тут где?